Lista skończonych sferycznych grup symetrii

Wybrane grupy punktów w trzech wymiarach
Grupa wielościenna , [n,3], (*n32)
Symetria inwolucyjna C _s , (*) [ ] =	Symetria cykliczna C _nv , (*nn) [n] =	Symetria dwuścienna D _nh , (*n22) [n,2] =
Symetria czworościenna T _d , (*332) [3,3] =	Symetria ośmiościenna O _h , (*432) [4,3] =	Symetria dwudziestościenna I _h , (*532) [5,3] =

Skończone sferyczne grupy symetrii są również nazywane grupami punktowymi w trzech wymiarach . Istnieje pięć podstawowych klas symetrii, które mają trójkątne domeny podstawowe: symetria dwuścienna , cykliczna , czworościenna , ośmiościenna i dwudziestościenna .

W tym artykule wymieniono grupy według notacji Schoenfliesa , notacji Coxetera , notacji orbifold i kolejności. John Conway używa odmiany notacji Schoenfliesa, opartej na algebraicznej strukturze kwaternionów grup , oznaczonej jedną lub dwiema dużymi literami i indeksami dolnymi liczb całkowitych. Kolejność grup jest zdefiniowana jako indeks dolny, chyba że kolejność jest podwojona dla symboli z przedrostkiem plus lub minus, „±”, co implikuje centralną inwersję .

Podano również notację Hermanna – Mauguina (notacja międzynarodowa). Grupy krystalograficzne , łącznie 32, stanowią podzbiór z rzędami pierwiastków 2, 3, 4 i 6.

Symetria inwolucyjna

Istnieją cztery grupy inwolucyjne : brak symetrii (C ₁ ), symetria odbicia (C _s ), 2-krotna symetria obrotowa (C ₂ ) i symetria punktu centralnego (C _i ).

Międzynarodowy	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Zamówienie	Abstrakcyjny
1	1	11	C ₁	C ₁	][ [ ] ⁺	1	Z ₁
2	2	22	re ₁ = do ₂	re ₂ = do ₂	[2] ⁺	2	Z ₂
1	22	×	do _ja = S ₂	CC ₂	[2 ⁺ ,2 ⁺ ]	2	Z ₂
2 = m	1	*	do _s = do _1v = do _1h	±C ₁ = CD ₂	[ ]	2	Z ₂

Symetria cykliczna

Istnieją cztery nieskończone rodziny symetrii cyklicznej , z n = 2 lub wyższymi. ( n może być 1 jako przypadek szczególny, ponieważ nie ma symetrii )

Międzynarodowy	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter		Zamówienie	Abstrakcyjny	Fundusz. domena
4	42	2×	S ₄	CC ₄	[2 ⁺ ,4 ⁺ ]		4	Z ₄
2/m	2 2	2*	do _2h = re _1d	±C2 ₌ ± _D2	[2,2 ⁺ ] [2 ⁺ ,2]		4	Z ₄

Międzynarodowy	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Zamówienie	Abstrakcyjny
2 3 4 5 6 rz	2 3 4 5 6 rz	22 33 44 55 66 nn	do ₂ do ₃ do ₄ do ₅ do ₆ do _rz	do ₂ do ₃ do ₄ do ₅ do ₆ do _rz	[2] ⁺ [3] ⁺ [4] ⁺ [5] ⁺ [6] ⁺ [n] ⁺	2 3 4 5 6 rz	Z ₂ Z ₃ Z ₄ Z ₅ Z ₆ Z _n
2mm 3m 4mm 5m 6mm nm (n jest nieparzyste) nmm (n jest parzyste)	2 3 4 5 6 rz	22 33 44 55 66 nn	C _2v C _3v C _4v C _5v C _6v C _nv	CD ₄ CD ₆ CD ₈ CD ₁₀ CD ₁₂ CD _2n	[2] [3] [4] [5] [6] [n]	4 6 8 10 12 2n	re ₄ re ₆ re ₈ re ₁₀ re ₁₂ re _{2 rz}
3 8 5 12 -	62 82 10,2 12,2 2n.2	3× 4× 5× 6× n×	S ₆ S ₈ S ₁₀ S ₁₂ S _2n	±C ₃ CC ₈ ±C ₅ CC ₁₂ CC _2n / ±C _n	[2 ⁺ ,6 ⁺ ] [2 ⁺ ,8 ⁺ ] [2 ⁺ ,10 ⁺ ] [2 ⁺ ,12 ⁺ ] [2 ⁺ ,2 n ⁺ ]	6 8 10 12 2n	Z ₆ Z ₈ Z ₁₀ Z ₁₂ Z _{2 n}
3/m= 6 4/m 5/m= 10 6/m n/m	3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	3* 4* 5* 6* n*	C _3h C _4h C _5h C _6h C _nh	CC ₆ ±C ₄ CC ₁₀ ±C ₆ ±C _n / CC _2n	[2,3 ⁺ ] [2,4 ⁺ ] [2,5 ⁺ ] [2,6 ⁺ ] [2,n ⁺ ]	6 8 10 12 2n	Z ₆ Z ₂ × Z ₄ Z ₁₀ Z ₂ × Z ₆ Z ₂ × Z _n ≅ _{Z 2 n} (nieparzyste n )

Symetria dwuścienna

Istnieją trzy nieskończone rodziny symetrii dwuściennej , w których n = 2 lub więcej ( n może wynosić 1 jako przypadek szczególny).

Międzynarodowy	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Zamówienie	Abstrakcyjny
222	2 . 2	222	D2 _{_}	D ₄	[2,2] ⁺	4	D ₄
4 2m	4 2	2*2	D _2d	DD ₈	[2 ⁺ ,4]	8	D ₄
mmm	22	*222	D _{2 godz}	±D ₄	[2,2]	8	Z ₂ × D ₄

Międzynarodowy	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Zamówienie	Abstrakcyjny
32 422 52 622	3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 2 rz . 2	223 224 225 226 22n	re ₃ re ₄ re ₅ re ₆ re _n	re ₆ re ₈ re ₁₀ re ₁₂ re _2n	[2,3] ⁺ [2,4] ⁺ [2,5] ⁺ [2,6] ⁺ [2, n ] ⁺	6 8 10 12 2 rz	re ₆ re ₈ re ₁₀ re ₁₂ re _{2 rz}
3 m 8 2 m 5 m 12,2 m	6 2 8 2 10. 2 12. 2 n 2	23 24 25 26 2*n	D _3d D _4d D _5d D _6d D _nd	±D ₆ DD ₁₆ ±D ₁₀ DD ₂₄ DD _4n / ±D _2n	[2 ⁺ ,6] [2 ⁺ ,8] [2 ⁺ ,10] [2 ⁺ ,12] [2 ⁺ ,2n]	12 16 20 24 4n	re ₁₂ re ₁₆ re ₂₀ re ₂₄ re _{4 rz}
6 m2 4/mm 10 m2 6/mm	32 42 52 62 n2	223 224 225 226 *22n	re _3h re _4h re _5h re _6h re _nh	DD ₁₂ ±D ₈ DD ₂₀ ±D ₁₂ ±D _2n / DD _4n	[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]	12 16 20 24 4n	re ₁₂ Z ₂ × D ₈ re ₂₀ Z ₂ × re ₁₂ Z ₂ × re _{2 n} ≅ _{re 4 n} (nieparzyste n )

Symetria wielościenna

Istnieją trzy typy symetrii wielościennej : symetria czworościenna , symetria oktaedryczna i symetria dwudziestościenna , nazwane na cześć regularnych wielościanów o trójkątach i tych symetriach.

Symetria czworościenna
Międzynarodowy	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Zamówienie	Abstrakcyjny
23	3 . 3	332	T	T	[3,3] ⁺	12	4 _{_}
m 3	4 3	3*2	T _godz	±T	[4,3 ⁺ ]	24	2× A ₄
4 3m	33	*332	T _d	DO	[3,3]	24	S ₄

Symetria ośmiościenna
Międzynarodowy	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Zamówienie	Abstrakcyjny	Fundusz. domena
432	4 . 3	432	O	O	[4,3] ⁺	24	S ₄
m 3 m	43	*432	O _godz	± O	[4,3]	48	2× S ₄

Dwudziestościenna symetria
Międzynarodowy	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Zamówienie	Abstrakcyjny	Fundusz. domena
532	5 . 3	532	I	I	[5,3] ⁺	60	5 _{_}
53 2/m	53	*532	ja _godz	±I	[5,3]	120	2× A ₅

Ciągłe symetrie

Wszystkie dyskretne symetrie punktowe są podgrupami pewnych ciągłych symetrii. Można je sklasyfikować jako iloczyny grup ortogonalnych O( n ) lub specjalnych grup ortogonalnych SO( n ). O(1) jest pojedynczym odbiciem prostopadłym, dwuścienny rząd symetrii 2, Dih ₁ . SO(1) to tylko tożsamość. pół obrotu, C ₂ .

Ranking 3 grup	Inne nazwy	Przykładowa geometria	Przykładowe skończone podgrupy
O(3)		Pełna symetria kuli	[3,3] = , [4,3] = , [5,3] = [4,3 ⁺ ] =
SO(3)	Grupa Sfera	Symetria obrotowa	[3,3] ⁺ = , [4,3] ⁺ = , [5,3] ⁺ =
O(2)×O(1) O(2)⋊C ₂	Dih _∞ × Dih ₁ Dih _∞ ⋊C ₂	Pełna symetria sferoidy , torusa , walca , bicone lub hiperboloidy Pełna symetria kołowa z półobrotem	[ p ,2] = [ p ]×[ ] = [2 p ,2 ⁺ ] = , [2 p ⁺ ,2 ⁺ ] =
SO(2)×O(1)	C _∞ × Dih ₁	Symetria obrotowa z odbiciem	[ p ⁺ ,2] = [ p ] ⁺ ×[ ] =
SO(2)⋊C ₂	do _∞ ⋊ do ₂	Symetria obrotowa z półobrotem	[ p ,2] ⁺ =
O(2)×SO(1)	Dih _∞ Symetria kołowa	Pełna symetria półkuli, stożka , paraboloidy lub dowolnej powierzchni obrotowej	[ p ,1] = [ p ] =
SO(2)×SO(1)	C _∞ Grupa kołowa	Symetria obrotowa	[ p ,1] ⁺ = [ p ] ⁺ =

Zobacz też

Dalsza lektura

Peter R. Cromwell, Wielościany (1997), Dodatek I
Piaski, Donald E. (1993). „Systemy kryształów i geometria”. Wprowadzenie do krystalografii . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. 165. ISBN 0-486-67839-3 .
O czwartorzędach i oktonionach , 2003, John Horton Conway i Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
Symetrie rzeczy 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5
Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , pod redakcją F. Arthura Sherka, Petera McMullena, Anthony'ego C. Thompsona, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Papier 22) HSM Coxeter, Regularne i półregularne Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Papier 23) HSM Coxeter, Regularne i półregularne Polytopy II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Papier 24) HSM Coxeter, Regularne i półregularne Polytopy III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Rozdział 11: Skończone grupy symetrii , Tabela 11.4 Skończone grupy izometrii w przestrzeni 3

Linki zewnętrzne

Skończone sferyczne grupy symetrii
Weisstein, Eric W. „Symbol Schoenfliesa” . MathWorld .
Weisstein, Eric W. „Grupy punktów krystalograficznych” . MathWorld .
Najprostsze kanoniczne wielościany każdego typu symetrii , David I. McCooey