Wielosekcja serii

W matematyce multisekcja szeregu potęgowego to nowy szereg potęgowy składający się z równo rozmieszczonych wyrazów wyodrębnionych w niezmienionej postaci z oryginalnego szeregu. Formalnie, jeśli podano szereg potęgowy

{\ Displaystyle \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} \ cdot z ^ {n}}

wtedy jego multisekcja jest szeregiem potęgowym postaci

{\ Displaystyle \ suma _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {qm + p} \ cdot z ^ {qm + p} }

gdzie p , q są liczbami całkowitymi, gdzie 0 ≤ p < q . Wielosekcja szeregowa reprezentuje jedną z typowych transformacji funkcji generujących .

Wielosekcja funkcji analitycznych

Wielosekcja szeregu funkcji analitycznej

{\ Displaystyle f (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ cdot z ^ {n}}

ma wyrażenie w postaci zamkniętej w kategoriach funkcji ${\ Displaystyle f (x)}: fa ( x ) {\ displaystyle f (x)$ }

{\ Displaystyle \ suma _ {m = 0} ^ {\infty}a_{qm+p}\cdot z^{qm+p}={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}\omega ^{ -kp}\cdot f(\omega ^{k}\cdot z),}

gdzie $_$ . _ _ _ _ To wyrażenie jest często nazywane pierwiastkiem filtru jedności. Rozwiązanie to zostało po raz pierwszy odkryte przez Thomasa Simpsona . To wyrażenie jest szczególnie przydatne, ponieważ może przekształcić sumę nieskończoną w sumę skończoną. Jest używany na przykład w kluczowym kroku standardowego dowodu twierdzenia Gaussa o digammie , który daje rozwiązanie w postaci zamkniętej funkcji digamma ocenianej w wartościach wymiernych p / q .

Przykłady

Przepołowienie

Ogólnie rzecz biorąc, dwusekcje szeregu to parzyste i nieparzyste części szeregu.

Seria geometryczna

Rozważ ciąg geometryczny

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {n} = {\ Frac {1} {1-z}} \ quad {\ tekst {dla}} | z | < 1.}

Ustawiając ${\ displaystyle z \ rightarrow z ^ {q}}$ w powyższej serii, łatwo widać, że jej multisekcje są

{\ Displaystyle \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} z ^ {qm + p} = {\ Frac {z ^ {p}} {1-z ^ {q}}} \ quad { \text{ dla }}|z|<1.}

Pamiętając, że suma multisekcji musi być równa oryginalnemu szeregowi, odzyskujemy znajomą tożsamość

{\ Displaystyle \ suma _ {p = 0} ^ {q-1} z ^ {p} = {\ Frac {1-z ^ {q}} {1-z}}.}

Funkcja wykładnicza

{\ Displaystyle e ^ {z} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {z ^ {n} \ ponad n!}}

za pomocą powyższego wzoru dla funkcji analitycznych dzieli się na

{\ Displaystyle \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} {z ^ {qm + p} \ ponad (qm + p)!} = {\ Frac {1} {q}} \ cdot \ suma _ { k=0}^{q-1}\omega ^{-kp}e^{\omega ^{k}z}.}

Dwusekcje są trywialnie funkcjami hiperbolicznymi :

{\ Displaystyle \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} {z ^ {2m} \ ponad (2m)!} = {\ Frac {1 }{2}}\left(e^{z}+e^{-z}\right)=\cosh {z}}

{\ Displaystyle \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} {z ^ {2m + 1} \ ponad (2m + 1)!} = {\ Frac {1}{2}} \ lewo (e ^ { z}-e^{-z}\right)=\sinh {z}.}

Multisekcje wyższego rzędu można znaleźć, zauważając, że wszystkie takie serie muszą mieć wartości rzeczywiste wzdłuż linii rzeczywistej. Biorąc część rzeczywistą i używając standardowych tożsamości trygonometrycznych, wzory można zapisać w jawnie rzeczywistej postaci jako

{\ Displaystyle \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} {z ^ {qm + p} \ ponad (qm + p)!} = {\ Frac {1} {q}} \ cdot \ suma _ { k=0}^{q-1}e^{z\cos(2\pi k/q)}\cos {\left(z\sin {\left({\frac {2\pi k}{q} }\right)}-{\frac {2\pi kp}{q}}\right)}.}

Można je postrzegać jako rozwiązania liniowego równania różniczkowego z warunkami brzegowymi ${\ Displaystyle f ^ {(q)} (z) =$ ${\ Displaystyle f ^ {(k)} (0) = \ delta _ {k, p}}$ , używając notacji delta Kroneckera . W szczególności trisekcje są