Generowanie transformacji funkcji

Ten artykuł dotyczy przekształceń funkcji generujących w matematyce. Informacje na temat funkcji generowania (artykuł główny) można znaleźć w artykule Funkcja generowania . Aby zapoznać się z funkcjami generowania w mechanice klasycznej, zobacz Tworzenie funkcji (fizyka) . Aby uzyskać informacje na temat generowania transformacji funkcji w mechanice klasycznej, zobacz transformację kanoniczną .

W matematyce transformacja funkcji generującej sekwencję zapewnia metodę przekształcania funkcji generującej dla jednej sekwencji w funkcję generującą wyliczającą inną. Transformacje te zazwyczaj obejmują formuły całkowe zastosowane do funkcji generującej sekwencję (patrz transformacje całkowe ) lub sumy ważone pochodnych wyższego rzędu tych funkcji (patrz transformacje pochodne ).

${\ Displaystyle F (z)}$$zwykła$ sekwencję , funkcja generująca sekwencji, oznaczona i wykładnicza funkcja generująca (EGF) sekwencji, oznaczona , są określone przez formalny szereg potęgowy ${\ Displaystyle {\ widehat {F}} (z)}$

${\ Displaystyle F (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n } z^{n}=f_{0}+f_{1}z+f_{2}z^{2}+\cdots }$

${\ Displaystyle {\ widehat {F}} (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {f_ {n}}} {n!}} z ^ {n} = {\ frac {f_{0}}{0!}}+{\frac {f_{1}}{1!}}z+{\frac {f_{2}}{2!}}z^{2}+\cdots . }$

$displaystyle F ( z)$ artykule używamy konwencji, że zwykła (wykładnicza) funkcja generująca sekwencję $z$ wielkich liter. / ${\ Displaystyle {\ widehat {F}} (z)}$$dla$ jakiegoś ustalonego lub formalnego, kontekst tej notacji jest jasny. Dodatkowo używamy notacji nawiasów do ekstrakcji współczynników z matematyki konkretnej , które jest podane przez ${\ Displaystyle [z ^ {n}] F (z): = f_ {n}}$ . Główny artykuł zawiera przykłady funkcji generujących dla wielu ciągów. Inne przykłady wariantów funkcji generujących obejmują funkcje generujące Dirichleta (DGF), szereg Lamberta i szereg Newtona . W tym artykule skupiamy się na przekształceniach funkcji generujących w matematyce i prowadzimy bieżącą listę użytecznych przekształceń i wzorów przekształceń.

Wyodrębnianie postępów arytmetycznych ciągu

Główny artykuł: multisekcja serii

Wielosekcja $szeregowa$$_$ wyliczających sekwencję _ ${\ Displaystyle a, b \ in \ mathbb {N}}$ za $\ Displaystyle a \ geq 2}$ i ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik b <a}$ . W pierwszych dwóch przypadkach, w których ${\ Displaystyle (a, b): = (2,0), (2,1)}$ , możemy je rozwinąć funkcje generujące postęp arytmetyczny bezpośrednio w terminach ${\ Displaystyle F (z)}$ :

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} f_ {2n} z ^ {2n} = {\ Frac { 1}{2}}\lewo(F(z)+F(-z)\prawo)}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} f_ {2n + 1} z ^ {2n + 1} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (F (z) -F (- z) \ Prawidłowy).}$

Bardziej ogólnie, załóżmy, że $)$ że $)}$${\ Displaystyle \ omega _ {a} \ równoważnik \ exp \ lewo ({\$${\ displaystyle a ^ {th}}$ oznacza prymitywny pierwiastek jedności za . Następnie mamy następującą formułę, często znaną jako pierwiastek filtra jedności:

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} f_ {an + b} z ^ {an + b} = {\ Frac {1} {a}} \ razy \ suma _ {m = 0} ^ {a- 1}\omega _{a}^{-mb}F\left(\omega _{a}^{m}z\right).}$

W przypadku liczb całkowitych inna użyteczna formuła zapewniająca nieco odwrócone podłogowe postępy arytmetyczne jest generowana przez tożsamość ${\ Displaystyle m \ geq 1}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} f _ {\ lfloor {\ Frac {n} {m}} \ rfloor} z ^ {n} = {\ frac {1-z ^ {m}} {1- z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).}$

Uprawnienia OGF i kompozycja z funkcjami

Wykładnicze wielomiany Bella , ${\ Displaystyle B_ {n, k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}): = n! \ cdot [t ^ {n} u ^ {k}]\Phi (t,u)}$ , są zdefiniowane przez wykładniczą funkcję generującą

${\ Displaystyle \ Phi (t, u) = \ exp \ lewo (u \ razy \ suma _ {m \ geq 1} x_ {m} {\ frac {t ^ {m}} {m!}} \ prawej) =1+\suma _{n\geq 1}\left\{\suma _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots )u^ {k}\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Kolejne wzory na potęgi, logarytmy i składanie formalnych szeregów potęgowych są rozszerzane o te wielomiany o zmienne we współczynnikach pierwotnych funkcji tworzących. Wzór na wykładniczy funkcji generującej jest podany pośrednio przez wielomiany Bella przez EGF dla tych wielomianów zdefiniowanych w poprzednim wzorze dla pewnej sekwencji ${\ displaystyle \ {x_ {i} \}}$ .

Odwrotności OGF (specjalny przypadek formuły potęg)

Szereg potęgowy dla odwrotności funkcji generującej jest rozszerzany przez ${\ Displaystyle F (z)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {F (z)}} = {\ Frac {1} {f_ {0}}} - {\ Frac {f_ {1}} {f_ {0} ^ {2}} } z+{\frac {\left(f_{1}^{2}-f_{0}f_{2}\right)}{f_{0}^{3}}}z^{2}-{\frac {f_{1}^{3}-2f_{0}f_{1}f_{2}+f_{0}^{2}f_{3}}{f_{0}^{4}}}+\cdots .}$

Jeśli pozwolimy ${\ Displaystyle b_ {n}: = [z ^ {n}] 1/F (z)}$ oznaczyć współczynniki w rozwinięciu wzajemnego generującego funkcji, to mamy następującą relację rekurencyjną:

${\ Displaystyle b_ {n} = - {\ Frac {1} {f_ { 0}}}\left(f_{1}b_{n-1}+f_{2}b_{n-2}+\cdots +f_{n}b_{0}\right),n\geq 1.}$

Uprawnienia OGF

Niech $}$${\ Displaystyle b_ {n} ^ {(m)}: = [z ^ {n}] F (z) ^ {m}}$$b$ będzie ustalone, załóżmy, że oznaczmy . Wtedy mamy rozwinięcie serii dla podane przez ${\ Displaystyle F (z) ^ {m}}$

${\ Displaystyle F (z) ^ {m} = 1 + mf_ {1} z + m \ lewo ((m-1) f_ {1} ^ {2}+2f_{2}\right){\frac {z^{2}}{2}}+\left(m(m-1)(m-2)f_{1}^{3}+6m (m-1)f_{2}+6mf_{3}\right){\frac {z^{3}}{6}}+\cdots ,}$

a współczynniki spełniają relację powtarzalności postaci ${\ Displaystyle b_ {n} ^ {(m)}}$

${\ Displaystyle n \ cdot b_ {n} ^ {(m)} = (mn + 1) f_ {1} b_ {n-1}^{(m)}+(2m-n+2)f_{2}b_{n-2}^{(m)}+\cdots +((n-1)m-1)f_ {n-1}b_{1}^{(m)}+nmf_{n},n\geq 1.}$

Inny wzór na współczynniki, jest rozwinięty przez wielomiany Bella jako ${\ Displaystyle b_ {n} ^ {(m)}}$

${\ Displaystyle F (z) ^ {m} = f_ {0} ^ {m} + \ suma _ {n \ geq 1} \ lewo (\ suma _ {1 \ równoważnik k \ równoważnik n} (m) _ { k}f_{0}^{mk}B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n} }{N!}},}$

gdzie ${\ Displaystyle (r) _ {n}}$ oznacza symbol Pochhammera .

Logarytmy OGF

$F(z)}$ pozwolimy i zdefiniujemy $z$$Displaystyle q_ {n}: = [z ^ {n}] \$ , to mamy rozwinięcie szeregów potęgowych dla złożonej funkcji generującej dane przez

${\ Displaystyle \ log F (z) = f_ {1} + \ lewo (2f_ {2} -f_ {1} ^ {2} \ prawej) {\ Frac {z} {2}} + \ lewo (3f_ { 3}-3f_{1}f_{2}+f_{1}^{3}\right){\frac {z^{2}}{3}}+\cdots ,}$

gdzie współczynniki w poprzednim rozwinięciu spełniają relację powtarzalności określoną przez ${\ displaystyle q_ {n}}$

${\ Displaystyle n \ cdot q_ { n}=nf_{n}-(n-1)f_{1}q_{n-1}-(n-2)f_{2}q_{n-2}-\cdots -f_{n-1}q_ {1},}$

oraz odpowiedni wzór rozwinięty o wielomiany Bella w postaci współczynników szeregów potęgowych następującej funkcji generującej:

${\ Displaystyle \ log F (z) = \ suma _ {n \ geq 1} \ lewo (\ suma _ {1 \ równoważnik k \ równoważnik n} (-1) ^ {k-1} (k-1)! B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Formuła Faà di Bruno

Główny artykuł: wzór Faà di Bruno

Niech $oznaczają$ EGF sekwencji, ${n \ geq$, and suppose that ${\widehat {G}}(z)$ is the EGF of the sequence, $\{g_{n}\}_{n\geq 0}$. Faà di Bruno's formula implies that the sequence, ${\ Displaystyle \ {h_ {n} \} _ {n \ geq 0}}$ , generowane przez kompozycję ${\ Displaystyle { \widehat {H}}(z):={\widehat {F}}({\widehat {G}}(z))} , można wyrazić$ za pomocą wykładniczych wielomianów Bella w następujący sposób:

${\ Displaystyle h_ {n} = \ suma _ {1 \ równoważnik k \ równoważnik n} f_ {k} \ cdot B_ {n, k} (g_ {1}, g_ {2}, \ cdots, g_ {n- k+1})+f_{0}\cdot \delta _{n,0}.}$

Transformacje integralne

Formuły konwersji OGF ⟷ EGF

Mamy następujące wzory całkowe dla $\ in \ mathbb {Z} ^ {+}},$$z}$ które można zastosować termicznie w odniesieniu do gdy $z}$${\ displaystyle$ jest dowolną zmienną formalnego szeregu potęgowego:

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} f_ {n }z^{n}=\int _{0}^{\infty}{\widehat {F}}(tz)e^{-t}dt=z^{-1}{\mathcal {L}}[ {\ widehat {F}}] (z ^ {-1})}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} \ Gamma (an + b) \ cdot f_ {n} z ^ {n} = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {b-1} e ^{-t}F(t^{a}z)dt.}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} {\ Frac {f_ {n}} {n!}} z ^ {n} = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi }^{\pi }F\left(ze^{-\imath \vartheta }\right)e^{e^{\imath \vartheta }}d\vartheta .}$

Zauważ, że pierwszy i ostatni z tych wzorów całkowych są używane do konwersji między EGF na OGF ciągu oraz z OGF na EGF ciągu, ilekroć te całki są zbieżne.

Pierwsza formuła całkowa odpowiada transformacie Laplace'a (lub czasami formalnej transformacji Laplace'a-Borela ) funkcji generujących, oznaczonej ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} [F] (z)}$ , zdefiniowano w. Inne reprezentacje całkowe funkcji gamma w drugim z poprzednich wzorów można oczywiście również użyć do skonstruowania podobnych przekształceń całkowych. Jeden szczególny wzór daje wynik w przypadku podwójnej funkcji silni podanej bezpośrednio poniżej w tej sekcji. Ostatni wzór na całkę porównuje się z $pętlową$ odwrotnej funkcji gamma zastosowanej termicznie do szeregu potęg .

Przykład: Podwójna całka silnia dla EGF liczb Stirlinga drugiego rodzaju

Pojedyncza funkcja silnia , ${\ Displaystyle (2n)!}$ , wyraża się jako iloczyn dwóch podwójnych funkcji silni formy

${\ Displaystyle (2n)! = (2n) !! \ razy (2n-1) !! = {\ Frac {4 ^ {n} \ cdot n!} {\ sqrt {\pi }}}\times \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right),}$

gdzie całka dla funkcji silni podwójnej lub wymiernej funkcji gamma jest dana przez

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ cdot (2n-1 )!!={\frac {2^{n}}{\sqrt {4\pi}}}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1} {\sqrt {2\pi}}}\times \int _{0}^{\infty}e^{-t^{2}/2}t^{2n}\,dt,}$

dla liczb naturalnych ${\ displaystyle n \ geq 0}$ . Ta integralna reprezentacja $\ Displaystyle (2n-1) !!}$ { implikuje więc, że dla ustalonych niezerowych ${\ Displaystyle q \ in \ mathbb {C}}$ i dowolnych potęg całkowych ${\ Displaystyle k \ geq 0}$ mieć formułę

${\ Displaystyle {\ Frac {\ log (q) ^ {k}} {k!}} = {\ Frac {1} {(2k)!}} \ razy \ lewo [\ int _ {0} ^ {\ infty }{\frac {2e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi}}}\left({\sqrt {2\log(q)}}\cdot t\right) ^{2k}\,dt\right].}$

Zatem dla dowolnej określonej liczby całkowitej $możemy$ użyć poprzedniej reprezentacji całkowej wraz ze wzorem do wyodrębniania postępów arytmetycznych z sekwencji OGF podanej powyżej, aby sformułować następną reprezentację całkową dla zmodyfikowanej Liczba Stirlinga EGF as

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} \ lewo \ {{\ początek {macierz} 2n \\ j \ koniec {macierz}} \ prawo \} {\ Frac {\ log (q) ^ {n }}{n!}}=\int _{0}^{\infty}{\frac {e^{-t^{2}/2}}{{\sqrt {2\pi}}\cdot j! }}\left[\sum _{b=\pm 1}\left(e^{b{\sqrt {2\log(q)}}\cdot t}-1\right)^{j}\right] dt,}$

który jest zbieżny pod warunkiem odpowiednich warunków na parametrze ${\ Displaystyle 0 <| q| <1}$ .

Przykład: Formuła EGF dla pochodnych wyższego rzędu szeregu geometrycznego

Dla ustalonego niezerowego ${\ displaystyle c, z \ in \ mathbb {C}}$ zdefiniowane tak, że ${\ Displaystyle | cz | <1}$ , niech szeregi geometryczne nad nieujemnymi całkowymi potęgami ${\ Displaystyle (cz) ^ {n}}$ będą oznaczone przez ${\ Displaystyle G (z): = 1 / (1-cz)}$ . Odpowiednie pochodne wyższego rzędu szeregu geometrycznego w odniesieniu do $\ displaystyle$ oznaczone sekwencją funkcji $j ^ {th}}$

${\ Displaystyle G_ {j} (z): = {\ Frac {(cz )^{j}}{1-cz}}\times \left({\frac {d}{dz}}\right)^{(j)}\left[G(z)\right],}$

dla nieujemnych liczb całkowitych ${\ Displaystyle j \ geq 0}$ . Te $^ {th}}$ zwykłego szeregu geometrycznego można pokazać, na przykład przez indukcję, w celu spełnienia wyraźnego wzoru w postaci zamkniętej podanego przez j t h {\

${\ Displaystyle G_ {j} (z) = {\ Frac {(cz) ^ {j} \ cdot j!} {(1-cz) ^ {j + 2}} },}$

dla każdego ${\ Displaystyle j \ geq 0}$ kiedykolwiek ${\ displaystyle | cz| <1}$ . Jako przykład trzeciej $sol$ konwersji EGF cytowanej powyżej, możemy obliczyć następujące odpowiadające wykładnicze formy funkcji generujących: $\ displaystyle G_ {j} (z)}$ :

${\ Displaystyle {\ widehat {G}} _ {j} (z) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {+ \ pi} G_ {j} \ lewo (ze^{-\imath t}\right)e^{e^{\imath t}}dt={\frac {(cz)^{j}e^{cz}}{(j+1)}} \lewo(j+1+z\prawo).}$

Całki i pochodne ułamkowe

Całki ułamkowe i pochodne ułamkowe (patrz główny artykuł ) tworzą kolejną uogólnioną klasę operacji całkowania i różniczkowania, które można zastosować do OGF sekwencji w celu utworzenia odpowiedniego OGF przekształconej sekwencji. Dla ${\ Displaystyle \ Re (\ alfa)> 0}$ definiujemy operator całki ułamkowej (rzędu) przez transformację całkową ${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle I ^ {\ alfa} F (z) = {\ Frac {1} \Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{z}(zt)^{\alpha -1}F(t)dt,}$

co odpowiada (formalnemu) szeregowi potęgowemu podanemu przez

${\ Displaystyle I ^ {\ alfa} F (z) = \ suma _ {n \ geq 0} {\ Frac {n!} {\ Gamma (n + \ alfa + 1)}} f_ {n} z ^ {n + \alfa}.}$

Dla ustalonego $β$$Re (\ beta )> 0}$ , że , mamy, że operatory ${\ Displaystyle I ^ {\ alfa} ja ^ {\ beta} = ja ^ {\ alfa + \ beta}}$ . Co więcej, dla ustalonego ${\ Displaystyle \ alfa \ in \ mathbb {C}}$ i liczby całkowite ${\ Displaystyle n}$ satysfakcjonujące ${\ Displaystyle 0 <\ Re (\ alfa) <n}$ możemy zdefiniować pojęcie pochodna ułamkowa spełniająca właściwości, które

${\ Displaystyle D ^ {\ alfa} F (z) = {\ Frac {d ^ {(n)} }{dz^{(n)}}}I^{n-\alpha }F(z),}$

I

${\ Displaystyle D ^ {k} ja ^ {\ alfa} = D ^ {n} ja ^ {\ alfa + nk}}$ dla ${\ Displaystyle k = 1,2, \ ldots, n,}$

gdzie mamy właściwość półgrupy, że $\ Displaystyle D ^ {\ alfa} D ^ {\ beta} = D ^ {\ alfa + \ beta}}$${\ Displaystyle \ alfa, \ beta, \ alfa + \ beta}$ , gdy żadna ma wartość całkowitą.

Przekształcenia szeregów polilogarytmów

Dla ustalonego $to$ (porównaj ze szczególnym przypadkiem wzoru całkowego dla uogólnionej funkcji polilogarytmu )

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} {\ Frac {f_ {n}} {(n + 1) ^ {s}}} z ^ {n} = {\ Frac {(-1) ^ {s -1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)dt.}$

Zauważ, że jeśli ustawimy całkę względem funkcji generującej, ${\ displaystyle g_ {n} \ równoważnik f_ {n + 1}}$${\ displaystyle G (z)}$ , w ostatnim równaniu, gdy $DGF$ funkcji generującej Dirichleta lub , $Displaystyle {\ widetilde {F}} (s$ } z ${\ Displaystyle \ {f_ {n} \}}$ pod warunkiem, że całka jest zbieżna. Ta klasa związanych z polilogarytmami jest powiązana z transformacjami szeregów zeta opartymi na pochodnych, zdefiniowanymi w następnych sekcjach.

Przekształcenia funkcji generujące szeregi kwadratowe

Dla ustalonego niezerowego ${\ Displaystyle q, c, z \ in \ mathbb {C}}$ takie, że ${\ displaystyle | q | <1}$ i ${\ Displaystyle | cz | <1}$ , mamy następujące reprezentacje całkowe dla tak zwanej funkcji generującej szeregi kwadratowe związanej z sekwencją ${\ Displaystyle \ {f_ {n} \}}$ , które można zintegrować termicznie w odniesieniu do : ${\ displaystyle z}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} q ^ {n ^ {2}} f_ {n} \ cdot (cz) ^ {n} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} }\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}\left[F\left(e^{t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)+F\left(e^{-t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)\right]dt.}$

Wynik ten, który jest udowodniony w piśmiennictwie, wynika z wariantu całki transformacji funkcji podwójnej silni dla liczb Stirlinga drugiego rodzaju podanej jako przykład powyżej. W szczególności od

${\ Displaystyle q ^ {n ^ {2}} = \ exp (n ^ {2} \ cdot \ log (q)) = 1 + n ^ {2} \ log (q) + n ^ {4} {\ frac {\log(q)^{2}}{2!}}+n^{6}{\frac {\log(q)^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

możemy użyć wariantu przekształceń OGF opartych na pochodnych rzędu dodatniego, zdefiniowanych w kolejnych podrozdziałach, obejmujących liczby Stirlinga drugiego rodzaju , aby otrzymać całkowy wzór na funkcję generującą ciągu, $\}}$$Displaystyle \ lewo$ , a następnie wykonaj sumę po formalnego OGF, ${\ Displaystyle F (z)}$ , aby uzyskać wynik w poprzednim równaniu, w którym funkcja generująca postęp arytmetyczny jest oznaczona przez

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} 2n \\ j \ koniec {macierz} }\right\}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}={\frac {1}{2j!}}\left((e^{z}-1)^{j} +(e^{-z}-1)^{j}\prawo),}$

dla każdego ustalonego ${\ Displaystyle j \ in \ mathbb {N}}$ .

Produkty Hadamarda i funkcje tworzące przekątne

Mamy integralną reprezentację iloczynu Hadamarda dwóch funkcji generujących, ${\ Displaystyle F (z)$ w formie: $}$

${\ Displaystyle (F \ odot G) (z): = \ suma _ {n \ geq 0} f_ {n} g_ {n} z ^ {n} = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _{0}^{2\pi }F\left({\sqrt {z}}e^{to}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-to}\right) dt,}$

gdzie I jest jednostką urojoną .

Więcej informacji o produktach Hadamarda jako diagonalnych funkcjach generujących ciągi wielowymiarowe i / lub funkcjach generujących oraz klasach funkcji generujących, do których należą te diagonalne OGF, można znaleźć w książce Stanleya. Odnośnik zawiera również zagnieżdżone formuły ekstrakcji współczynników formularza

${\ Displaystyle \ operatorname {diag} \ lewo (F_ {1} \ cdots F_ {k} \ prawej): = \ suma _{n\geq 0}f_{1,n}\cdots f_{k,n}z^{n}=[x_{k-1}^{0}\cdots x_{2}^{0}x_{ 1}^{0}]F_{k}\left({\frac {z}{x_{k-1}}}\right)F_{k-1}\left({\frac {x_{k-1 }}{x_{k-2}}}\right)\cdots F_{2}\left({\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)F_{1}(x_{1 }),}$

$można$ szczególnie przydatne w przypadkach, w których funkcje generujące sekwencję składowych szereg Laurenta lub szeregi ułamkowe w $displaystyle z}$ , na przykład w szczególnym przypadku, w którym wszystkie funkcje generujące składowe są wymierne, co prowadzi do postaci algebraicznej odpowiedniej funkcji generującej przekątną.

Przykład: produkty Hadamarda wymiernych funkcji generujących

Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn Hadamarda dwóch racjonalnych funkcji generujących sam jest racjonalny. Widać to po zauważeniu, że współczynniki wymiernej funkcji generującej tworzą quasi-wielomiany postaci

${\ Displaystyle f_ {n} = p_ {1} (n) \ rho _ {1} ^ {n} + \ cdots +p_{\ell}(n)\rho _{\ell}^{n},}$

$są$ pierwiastki stałymi skalarami i gdzie $}$ n wielomian w $Displaystyle$ wszystkich $1 \ równoważnik i \ równoważnik \ ell}$ . Na przykład iloczyn Hadamarda dwóch funkcji generujących

${\ Displaystyle F (z): = {\ Frac {1} {1} {1 + a_ {1} z + a_ {2} z ^ {2} }}}$

I

${\ Displaystyle G (z): = {\ Frac {1} {1} {1 + b_ {1} z + b_ {2} z ^ {2} }}}$

jest dana przez formułę wymiernej funkcji generującej

${\ Displaystyle (F \ odot G) (z) = {\ Frac {1-a_ {2} b_ {2} z ^ {2}} {1-a_ {1} b_ {1} z + \ lewo (a_ { 2}b_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}-a_{2}b_{2}\right)z^{2}-a_{1}a_{2}b_ {1}b_{2}z^{3}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}z^{4}}}.}$

Przykład: Przekształcenia czynnikowe (w przybliżeniu Laplace'a).

Zwykłe funkcje generujące dla uogólnionych funkcji silni utworzonych jako szczególne przypadki uogólnionych rosnących funkcji silni iloczynu lub symbol k Pochhammera , zdefiniowany przez

${\ Displaystyle p_ {n} (\ alfa, R): =R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )=\alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha}}\right)_{n}, }$

gdzie $}$ ustalony, a oznacza , że ​​symbol Pochhammera przynajmniej formalnie) $displaystyle$$R$ ułamki J typu Jacobiego (lub specjalne formy ułamków ciągłych ) ustalone w odnośniku. Jeśli pozwolimy ${\ Displaystyle \ operatorname {Conv} _ {h} (\ alfa, R; z): = \ operatorname {FP} _ {h} (\ alfa, R; z)/\ nazwa operatora {FQ} _ {h} (\ alfa, R; z)}$ oznaczają zbieżność do tych nieskończonych ułamków ciągłych ${\ displaystyle h ^ {\ text {th}}}$ gdzie zbieżne funkcje składowe są zdefiniowane dla wszystkich liczb całkowitych ${\ displaystyle h \ geq 2}$ przez

${ \displaystyle \operatorname {FP} _{h}(\alpha,R;z)=\sum _{n=0}^{h-1}\left[\sum _{k=0}^{n}{ \binom {h}{k}}\left(1-h-{\frac {R}{\alpha}}\right)_{k}\left({\frac {R}{\alpha}}\right )_{nk}\right](\alpha z)^{n},}$

I

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {FQ} _ {h} (\ alfa, R; z) & = (- \alpha z)^{h}\cdot h!\times L_{h}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)\ \&=\suma _{k=0}^{h}{\binom {h}{k}}\left[\prod _{j=0}^{k-1}(R+(j-1-j )\alpha )\right](-z)^{k},\end{wyrównane}}}$

gdzie ${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ beta)} (x)}$ oznacza powiązany wielomian Laguerre'a , to mamy, że ${\ displaystyle h ^ {th}}$ funkcja zbieżna, ${\ Displaystyle \ operatorname {Conv} _ {h} (\ alfa, R; z)}$ dokładnie wylicza sekwencje iloczynowe, ${\ Displaystyle p_ {n} (\ alfa, R)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik n <2h}$ . Dla każdego $jest rozwinięta jako$ zbieżna $skończona suma obejmująca$ w

${\ Displaystyle \ operatorname {Conv} _ {h} (\ alfa, R; z) = \ suma _ {i = 0}^{h-1}{\binom {{\frac {R}{\alpha}}+i-1}{i}}\times {\frac {(-\alfa z)^{-1}} {(i+1)\cdot L_{i}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)L_{i+1}^ {\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)}}}$

Co więcej, ponieważ pojedyncza funkcja silni jest dana zarówno przez ${\ Displaystyle n! = p_ {n} (1,1)}$ i ${\ Displaystyle n! = p_ {n} (-1, n)}$ , możemy wygenerować pojedyncze warunki funkcji silni, używając przybliżonych racjonalnych zbieżnych funkcji generujących do rzędu ${\ displaystyle 2h}$ . Ta obserwacja sugeruje podejście do przybliżenia dokładnej (formalnej) transformaty Laplace'a-Borela, zwykle podawanej w kategoriach reprezentacji całkowej z poprzedniej sekcji przez iloczyn Hadamarda lub funkcję generującą współczynnik diagonalny. W szczególności, biorąc pod uwagę dowolny OGF $z$ możemy utworzyć przybliżoną transformatę Laplace'a, która jest dokładna ${\ Displaystyle G ($ , za pomocą podanego powyżej wzoru ekstrakcji współczynnika przekątnej podanego przez sol (

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ widetilde {\ mathcal {L}}} _ {h} [G] (z) &: = [x ^ {0}] \ operatorname {Conv} _ {h} \ left(1,1;{\frac {z}{x}}\right)G(x)\\&\ ={\frac {1}{2\pi}}\int _{0}^{2\ pi }\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\sqrt {z}}e^{It}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-It} \right)dt.\end{wyrównane}}}$

Przykłady sekwencji wyliczonych przez te funkcje generujące współczynniki diagonalne wynikające z mnożnika funkcji silni sekwencji zapewnianego przez racjonalne funkcje zbieżne obejmują

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} n! ^ {2} & = [z ^ {n} [x ^ {0}] \ operatorname {Conv} _ {h} \ lewo (-1, n; {\ frac {z}{x}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;x\right),h\geq n\\{\binom {2n}{n}}& =[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n;{\frac {z}{x_{ 2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n-1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}( 2{\sqrt {x_{1}}})\\{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^ {0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-1;{\frac {3z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _ {h}\left(-3,3n-2;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\ \!n&=n!\times \sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=[z^{n}x^{0} ]\left({\frac {e^{-x}}{(1-x)}}\operatorname {Conv} _{n}\left(-1,n;{\frac {z}{x}} \right)\right)\\\nazwaoperatora {af} (n)&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{nk}k!=[z^{n}]\left ({\frac {\operatorname {Conv} _{n}(1,1;z)-1}{1+z}}\right)\\(t-1)^{n}P_{n}\left ({\frac {t+1}{t-1}}\right)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}t^{k }\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}][z^{n}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{ \frac {z}{x_{1}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right) I_{0}(2{\sqrt {t\cdot x_{2}}})I_{0}(2{\sqrt {x_{2}}})\right),n\geq 1\\(2n- 1)!!&=\suma _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k\cdot (2k-3)!!\\ &=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}x_{3}^{n-1}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{ \frac {x_{3}}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(2,1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}} \right){\frac {(x_{1}+1)e^{x_{1}}}{(1-x_{2})}}\right),\end{wyrównane}}}$

gdzie ${\ Displaystyle I_ {0} (z)}$$! n}$ zmodyfikowaną funkcję Bessela ,! $)}$$x )$ oznacza funkcję podczynnikową , oznacza funkcję czynnikową naprzemienną a $\ Displaystyle P_ {n}$ jest wielomianem Legendre'a . Inne przykłady ciągów wyliczonych poprzez zastosowanie tych racjonalnych funkcji generujących iloczyn Hadamarda, podanych w artykule, obejmują funkcję G Barnesa , sumy kombinatoryczne obejmujące funkcję podwójnej silni , sumy ciągów potęg i ciągi dwumianów.

Transformacje pochodne

Transformacje szeregu zeta dodatniego i ujemnego rzędu

Dla ustalonego $)$$(z)}$ że jeśli sekwencja OGF ${th}}$ ma $j$$jest$ pochodne wszystkich wymaganych rzędów dla transformacja szeregu zeta dodatniego wzorem

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} n ^ {k} f_ {n} z ^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{macierz}k\\j\end{macierz}}\right\}z^{j}F^{( J z),}$

gdzie ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ lewo \ {{\ początek {macierz} n \\ k \ koniec {macierz}} \ prawo \}}}$ oznacza liczbę Stirlinga drugiego rodzaju . W szczególności mamy następującą tożsamość przypadku szczególnego, ${$$matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle }}$ ⟩ $scriptstyle {\ lewo \ langle$ oznacza trójkąt liczb Eulera pierwszego rzędu :

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} n ^ {k} z ^ {n} = \ suma _ {j = 0} ^ {k} \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} k \\ j \ end{matrix}}\right\}{\frac {z^{j}\cdot j!}{(1-z)^{j+1}}}={\frac {1}{(1-z) ^{k+1}}}\times \sum _{0\leq m<k}\left\langle {\begin{macierz}k\\m\end{macierz}}\right\rangle z^{m+ 1}.}$

Możemy również rozszerzyć $pochodnych -$ zeta ujemnego rzędu za pomocą podobnej procedury do rozwinięć podanych w kategoriach rzędu niektórych ${\ displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$ i nieskończony, nietrójkątny zbiór uogólnionych liczb Stirlinga w odwrotnej kolejności lub uogólnionych liczb Stirlinga drugiego rodzaju zdefiniowanych w tym kontekście.

W szczególności dla liczb całkowitych $k$ wzorem

${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ początek {macierz} k + 2 \\ j \ koniec {macierz}} \ prawo \} _ {\ AST}: = {\ Frac {1} {j!}} \ razy \ suma _{m=1}^{j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{jm}}{m^{k}}}.}$

Następnie dla ${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {Z} ^ {+}}$ i niektórych przepisanych OGF, ${\ Displaystyle F (z) \ w C ^ {\ infty}} , tj. tak, że$ pochodne wyższego rzędu $\ Displaystyle F (z)}$$istnieją$ dla wszystkich ${\ Displaystyle j \ geq 0$ my mieć to

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 1} {\ Frac {f_ {n}} {n ^ {k}}} z ^ {n} = \ suma _ {j \ geq 1} \ lewo \ {{\ początek{macierz}k+2\\j\koniec{macierz}}\prawo\}_{\ast }z^{j}F^{(j)}(z).}$

Tabela kilku pierwszych współczynników transformacji szeregu zeta, ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ lewo \ {{\ początek {macierz} k \\ j \ koniec {macierz}} \ prawo \} _ {\ ast }}}$ , pojawi się poniżej. Te rozwinięcia ważonych liczb harmonicznych są prawie identyczne ze znanymi wzorami na liczby Stirlinga pierwszego rodzaju aż do znaku wiodącego na ważonych wyrazach liczb harmonicznych w rozwinięciach.

k	${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ początek {macierz} k \\ j \ koniec {macierz}} \ prawo \} _ {\ AST} \ razy (-1) ^ {j-1} j!}$
2	${\ Displaystyle 1}$
3	${\ displaystyle H_ {j}}$
4	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ lewo (H_ {j} ^ {2} + H_ {j} ^ {(2)} \ prawo )}$
5	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {6}} \ lewo (H_ {j} ^ {3} + 3H_ { j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\prawo)}$
6	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {24}} \ lewo (H_ {j} ^ {4} + 6H_ {j} ^ {2} H_ {j} ^ {(2)} + 3 \ lewo (H_ { j}^{(2)}\right)^{2}+8H_{j}H_{j}^{(3)}+6H_{j}^{(4)}\right)}$

Przykłady transformacji szeregów zeta ujemnego rzędu

Kolejne szeregi związane z funkcjami polilogarytmicznymi ( odpowiednio funkcje dilogarytm i trylogarytm ), przemienną funkcją zeta i funkcją zeta Riemanna są formułowane na podstawie wyników poprzednich szeregów ujemnego rzędu znalezionych w piśmiennictwie. $($ szczególności, gdy $mamy$ równoważnie, gdy w powyższej tabeli następujące serie przypadków dilogarytm i odpowiadająca mu stała wartość przemiennej funkcji zeta:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tekst {Li}} _ {2} (z) & = \ suma _ {j \ geq 1} {\ Frac {(-1) ^ {j-1}} 2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1} }}\\\zeta ^{\ast }(2)&={\frac {\pi ^{2}}{12}}=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{ j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right)}{4\cdot 2^{j}}}.\end{wyrównane}}}$

Kiedy (lub gdy w notacji użytej w poprzednim podrozdziale), podobnie otrzymujemy serie przypadków specjalnych dla tych funkcji podane przez s : = 3 $=$$:$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tekst {Li}} _ {3} (z) & = \ suma _ {j \ geq 1} {\ Frac {(-1) ^ {j-1}} 6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{ j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(3)&={\frac {3}{4}}\zeta (3)=\suma _ {j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right) }{12\cdot 2^{j}}}\\&={\frac {1}{6}}\log(2)^{3}+\sum _{j\geq 0}{\frac {H_ {j}H_{j}^{(2)}}{2^{j+1}}}.\end{wyrównane}}}$

Wiadomo, że liczby harmoniczne pierwszego rzędu mają wykładniczą funkcję generującą w postaci zamkniętej rozszerzoną pod względem logarytmu naturalnego , niepełnej funkcji gamma i całki wykładniczej podanej przez

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} {\ Frac {H_ {n}} {n!}} z ^ {n} = e ^ {z} \ lewo ({\ mbox {E}} _ {1 }(z)+\gamma +\log z\right)=e^{z}\left(\Gamma (0,z)+\gamma +\log z\right).}$

Dodatkowe reprezentacje szeregów dla wykładniczych funkcji generujących liczbę harmoniczną rzędu r $są$ liczb całkowitych jako specjalne przypadki tych wyników transformacji szeregów opartych na pochodnych rzędu ujemnego Na przykład liczby harmoniczne drugiego rzędu mają odpowiednią wykładniczą funkcję generującą rozszerzoną o szereg

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} {\ Frac {H_ {n} ^ {(2)}} {n!}} z ^ {n} = \ suma _ {j \ geq 1} {\ frac {H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}}{2\cdot (j+1)!}}z^{j}e^{z}\left(j+1+ z\prawo).}$

Uogólnione przekształcenia szeregów zeta rzędu ujemnego

Dalsze uogólnienie zdefiniowanych powyżej transformacji szeregów ujemnego rzędu jest związane z funkcjami generującymi bardziej podobnymi do Hurwitza-zeta lub Lercha-transcendentnego . W szczególności, jeśli zdefiniujemy jeszcze bardziej ogólne sparametryzowane liczby Stirlinga drugiego rodzaju przez

${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ początek {macierz} k + 2 \\ j \ koniec {macierz}} \ prawo \} _ {(\ alfa, \ beta) ^ {\ ast}}: = {\ frac { 1}{j!}}\times \sum _{0\równoważnik m\równoważnik j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{jm}}{(\alpha m+\ beta )^{k}}}}$ ,

dla niezerowego ${\ Displaystyle \ alfa, \ beta \ w \ mathbb {C}}$ tak, że ${\ Displaystyle - {\ Frac {\ beta} {\ alfa}} \ notin \mathbb {Z} ^{+}}$ , a niektóre stałe mamy to $k\geq 1$

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 1} {\ Frac {f_ {n}}} {(\ alfa n + \ beta) ^ {k}}} z ^ {n} = \ suma _ {j \ geq 1} \left\{{\begin{macierz}k+2\\j\end{macierz}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}z^{j}F^{( J z).}$

$,$ dla dowolnych liczb całkowitych przybliżenia szeregów cząstkowych do pełnych nieskończonych szeregów w poprzednim

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {u} {\ Frac {f_ {n}}} {(\ alfa n + \ beta) ^ {k}}} z ^ {n} = [w ^ {u} ]\left(\suma _{j=1}^{u+u_{0}}\left\{{\begin{macierz}k+2\\j\end{macierz}}\right\}_{( \alpha ,\beta )^{\ast}}{\frac {(wz)^{j}F^{(j)}(wz)}{1-w}}\right).}$

Przykłady uogólnionych przekształceń szeregów zeta ujemnego rzędu

Szeregi dla stałych specjalnych i funkcji związanych zeta, wynikające z tych uogólnionych przekształceń szeregów opartych na pochodnych, zazwyczaj obejmują uogólnione liczby harmoniczne rzędu r zdefiniowane przez ${\ Displaystyle H_ {n} ^ {(r)} (\ alfa, \ beta): = \ suma _ {1 \ równoważnik k \ równoważnik n} (\ alfa k + \ beta) ^ {- r }}$ dla liczb całkowitych ${\ displaystyle r \ geq 1}$ . Para określonych rozwinięć szeregów dla następujących stałych, gdy jest $,$ ze specjalnych przypadków typu jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ Frac {4 {\ sqrt {3}} \ pi} {9}} & = \ suma _ {j \ geq 0} {\ Frac {8} {9 ^ {j +1}}}\left(2{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {1}{2 }}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right)\\\log \left({\frac {n^ {2}-n+1}{n^{2}}}\right)&=\sum _{j\geq 0}{\frac {1}{(n^{2}+1)^{j+ 1}}}\left({\frac {2}{3\cdot (j+1)}}-n^{2}{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac { 1}{3}}}^{-1}+{\frac {n}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}} ^{-1}\right).\end{wyrównane}}}$

Kilka innych serii dla przypadków związanych z funkcją zeta funkcji Legendre chi , funkcji polygamma i funkcji zeta Riemanna obejmuje

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ chi _ {1} (z) & = \ suma _ {j \ geq 0} {\ binom {j + {\ Frac {1} {2}}}} {\ Frac {1 }{2}}}^{-1}{\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\ \\chi _{2}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{ -1}\left(1+H_{j}^{(1)}(2,1)\right){\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1- z^{2})^{j+1}}}\\\suma _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{2}}} &=\suma _{j\geq 0}{\binom {j+z}{z}}^{-1}\left({\frac {1}{z^{2}}}+{\frac { 1}{z}}H_{j}^{(1)}(2,z)\right){\frac {1}{2^{j+1}}}\\{\frac {13}{18 }}\zeta (3)&=\sum _{i=1,2}\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {i}{3}}}{\frac {i} {3}}}^{-1}\left({\frac {1}{i^{3}}}+{\frac {1}{i^{2}}}H_{j}^{(1 )}(3,i)+{\frac {1}{2i}}\left(H_{j}^{(1)}(3,i)^{2}+H_{j}^{(2) }(3,i)\right)\right){\frac {(-1)^{i+1}}{2^{j+1}}}.\end{wyrównane}}}$

Dodatkowo możemy podać kolejną nową wyraźną reprezentację szeregową odwrotnej funkcji stycznej poprzez jej związek z liczbami Fibonacciego rozwiniętymi jak w odniesieniach przez

${\ Displaystyle \ tan ^ {-1} (x) = {\ Frac {\ sqrt {5}} {2 \ imath}} \ razy \ suma _ {b = \ pm 1} \ suma _ {j \ geq 0 }{\frac {b}{\sqrt {5}}}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{j}}^{-1}\left[{\frac {\left( b\imath \varphi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1-{\frac {b\imath \varphi t}{\sqrt {5}}}\right) ^{j+1}}}-{\frac {\left(b\imath \Phi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1+{\frac {b\ imath \Phi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}\right],}$

dla ${\ Displaystyle t \ równoważnik 2x / \ lewo (1 + {\ sqrt {1 + {\ Frac {4} {5}} x ^ {2} }} \ prawej)}$ i gdzie złoty podział (i jego odwrotność) są odpowiednio zdefiniowane przez ${\ Displaystyle \ varphi, \ Phi: = {\ Frac {1} {2} }}\left(1\pm {\sqrt {5}}\right)}$ .

Relacje inwersyjne i generowanie tożsamości funkcji

Relacje inwersyjne

Relacja odwrotna to para równań postaci

${\ Displaystyle g_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} A_{n,k}\cdot f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}B_{n,k}\cdot g_{k},}$

co jest równoważne relacji ortogonalności

${\ Displaystyle \ suma _ {k = j} ^ {n} A_ {n, k} \ cdot B_ {k, j} = \ delta _ {n, j}.}$

$n} \}}$ sekwencje, powiązane odwrotną poprzedniej postaci, czasami ${ \$ staraj się powiązać OGF i EGF pary sekwencji za pomocą równań funkcjonalnych implikowanych przez relację inwersji. Cel ten pod pewnymi względami odzwierciedla bardziej teoretyczną ( szereg Lamberta ) relację generującą funkcję gwarantowaną przez wzór inwersji Möbiusa , który zapewnia, że ​​zawsze

${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {d | n} b_ {d} \ quad \ longleftrightarrow \ quad b_ {n} = \ suma _ {d | n} \ mu \left({\frac {n}{d}}\right)a_{d},}$

$generujące$$_$ sekwencji i przez _ _

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 1} a_ {n} z ^ {n} = \ suma _ {n \ geq 1} {\ Frac {b_ {n} z ^ {n}} {1-z ^ {N}}}.}$

Podobnie transformata Eulera funkcji generujących dla dwóch sekwencji ${n} \}}$ n $\$ , spełniająca

${\ Displaystyle 1 + \ suma _ {n \ geq 1} b_ {n} z ^ {n} = \ prod _{i\geq 1}{\frac {1}{(1-z^{i})^{a_{i}}}},}$

jest podany w postaci

${\ Displaystyle 1 + B (z) = \ exp \ lewo (\ suma _ {k \ geq 1} {\ Frac { A(z^{k})}{k}}\prawo),}$

gdzie odpowiednie wzory inwersji między dwiema sekwencjami podano w odnośniku.

Pozostała część wyników i przykładów podanych w tej sekcji szkicuje niektóre z bardziej znanych przekształceń funkcji generujących dostarczonych przez sekwencje powiązane wzorami inwersji ( transformata dwumianowa i transformata Stirlinga ) i zawiera kilka tabel znanych relacji inwersji różnych typów cytowane w książce Tożsamości kombinatoryczne Riordana . W wielu przypadkach pomijamy odpowiednie równania funkcyjne wynikające z zależności inwersyjnych między dwoma ciągami ( ta część artykułu wymaga więcej pracy ).

Transformacja dwumianowa

Pierwsza relacja inwersji podana poniżej, niejawna dla transformacji dwumianowej , jest prawdopodobnie najprostszą ze wszystkich relacji inwersji, które rozważymy w tej sekcji. Dla dowolnych dwóch sekwencji, powiązanych wzorami inwersji, ${\ Displaystyle \ {f_ {n} \}}$ i ${\ Displaystyle \ {g_ {n} \}}$

${\ Displaystyle g_ {n} = \ suma _ { k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\suma _{k=0}^ {n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}g_{k},}$

mamy równania funkcjonalne między OGF i EGF tych sekwencji dostarczone przez transformację dwumianową w postaci

${\ Displaystyle G (z) = {\ Frac {1} {1-z}} F \ lewo ({\ Frac {-z} {1 -z}}\prawo)}$

I

${\ Displaystyle {\ widehat {G}} (z) = e ^ {z} {\ widehat {F}} (-z).}$

Transformata Stirlinga

Dla dowolnej pary sekwencji i ${\$ Displaystyle $} \}}$ , powiązanych wzorem odwrócenia liczby Stirlinga

${\ Displaystyle g_ {n} = \ suma _ {k =1}^{n}\left\{{\begin{macierz}n\\k\end{macierz}}\right\}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\suma _{ k=1}^{n}\left[{\begin{macierz}n\\k\end{macierz}}\right](-1)^{nk}g_{k},}$

te relacje inwersji między dwiema sekwencjami przekładają się na równania funkcjonalne między sekwencjami EGF podanymi przez transformatę Stirlinga jako

${\ Displaystyle {\ widehat {G}} (z) = {\ widehat {F}} \ lewo (e ^ {z} -1 \ prawej)}$

I

${\ Displaystyle {\ widehat {F}} (z) = {\ widehat {G}} \ lewo (\ log (1 + z) \ prawo).}$

Tabele par inwersji z książki Riordana

Tabele te pojawiają się w rozdziałach 2 i 3 w książce Riordana, stanowiąc wprowadzenie do relacji odwrotnych z wieloma przykładami, chociaż nie podkreśla to równań funkcjonalnych między funkcjami generującymi sekwencje powiązane tymi relacjami inwersyjnymi. Zainteresowanych czytelników zachęca się do pobrania kopii oryginalnej książki w celu uzyskania dalszych szczegółów.

Kilka postaci najprostszych relacji odwrotnych

Relacja	Formuła	Formuła odwrotna	Funkcje generujące (OGF)	Funkcje generujące (EGF)	Uwagi / Referencje
1	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} b_ {k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} (-1)^{nk}a_{k}}$	${\ Displaystyle B (z) = {\ Frac {1} {1-z}} A \ lewo (- {\ Frac {z} {1 -z}}\prawo)}$	${\ Displaystyle {\ widehat {B}} (z) = e ^ {z} {\ widehat {A}} (- z)}$	Zobacz transformatę dwumianową
2	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {pk} {pn}} b_ {k }}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {pk} {pn}}(-1)^{nk}a_{k}}$	${\ Displaystyle \ ast}$	${\ Displaystyle \ ast}$
3	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n + p} {k + p} }b_{k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n + p}{k+p}}(-1)^{nk}a_{k}}$	${\ Displaystyle B (z) = {\ Frac {1} {(1 + z) ^ {p + 1}}} ZA \left({\frac {z}{1+z}}\right)}$	${\ Displaystyle \ ast}$
4	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {k + p} {n + p} }b_{k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {k + p}{n+p}}(-1)^{nk}a_{k}}$	${\ Displaystyle \ ast}$	${\ Displaystyle \ ast}$
5	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 1} ^ {n} {\ Frac {n!} {k!}} {\ binom {n-1} {k-1}}b_{k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k = 1} ^ {n} {\ Frac {n!} {k!}}} \binom {n-1}{k-1}}(-1)^{nk}a_{k}}$	${\ Displaystyle \ ast}$	${\ Displaystyle {\ widehat {B}} (z) = {\ widehat {A}} \ lewo ({\ Frac {z} {1 + z}} \Prawidłowy)}$
6	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} ^ {2} k! b_ {nk}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} ^ {2} (-1) ^ {k} k! a_ { nk}}$	${\ Displaystyle \ ast}$	${\ Displaystyle {\ widehat {B}} (z) = {\ Frac {1} {1} {1 + z}} {\ widehat {A} }\lewo({\frac {z}{1+z}}\prawo)}$
7	${\ Displaystyle {\ Frac {n! a_ {n}} {(n + p)!}} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac { k!b_{k}}{(k+p)!}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {n! b_ {n}} {(n + p)!}} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac { (-1)^{nk}k!a_{k}}{(k+p)!}}}$	${\ Displaystyle B (z) = {\ Frac {1} {(1 + z) ^ {p + 1}}} ZA \left({\frac {z}{1+z}}\right)}$	${\ Displaystyle \ ast}$
8	${\ Displaystyle s_ {n} = \ suma _ {k \ geq 0} {\ binom {n + k} {m + 2k}} a_ { k}}$	${\ Displaystyle \ ast}$	${\ Displaystyle S (z) = {\ Frac {z ^ {m}} {(1-z) ^ {m+1}}}A\left({\frac {z}{(1-z)^{2}}}\right)}$	${\ Displaystyle \ ast}$	Widzieć.
9	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k }}a^{k}(-c)^{nk}b_{k}}$	${\ Displaystyle \ ast}$	${\ Displaystyle A (z) = {\ Frac {1} {1} {1 + cx}} B \ lewo ({\ Frac {ax} 1+cx}}\prawo)}$	${\ Displaystyle \ ast}$	Uogólnienie transformacji dwumianowej dla takiego, że $mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {ax} {1 + cx}} \ prawo | <\ sigma _ {B}}$ .
10	${\ Displaystyle w_ {n} = \ suma _ {i = 0} ^ {n} {\ binom {n} {i}} k ^ {n}a_{i},\ k\neq 0}$	${\ Displaystyle \ ast}$	${\ Displaystyle \ ast}$	${\ Displaystyle {\ widehat {W}} (A, k; z) = e ^ {kz} {\ widehat {A}} ( kz)}$	Transformacja ${\ displaystyle k}$ dwumianowa (patrz)
11	${\ Displaystyle f_ {n} = \ suma _ {i = 0} ^ {n} {\ binom {n} {i}} k^{ni}a_{i},\ k\neq 0}$	${\ Displaystyle \ ast}$	${\ Displaystyle \ ast}$	${\ Displaystyle {\ widehat {F}} (A, k; z) = e ^ {kz} {\ widehat {A}} (z )}$	Spadająca w ) $transformacja dwumianowa$ patrz artykuł Spivey
12	${\ Displaystyle r_ {n} = \ suma _ {i = 0} ^ {n} {\ binom {n} {i}} k ^ {i}a_{i},\ k\neq 0}$	${\ Displaystyle \ ast}$	${\ Displaystyle \ ast}$	${\ Displaystyle {\ widehat {R}} (A, k; z) = e ^ {z} {\ widehat {A}} (kz )}$	Rosnąca $transformacja$ w ) (patrz artykuł Spivey

Klasy Goulda relacji odwrotnych

Warunki i we $\ Displaystyle A_ {n,$ inwersji postaci są $ZA$

${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} A_ {n ,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{nk}a_{k},}$

tworzących kilka szczególnych przypadków klas Goulda relacji odwrotnych podano w następnej tabeli.

Klasa	${\ Displaystyle A_ {n, k}}$	${\ Displaystyle B_ {n, k}}$
1	${\ Displaystyle {\ binom {p + qk-k} {nk}}}$	${\ Displaystyle {\ binom {p + qn-k} {nk}} -q {\ binom {p+qn-k-1}{nk-1}}}$
2	${\ Displaystyle {\ binom {p + qk-k} {nk}} + q {\ binom {p +qk-k}{n-1-k}}}$	${\ Displaystyle {\ binom {p + qn-k} {nk}}}$
3	${\ Displaystyle {\ binom {p + qn-n} {kn}}}$	${\ Displaystyle {\ binom {p + qk-n} {kn}} -q {\ binom {p+qk-n-1}{kn-1}}}$
4	${\ Displaystyle {\ binom {p + qn-n} {kn}} + q {\ binom {p +qn-n}{k-1-n}}}$	${\ Displaystyle {\ binom {p + qk-n} {kn}}}$

Dla klas 1 i 2 zakres sumy spełnia ${\ Displaystyle k \ in [0, n]}$ , a dla klas 3 i 4 granice sumowania są określone przez ${\ Displaystyle k = n, n + 1, \ ldots}$ . Terminy te są również nieco uproszczone w porównaniu z ich pierwotnymi formami w tabeli przez tożsamości

${\ Displaystyle {\ binom {p + qn-k} {nk}} - q \ razy {\ binom {p + qn-k-1} {nk-1}} = {\ Frac {p + qk-k} {p + qn-k}}{\binom {p+qn-k}{nk}}}$

${\ Displaystyle {\ binom {p + qk-k} {nk}} + q \ razy {\ binom {p + qk-k} {n-1-k}} = {\ Frac {p + qn-n + 1}{p+qk-n+1}}{\binom {p+qk-k}{nk}}.}$

Prostsze relacje odwrotne Czebyszewa

Tak zwane prostsze przypadki klas Czebyszewa relacji odwrotnych w poniższym podrozdziale podano w następnej tabeli.

Relacja	Wzór na za $\ displaystyle a_ {n}}$	Formuła odwrotna dla ${\ displaystyle b_ {n}}$
1	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n} {k}} b_ {n-2k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} \ lewo [{\binom {nk}{k}}+{\binom {nk-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-2k}}$
2	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} \ lewo [{\ binom {n} {k}} -{\binom {n}{k-1}}\right]b_{n-2k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {nk} {k}} (-1) ^ {k}a_{n-2k}}$
3	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n + 2k} {k}} b_ {n + 2k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} \ lewo [{\binom {n+k}{k}}+{\binom {n+k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n+2k}}$
4	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} \ lewo [{\ binom { n+2k}{k}}-{\binom {n+2k}{k-1}}\right]b_{n+2k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n + 2k} {k}} (- 1)^{k}a_{n+2k}}$
5	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {nk} {k}} b_ {nk}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} \ left[{\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{nk}}$
6	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} \ lewo [{\ binom {n +1-k}{k}}+{\binom {nk}{k-1}}\right]b_{nk}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n + k} {k}} (-1) ^{k}a_{nk}}$
7	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} b_ {n + ck}}$	$= \ suma _ {k} {\ binom {n +ck+k}{k}}{\frac {n(-1)^{k}}{n+ck+k}}a_{n+ck}}$

Wzory w tabeli są nieco uproszczone przez następujące tożsamości:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ binom {nk} {k}} + {\ binom {nk-1} {k-1}} & = {\ Frac {n} {nk}}} {\ binom { nk}{k}}\\{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1-k}{n+1-2k} }{\binom {n}{k}}\\{\binom {n+2k}{k}}-{\binom {n+2k}{k-1}}&={\frac {n+1} {n+1+k}}{\binom {n+2k}{k}}\\{\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-1}{k- 1}}&={\frac {nk}{n+k}}{\binom {n+k}{k}}.\end{wyrównane}}}$

$w$ podane w tabeli relacje inwersji obowiązują również wtedy relacji

Klasy Czebyszewa relacji odwrotnych

Warunki i we $\ Displaystyle A_ {n,$ inwersji postaci są $ZA$

${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k }A_{n,k}\cdot b_{n+ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{ n+ck},}$

dla niezerowych liczb całkowitych $klas$ kilka szczególnych przypadków Czebyszewa relacji odwrotnych podano w następnej tabeli.

Klasa	${\ Displaystyle A_ {n, k}}$	${\ Displaystyle B_ {n, k}}$
1	${\ Displaystyle {\ binom {n} {k}}}$	${\ Displaystyle {\ binom {n + ck + k} {k}} - (c + 1 ){\binom {n+ck+k-1}{k-1}}}$
2	${\ Displaystyle {\ binom {n} {k}} + (c + 1) {\ binom {n} {k-1}}}$	${\ Displaystyle {\ binom {n + ck + k} {k}}}$
3	${\ Displaystyle {\ binom {n + ck} {k}}}$	${\ Displaystyle {\ binom {n-1 + k} {k}} + c {\ binom {n-1 + k} k-1}}}$
4	${\ Displaystyle {\ binom {n + ck} {k}} - (c-1) {\ binom {n + ck }{k-1}}}$	${\ Displaystyle {\ binom {n + k} {k}}}$

Dodatkowo, te relacje inwersji utrzymują się również, gdy $lub$$\ Displaystyle p = 0,1,2,$ p \ kiedy współczynnik znaku jest przesunięty z terminów $n$$k$ na ${\ Displaystyle A_ {n, k}}$ . Wzory podane w poprzedniej tabeli są nieco uproszczone przez tożsamości

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ binom {n + ck + k} {k}} - (c + 1) {\ binom {n + ck + k-1} {k-1}} & = { \frac {n}{n+ck+k}}{\binom {n+ck+k}{k}}\\{\binom {n}{k}}+(c+1){\binom {n }{k-1}}&={\frac {n+1+ck}{n+1-k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n-1+k}{ k}}+c{\binom {n-1+k}{k-1}}&={\frac {n+ck}{n}}{\binom {n-1+k}{k}}\ \{\binom {n+ck}{k}}-(c-1){\binom {n+ck}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+ck- k}}{\binom {n+ck}{k}}.\end{wyrównane}}}$

Prostsze relacje odwrotne Legendre'a

Relacja	Wzór na za $\ displaystyle a_ {n}}$	Formuła odwrotna dla ${\ displaystyle b_ {n}}$
1	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n + p + k} {nk}} b_ {k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k }\left[{\binom {2n+p}{nk}}-{\binom {2n+p}{nk-1}}\right](-1)^{nk}a_{k}}$
2	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {2n + p} {nk}} b_ {k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _{k}\lewo[{\binom {n+p+k}{nk}}-{\binom {n+p+k-1}{nk-1}}\right](-1)^{ nk}a_{k}}$
3	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k \ geq n} {\ binom {n + p + k} {kn}} b_{k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k\geq n}\left[{\binom {2k+p}{kn}}-{\binom {2k+p}{kn-1}}\right](-1)^{nk}a_{k }}$
4	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k \ geq n} {\ binom {2k + p} {kn}} b_ {k }}$	${\ Displaystyle b_ {n} =\sum _{k\geq n}\left[{\binom {n+p+k}{kn}}-{\binom {n+p+k-1}{kn-1}}\right]( -1)^{nk}a_{k}}$
5	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {2n + p} {k}} b_ {n-2k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} =\sum _{k}\left[{\binom {2n+p-3k}{k}}+3{\binom {2n+p-3k-1}{k-1}}\right](-1 )^{k}a_{n-2k}}$
6	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} \ lewo [{\ binom {2n+p}{k}}-3{\binom {2n+p}{k-1}}\right]b_{n-2k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {2n + p-3k} k}}(-1)^{k}a_{n-2k}}$
7	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {[n/2]} {\ binom {3n }{k}}b_{n-2k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {[n/2]} \ lewo [{\ binom {3n-5k} {k}} + 5 {\ binom {3n-5k-1 }{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-2k}}$
8	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {[n/3]} {\ binom {2n }{k}}b_{n-3k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {[n/3]} \ lewo [{\ binom {2n-5k} {k}} + 5 {\ binom {2n-5k-1 }{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-3k}}$

Klasy relacji odwrotnych Legendre-Czebyszewa

Klasy relacji odwrotnych Legendre-Czebyszewa odpowiadają stosunkom odwrotnym formy

${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} A_ {n ,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\suma _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{nk}a_{k},}$

$k}}$ warunki, i ${n$$w \mathbb {Z} }$ pośrednio zależą od pewnego stałego niezerowego ${\ Displaystyle$ . Ogólnie rzecz biorąc, biorąc pod uwagę klasę odwrotnych par Czebyszewa postaci

${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k }A_{n,k}\cdot b_{n-ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{ n-ck},}$

do $\ Displaystyle c}$ liczba pierwsza, podstawienie $\ Displaystyle n \ longmapsto cn + p}$ , $\ Displaystyle a_ {cn + p} \ longmapsto A_ {n}}$ i ${\ Displaystyle b_ {cn + p} \ longmapsto B_ {n}}$ (prawdopodobnie zastępując ${\ Displaystyle k \ longmapsto nk}$ ) prowadzi do pary postaci Legendre-Czebyszew

${\ Displaystyle A_ {n} = \ suma _ {k} A_ {cn + p, k} B_ {nk} \ quad \ longleftrightarrow \ quad B_ {n} = \ suma _ {k} B_ {cn + p, k }(-1)^{k}A_{nk}.}$

$,$ jeśli dodatnia liczba całkowita pary inwersji postaci

${\ Displaystyle A_ {n} = \ suma _ {k} A_ {dn + p, k} B_ {n-ek} \ quad \ longleftrightarrow \ quad B_ {n} = \ suma _ {k} B_ {dn + p ,k}(-1)^{k}A_{n-ek}.}$

Następna tabela podsumowuje kilka uogólnionych klas relacji odwrotnych Legendre-Czebyszewa dla pewnej niezerowej liczby całkowitej do $\ displaystyle c}$ .

Klasa	${\ Displaystyle A_ {n, k}}$	${\ Displaystyle B_ {n, k}}$
1	${\ Displaystyle {\ binom {cn + p} {nk}}}$	${\ Displaystyle {\ binom {n + p-1 + ck-k }{nk}}+c{\binom {n+p-1+ck-k}{nk-1}}}$
2	${\ Displaystyle {\ binom {cn + p} {kn}}}$	$\ Displaystyle {\ binom {ck + k + pn-1} kn}}-c{\binom {ck+k+pn-1}{kn-1}}}$
3	${\ Displaystyle {\ binom {ck + p} {np}}}$	${\ Displaystyle {\ binom {cn + n + pk-1} nk}}-c{\binom {cn+n+pk-1}{nk-1}}}$
4	${\ Displaystyle {\ binom {ck + p} {kn}}}$	${\ Displaystyle {\ binom {cn-n + p + k-1 }{kn}}+c{\binom {cn-n+p+k-1}{kn-1}}}$
5	${\ Displaystyle {\ binom {cn + p} {nk}} - (c-1) {\ binom {cn+p}{nk-1}}}$	${\ Displaystyle {\ binom {n + p + ck-k} {nk}}}$
6	${\ Displaystyle {\ binom {cn + p} {kn}} + (c + 1) {\ binom {cn+p}{kn-1}}}$	${\ Displaystyle {\ binom {ck + k + pn} {kn}}}$
7	${\ Displaystyle {\ binom {ck + p} {nk}} + (c + 1) {\ binom {ck+p}{nk-1}}}$	${\ Displaystyle {\ binom {cn + n + pk} {nk}}}$
8	${\ Displaystyle {\ binom {ck + p} {kn}} - (c-1) {\ binom {ck+p}{kn-1}}}$	${\ Displaystyle {\ binom {cn-n + p + k} {kn}}}$

Relacje odwrotne Abela

Relacje odwrotne Abela odpowiadają odwrotnym parom postaci Abela

${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{nk}b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\suma _{k=0}^{ n}{\binom {n}{k}}B_{nk}(-1)^{nk}a_{k},}$

$gdzie$ warunki i $zmieniać$$się$ parametrem _ Relacje te również nadal obowiązują, jeśli podstawienie współczynnika dwumianowego ${\ Displaystyle {\ binom {n} {k}} \ longmapsto {\ binom {n + p} {k + P}}}$ jest wykonywane dla pewnej nieujemnej liczby całkowitej ${\ displaystyle p}$ . Następna tabela podsumowuje kilka godnych uwagi form tych odwrotnych relacji Abla.

Numer	${\ Displaystyle A_ {nk}}$	${\ Displaystyle B_ {nk}}$	Generowanie tożsamości funkcji
1	${\ Displaystyle x (x + nk) ^ {nk-1}}$	${\ Displaystyle x (xn + k) ^ {nk-1}}$	${\ Displaystyle \ ast}$
2	${\ Displaystyle (x + nk) ^ {nk}}$	${\ Displaystyle (x ^ {2} -n + k) (xn + k) ^ {nk-2}}$	${\ Displaystyle \ ast}$
3	${\ Displaystyle (x + k) ^ {nk}}$	${\ Displaystyle (x + k) (x + n) ^ {nk-1}}$	${\ Displaystyle \ ast}$
3a	${\ Displaystyle (x + n) (x + k) ^ {nk-1}}$	${\ Displaystyle (x + n) ^ {nk}}$	${\ Displaystyle \ ast}$
4	${\ Displaystyle (x + 2n) (x + n + k) ^ {nk-1}}$	${\ Displaystyle (x + 2n) (x + n + k) ^ {nk-1}}$	${\ Displaystyle \ ast}$
4a	${\ Displaystyle (x + 2k) (x + n + k) ^ {nk-1}}$	${\ Displaystyle (x + 2k) (x + n + k) ^ {nk-1}}$	${\ Displaystyle \ ast}$
5	${\ Displaystyle (n + k) ^ {nk}}$	${\ Displaystyle \ lewo [n + k (4n-1) \ prawo] (n + k) ^ {nk-2}}$	${\ Displaystyle \ ast}$

Relacje odwrotne wyprowadzone ze zwykłych funkcji generujących

Jeśli pozwolimy , aby zawiłe liczby Fibonacciego były zdefiniowane przez ${\ Displaystyle f_ {k} ^ {(\ pm p)}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f_ {n} ^ {(p)} & = \ suma _ {j \ geq 0} {\ binom {p + nj-1} {nj}}} {\ binom {nj}{j}}\\f_{n}^{(-p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p}{n+j}}{\binom {nj} {j}}(-1)^{nj},\end{wyrównane}}}$

mamy następną tablicę relacji odwrotnych, które otrzymujemy z własności funkcji generujących ciągi zwykłe, udowodnionych jak w rozdziale 3.3 książki Riordana.

Relacja	Wzór na za $\ displaystyle a_ {n}}$	Formuła odwrotna dla ${\ displaystyle b_ {n}}$
1	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {p + k} {k}} b_ {nk}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {p + 1} {k}}(-1)^{k}a_{nk}}$
2	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k \ geq 0} {\ binom {p + k} {k}} b_ {n- qk}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {p + 1} {k}} (-1 )^{k}a_{n-qk}}$
3	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} f_ {k} ^ {(p)} b_ {nk} }$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} f_ {k} ^ {(- p)} a_ { nk}}$
4	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {2k} {k}} b_ {nk} }$	${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {2k} {k}} {\ Frac {a_ { nk}}{(1-2k)}}}$
5	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {2k} {k} }{\frac {b_{nk}}{(k+1)}}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = a_ {n} - \ suma _ {k = 1} ^ {n} {\ binom { 2k}{k}}{\frac {a_{nk}}{k}}}$
6	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^{n}{\binom {2p+2k}{p+k}}{\binom {p+k}{k}}{\binom {2p}{p}}^{-1}b_{nk}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k=0}^{n}{\binom {2p+1}{2k}}{\binom {p+k}{k}}{\binom {p+k}{2k}}^{-1} (-1)^{k}a_{nk}}$
7	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {4k} {2k}} b_ {n-2k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {4k}{2k}}{\frac {(8k+1)a_{n-2k}}{(2k+1)(k+1)}}}$
8	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {4k + 2} {2k + 1}} b_ { n-2k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = {\ frac {a_{n}}{2}}-\suma _{k\geq 1}{\binom {4k-2}{2k-1}}{\frac {(8k-3)a_{n-2k} {2k(4k-3)}}}$
9	${\ Displaystyle a_ {n} = {\ binom {4k} {2k}}} {\ Frac {b_ {n-2k}}} (1-4k)}}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {4k} {2k}} {\ Frac { a_{n-2k}}{(2k+1)}}}$

Zauważ, że relacje 3, 4, 5 i 6 w tabeli można przekształcić zgodnie z podstawieniami ${\ Displaystyle a_ {nk} \ longmapsto a_ {n-qk}}$ i ${\ Displaystyle b_ {nk} \ longmapsto b_ {n-qk}}$ dla pewnej ustalonej niezerowej liczby całkowitej ${\ Displaystyle q \ geq 1}$ .

Relacje odwrotne wyprowadzone z wykładniczych funkcji generujących

Niech $oznaczają odpowiednio$ liczby Bernoulliego i liczby Eulera $i załóżmy$ że sekwencje, $2n} \}}$${\ Displaystyle \ {d_$ { , ${\ Displaystyle \ {e_ {2n} \}}$ i ${\ Displaystyle \ {f_ {2n} \}}$ są zdefiniowane przez następujące wykładnicze funkcje generujące:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma _ {n \ geq 0} {\ Frac {d_ {2n} z ^ {2n}} {(2n)!}} & = {\ Frac {2z} {e ^ {z}-e^{-z}}}\\\suma _{n\geq 0}{\frac {e_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac { z^{2}}{e^{z}+e^{-z}-2}}\\\suma _{n\geq 0}{\frac {f_{2n}z^{2n}}{( 2n)!}}&={\frac {z^{3}}{3(e^{z}-e^{-z}-2z)}}.\end{wyrównane}}}$

Następna tabela podsumowuje kilka godnych uwagi przypadków relacji inwersyjnych uzyskanych z wykładniczych funkcji generujących w sekcji 3.4 książki Riordana.

Relacja	Wzór na za $\ displaystyle a_ {n}}$	Formuła odwrotna dla ${\ displaystyle b_ {n}}$
1	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}}} {\ ułamek {b_{k}}{(k+1)}}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} B_ {k} a_ {nk}}$
2	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n + k} {k}} {\ Frac { b_{n+k}}{(k+1)}}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n + k} {k}} B_ {k} a_ {n +k}}$
3	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n} {2k}} b_ {n-2k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n} {2k}} E_ {2k} a_ {n- 2k}}$
4	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n + 2k} {2k}} b_ {n + 2k} }$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n + 2k} {2k}} E_ {2k }a_{n+2k}}$
5	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n} {2k}} {\ Frac {b_ {n-2k}}{(2k+1)}}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n} {2k}} d_ {2k} a_ {n- 2k}}$
6	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n + 1} {2k + 1}} b_ {n -2k}}$	${\ Displaystyle (n + 1) \ cdot b_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n+1}{2k}}d_{2k}a_{n-2k}}$
7	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n} {2k}}} {\ dwumian {2k+2}{2}}^{-1}b_{n-2k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n} {2k}} e_ {2k} a_ {n- 2k}}$
8	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n + 2} {2k + 2}} b_ {n -2k}}$	${\ Displaystyle {\ binom {n + 2} {2}} \ cdot b_ {n} = \ suma _{k}{\binom {n+2}{2k}}e_{2k}a_{n-2k}}$
9	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n} {2k}}} {\ dwumian {2k+3}{3}}^{-1}b_{n-2k}}$	${\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n} {2k}} f_ {2k} a_ {n- 2k}}$
10	${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {k} {\ binom {n + 3} {2k + 3}} b_ {n -2k}}$	${\ Displaystyle {\ binom {n + 3} {3}} \ cdot b_ {n} = \ suma _{k}{\binom {n+3}{2k}}f_{2k}a_{n-2k}}$

Odwrotności wielomianowe

Relacje odwrotne używane do formułowania transformacji dwumianowej cytowanej w poprzednim podrozdziale są uogólnione na odpowiednie relacje odwrotne dwóch indeksów dla sekwencji dwóch indeksów oraz na wielomianowe wzory inwersji dla sekwencji indeksów obejmujących ${\ displaystyle j \ geq 3}$ współczynniki dwumianowe w Riordana. W szczególności mamy postać dwuindeksowej relacji odwrotnej podanej przez

${\ Displaystyle a_ {mn} = \ suma _ {j = 0} ^ {m} \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {m} {j} }{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}b_{jk}\quad \longleftrightarrow \quad b_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}a_{jk},}$

oraz bardziej ogólna postać wielomianowej pary wzorów inwersji podanych przez

${\ Displaystyle a_ {n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {j}} = \ suma _ {k_ {1}, \ ldots, k_ {j}} {\ binom {n_ {1}} {k_ { 1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}b_{k_{1}k_{2 }\cdots k_{j}}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\suma _{k_{1},\ldots,k_{j}}{ \binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j }}a_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}.}$

Notatki

•   Comtet, L. (1974). Zaawansowana kombinatoryka (PDF) . Wydawnictwo D. Reidel. ISBN 9027703809 .
•   Flajolet i Sedgewick (2010). Kombinatoryka analityczna . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0-521-89806-5 .
•   Graham, Knuth i Patashnik (1994). Matematyka konkretna: podstawa informatyki (wyd. 2). Addison-Wesley. ISBN 0201558025 .
•   Knutha, DE (1997). Sztuka programowania komputerowego: podstawowe algorytmy . Tom. 1. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4 .
•   Lando, SK (2002). Wykłady na temat tworzenia funkcji . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 0-8218-3481-9 .
•   Oliver, Lozier, Boisvert i Clark (2010). NIST Podręcznik funkcji matematycznych . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0-521-14063-8 . {{ cite book }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
• Riordan, J. (1968). Tożsamości kombinatoryczne . Wiley i Synowie.
•   Roman S. (1984). Rachunek Umbralny . Publikacje Dover. ISBN 0-486-44139-3 .
• Schmidt, MD (3 listopada 2016). „Przekształcenia funkcji generujące serie Zeta związane z uogólnionymi liczbami Stirlinga i sumami częściowymi funkcji Zeta Hurwitza”. arXiv : 1611,00957 [ matematyka.CO ].
• Schmidt, MD (30 października 2016). „Przekształcenia funkcji generujące serie Zeta związane z funkcjami polilogarytmu i liczbami harmonicznymi rzędu k ” . arXiv : 1610.09666 [ matematyka.CO ].
• Schmidt, MD (2017). „Ułamki ciągłe typu Jacobiego dla zwykłych funkcji generujących uogólnionych funkcji silni” . Dziennik sekwencji liczb całkowitych . 20 . ar Xiv : 1610.09691 .
• Schmidt, MD (9 września 2016). „Przekształcenia funkcji generujące szeregi kwadratowe”. arXiv : 1609.02803 [ matematyka.NT ].
•   Stanley, RP (1999). Kombinatoryka wyliczeniowa . Tom. 2. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78987-5 .

Linki zewnętrzne

• Dlaczego nie uczą rachunku różniczkowego Newtona „Co będzie dalej?” - Matematyka