Wielomiany Fibonacciego

W matematyce wielomiany Fibonacciego są ciągiem wielomianów , który można uznać za uogólnienie liczb Fibonacciego . Wielomiany wygenerowane w podobny sposób z liczb Lucasa nazywane są wielomianami Lucasa .

Definicja

wielomiany Fibonacciego są zdefiniowane przez relację powtarzalności :

${\ Displaystyle F_ {n} (x) = { \begin{przypadki}0,&{\mbox{if }}n=0\\1,&{\mbox{if }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2 }(x),&{\mbox{if}}n\geq 2\end{przypadki}}}$

Wielomiany Lucasa wykorzystują tę samą rekurencję z różnymi wartościami początkowymi:

${\ Displaystyle L_ {n} (x) ={\begin{przypadki}2,&{\mbox{jeśli }}n=0\\x,&{\mbox{jeśli }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n -2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2.\end{przypadki}}}$

Można je zdefiniować dla indeksów ujemnych przez

${\ Displaystyle F_ {- n} (x) = (-1) ^ {n-1} F_ {n} (x), }$

${\ Displaystyle L_ {- n} (x) = (-1) ^ {n} L_ {n} (x).}$

$_$ sekwencję wielomianów z _ $_$ _

Przykłady

Kilka pierwszych wielomianów Fibonacciego to:

${\ Displaystyle F_ {0} (x) = 0 \,}$

${\ Displaystyle F_ {1} (x) = 1 \,}$

${ \ Displaystyle F_ {2} (x) = x \,}$

${\ Displaystyle F_ {3} (x) = x ^ {2} + 1 \,}$

${\ Displaystyle F_ {4} (x) = x ^ {3} + 2x \,}$

${\ Displaystyle F_ {5} (x ) = x ^ {4} + 3x ^ {2} + 1 \,}$

${\ Displaystyle F_ {6} (x) = x ^ {5} + 4x^{3}+3x\,}$

Kilka pierwszych wielomianów Lucasa to:

${\ Displaystyle L_ {0} (x) = 2 \,}$

${\ Displaystyle L_ {1} (x) = x \,}$

${\ Displaystyle L_ {2} (x) = x ^ {2} + 2 \,}$

${\ Displaystyle L_ {3} (x) = x ^ {3 } + 3x \,}$

${\ Displaystyle L_ {4} (x) = x ^ {4} + 4x ^ {2} + 2 \,}$

${\ Displaystyle L_ {5} (x) = x ^ {5} + 5x ^ {3} + 5x \,}$

${\ Displaystyle L_ {6} (x) = x ^ {6} + 6x ^ {4} + 9x ^ {2} + 2. \,}$

Nieruchomości

• Stopień F _n wynosi n − 1, a stopień L _n wynosi n .

• Liczby Fibonacciego i Lucasa są odzyskiwane przez ocenę wielomianów przy x = 1; Liczby pell są odzyskiwane przez ocenę F _n przy x = 2.

• Zwykłe funkcje generujące dla sekwencji to:

  ${\ Displaystyle \ suma _ {n =0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}}$

  ${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} L_ {n} (x) t ^ {n} = {\ Frac {2-xt} {1-xt-t ^ {2}}}. }$

• Wielomiany można wyrazić za pomocą sekwencji Lucasa jako

  ${\ Displaystyle F_ {n} (x) = U_ {n} (x, -1), \ ,}$

  ${\ Displaystyle L_ {n} (x) = V_ {n} (x, -1). \,}$

• Można je również wyrazić za pomocą wielomianów Czebyszewa ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} _ {n} (x)}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} _ {n} (x)}$ jak

  ${\ Displaystyle F_ {n} (x) = i ^ {n-1} \ cdot {\ mathcal {U}} _ {n-1} ({\ tfrac {-ix} {2}} ), \,}$

  ${\ Displaystyle L_ {n} (x) = 2 \ cdot i ^ {n} \ cdot {\ mathcal { T}} _ {n} ({\ tfrac {-ix} {2}}), \,}$

gdzie ${\ displaystyle i}$ jest jednostką urojoną .

Tożsamości

Główny artykuł: sekwencja Lucasa

Jako szczególne przypadki ciągów Lucasa, wielomiany Fibonacciego spełniają szereg tożsamości, takich jak

${\ Displaystyle F_ {m + n} (x) = F_ {m + 1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,}$

${\ Displaystyle L_ {m + n} (x) = L_ {m} (x) L_ {n} (x) - (- 1) ^ {n} L_ {mn} (x) \,}$

${\ Displaystyle F_ {n + 1} (x) F_ { n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,}$

${\ Displaystyle F_ {2n} (x) = F_ {n} (x) L_ {n} (x). \,}$

Wyrażenia w formie zamkniętej, podobne do formuły Bineta to:

${\ Displaystyle F_ { n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n }(x)=\alfa (x)^{n}+\beta (x)^{n},}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ alfa (x) = {\ Frac {x + {\ sqrt {x ^ {2} + 4 }}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}}$

są rozwiązaniami (w t ) z

${\ Displaystyle t ^ {2} -xt-1 = 0. \,}$

Dla wielomianów Lucasa n > 0 mamy

${\ Displaystyle L_ {n} (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ lfloor n/2 \ rfloor} {\ Frac {n} {nk}}} {\ binom {nk} {k}} x ^{n-2k}.}$

Zależność między wielomianami Fibonacciego a wielomianami o standardowej bazie jest określona wzorem

${\ Displaystyle x ^ {n} = F_ {n + 1} (x) + \ suma _ {k = 1} ^ {\ lfloor n/2 \ rfloor} (-1) ^ {k} \ lewo [{\ binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]F_{n+1-2k}(x).}$

Na przykład,

${\ Displaystyle x ^ {4} = F_ {5} (x) -3F_ {3} (x) + 2F_ {1 } (x) \,}$

${\ Displaystyle x ^ {5} = F_ {6} (x) -4F_ {4} (x) + 5F_ {2} (x) \,}$

${\ Displaystyle x ^ {6 }=F_{7}(x)-5F_{5}(x)+9F_{3}(x)-5F_{1}(x)\,}$

${\ Displaystyle x ^ {7} = F_ {8} (x) -6F_ {6} (x) + 14F_ {4} (x) -14F_ { 2}(x)\,}$

Interpretacja kombinatoryczna

Współczynniki wielomianów Fibonacciego można odczytać z trójkąta Pascala po „płytkich” przekątnych (pokazanych na czerwono). Sumy współczynników to liczby Fibonacciego.

Jeśli F ( n , k ) jest współczynnikiem x ^k ​​w F _n ( x ), a mianowicie

${\ Displaystyle F_ {n} (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} F (n, k) x ^ {k},\,}$

wtedy F ( n , k ) to liczba sposobów, na jakie można ułożyć prostokąt o wymiarach n −1 na 1 kostkami domina 2 na 1 i kwadratami 1 na 1, tak aby użyć dokładnie k kwadratów. Równoważnie F ( n , k ) to liczba sposobów zapisania n -1 jako uporządkowanej sumy obejmującej tylko 1 i 2, tak że 1 jest używane dokładnie k razy. Na przykład F(6,3)=4 i 5 można zapisać na 4 sposoby, 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1 , jako suma obejmująca tylko 1 i 2 z 1 użytym 3 razy. Licząc, ile razy 1 i 2 są użyte w takiej sumie, jest oczywiste, że ${\ Displaystyle F (n, k) = {\ rozpocząć {przypadki} \ Displaystyle {\ binom {{\ Frac {1} {2}} (n + k-1)}} {k}} i {\ tekst {jeśli }}n\not \equiv k{\pmod {2}},\\[12pt]0&{\text{else}}.\end{przypadki}}}$

Daje to sposób na odczytanie współczynników z trójkąta Pascala , jak pokazano po prawej stronie.

•   Benjamin, Arthur T .; Quinn, Jennifer J. (2003). „Wielomian Fibonacciego i Lucasa”. Dowody, które naprawdę się liczą: sztuka dowodu kombinatorycznego . Ekspozycje matematyczne Dolcianiego. Tom. 27. Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne . P. 141 . ISBN 978-0-88385-333-7 .
• Philippou, Andreas N. (2001) [1994], „Wielomiany Fibonacciego” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Philippou, Andreas N. (2001) [1994], „Wielomiany Lucasa” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Weisstein, Eric W. „Wielomian Lucasa” . MathWorld .
• Jin, Z. O wielomianach Lucasa i niektórych ich nowych tożsamościach. Postępy w równaniach różniczkowych 2018, 126 (2018). https://doi.org/10.1186/s13662-018-1527-9

Dalsza lektura

•    Hoggatt, VE ; Bicknell, Marjorie (1973). „Pierwiastki wielomianów Fibonacciego”. Kwartalnik Fibonacciego . 11 : 271–274. ISSN 0015-0517 . MR 0332645 .
•   Hoggatt, VE; Długi, Calvin T. (1974). „Właściwości podzielności uogólnionych wielomianów Fibonacciego”. Kwartalnik Fibonacciego . 12 : 113. MR 0352034 .
•   Ricci, Paolo Emilio (1995). „Uogólnione wielomiany Lucasa i wielomiany Fibonacciego”. Rivista di Matematica della Università di Parma . V. Ser. 4 : 137–146. MR 1395332 .
•   Yuan, Yi; Zhang, Wenpeng (2002). „Niektóre tożsamości z udziałem wielomianów Fibonacciego”. Kwartalnik Fibonacciego . 40 (4): 314. MR 1920571 .
•   Cigler, Johann (2003). „Wielomiany q-Fibonacciego”. Kwartalnik Fibonacciego (41): 31–40. MR 1962279 .

Linki zewnętrzne

• OEIS A162515 (Trójkąt współczynników wielomianów zdefiniowanych w formie Bineta)
• OEIS A011973 (Trójkąt współczynników wielomianów Fibonacciego)