Wyśrodkowany trochoid

Epitrochoida (czerwona) o stałym promieniu koła R = 3, promieniu toczącego się koła r = 1 i odległości d = 1/2 od środka toczącego się koła do punktu generującego

Hipotrochoida (czerwony) z R = 5, r = 3, d = 5

W geometrii wyśrodkowany trochoid to ruletka utworzona przez koło toczące się po innym okręgu. Oznacza to, że jest to ścieżka wyznaczona przez punkt przymocowany do koła, gdy koło toczy się bez poślizgu po ustalonym okręgu. Termin obejmuje zarówno epitrochoid , jak i hypotrochoid . Środek krzywej jest zdefiniowany jako środek ustalonego okręgu.

Alternatywnie, wyśrodkowany trochoid można zdefiniować jako ścieżkę wyznaczoną przez sumę dwóch wektorów, z których każdy porusza się ze stałą prędkością po okręgu. W szczególności wyśrodkowany trochoid to krzywa, którą można sparametryzować w płaszczyźnie zespolonej za pomocą

{\ Displaystyle z = r_ {1} e ^ {i \ omega _ {1} t} + r_ {2} e ^ {i \ omega _{2}t},\,}

lub w płaszczyźnie kartezjańskiej wg

{\ Displaystyle x = r_ {1} \ sałata (\ omega _ {1} t) + r_ {2} \ sałata ( \ omega _ {2} t),}

{\ Displaystyle y = r_ {1} \ sin (\ omega _ {1} t)+r_{2}\sin(\omega _{2}t),\,}

Gdzie

{\ Displaystyle r_ {1}, r_ {2}, \ omega _ {1}, \ omega _ {2} \ neq 0, \ quad \ omega _ {1} \ neq \ omega _ {2}. \,}

Jeśli $.$ to krzywa jest zamknięta W przeciwnym razie krzywa owija się wokół początku nieskończoną liczbę razy i jest gęsta w pierścieniu o promieniu zewnętrznym ${\ Displaystyle | r_ {1}|+|r_ {2}|}$ i promień wewnętrzny ${\ Displaystyle || r_ {1}|-| r_ {2}||}$ .

Terminologia

Większość autorów używa epitrochoidy na oznaczenie ruletki koła toczącego się po zewnętrznej stronie innego koła, hipotrochoidy na oznaczenie ruletki koła toczącego się wokół wnętrza innego koła, a trochoidy na oznaczenie ruletki koła toczącego się wzdłuż linii. Jednak niektórzy autorzy (na przykład [1] za F. Morleyem ) używają „trochoidy” na oznaczenie ruletki koła toczącego się po innym kole, chociaż jest to niezgodne z bardziej powszechną terminologią. Termin Centered trochoid przyjęty przez [2] łączy epitrochoidę i hipotrochoidę w jedną koncepcję, aby usprawnić ekspozycję matematyczną i pozostaje spójny z istniejącym standardem.

Termin krzywa trochoidalna opisuje epitrochoidy, hipotrochoidy i trochoidy (patrz [3] ). Krzywą trochoidalną można zdefiniować jako ścieżkę wyznaczoną przez sumę dwóch wektorów, z których każdy porusza się ze stałą prędkością po okręgu lub po linii prostej (ale nie oba poruszają się po linii).

${1}}$ epitrochoidą, jeśli i mają ten sam znak, a hipotrochoidą, jeśli mają przeciwny znak ${ \ displaystyle \ omega$ oznaki.

Podwójna generacja

$Niech$ okrąg o promieniu $się$ po okręgu o promieniu $,$ punkt jest do toczącego się koła. Stałą krzywą można sparametryzować jako ${\ Displaystyle f (t) = ae ^ {it}},$ a krzywą kroczącą można sparametryzować jako ${\ Displaystyle r (t) = być ^ {i (a / b) t}}$ lub ${\ Displaystyle r (t) = - być ^{-i(a/b)t}}$ w zależności od tego, czy parametryzacja przechodzi przez okrąg w tym samym kierunku, czy w przeciwnym kierunku niż parametryzacja krzywej stałej. W obu przypadkach możemy użyć $\ Displaystyle r (t) = ce ^ {i (a/c) t}}$ gdzie ${\ displaystyle | c | = b}$ . Niech będzie przymocowany do toczącego się koła w . $displaystyle d}$ $\$ . Następnie, stosując wzór na ruletkę , punkt zakreśla krzywą określoną przez:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f (t) + (dr (t)) {f' (t) \ nad r' (t)} i = ae ^ {it} + (d-ce ^ {i ( a/c)t}){aie^{it} \over aie^{i(a/c)t}}\\&=(ac)e^{it}+de^{i(1-a/c )t}.\end{wyrównane}}}

To jest parametryzacja podana powyżej z ${\ displaystyle r_ {1} = ac}$ , ${\ displaystyle r_ {2} = d}$ , ${\ displaystyle \ omega _ { 1} = 1}$ , ${\ Displaystyle \ omega _ {2} = 1-a/c}$ .

I odwrotnie, biorąc pod uwagę ${\ Displaystyle r_ {1}}$ , ${\ Displaystyle r_ {2}}$ , ${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$ i ${\ Displaystyle \ omega _ {2} }$ , krzywa ${\ Displaystyle r_ {1} e ^ {i \ omega _ {1} t} + r_ {2} e ^ {i \ omega _ {2} t}}$ można przeparametryzować jako ${\ Displaystyle r_ {1} e ^ {it} + r_ {2} e ^ {i ( \ omega _ {2}/\ omega _ {1}) t}}$ i równania ${\ Displaystyle r_ {1} = ac}$ , ${\ displaystyle r_ {2} = d }$ , ${\ Displaystyle \ omega _ {2} / \ omega _ {1} = 1-a / c}$ można rozwiązać za $\ Displaystyle a}$ , ${\ displaystyle c}$ i ${\ displaystyle d}$ , aby uzyskać ${\ Displaystyle a = r_ {1} (1- \ omega _ {1}/\ omega _ {2}), \ c = - r_ {1} {\ omega _ {1} / \ omega _ {2}} ,\ d=r_{2}.}$

r $}$ $^ {i \ omega _ {2} }$ $t$ $, jeśli$ $.$ 1 i 2 są odwrócone, ale wynikowe wartości i generalnie nie Daje to twierdzenie o podwójnej generacji, które stwierdza, że z wyjątkiem szczególnego przypadku omówionego poniżej, każdy wyśrodkowany trochoid może być generowany na dwa zasadniczo różne sposoby jako ruletka koła toczącego się po innym kole.

Przykłady

Kardioidalny

Kardioidalna jest parametryzowana przez ${\ Displaystyle 2e ^ {it} -e ^ {2it}$ } . Weź ${\ Displaystyle r_ {1} = 2, r_ {2} = -1, \ omega _ {1} = 1, \ omega _ {2} = 2}$ aby uzyskać ${\ Displaystyle a = 2 (1-1 / 2)=1,c=-2(1/2)=-1,d=-1}$ . Oba okręgi mają promień 1, a ponieważ c <0, toczący się okrąg toczy się po zewnętrznej stronie stałego koła. Punkt p znajduje się 1 jednostkę od środka toczenia, więc leży na jego obwodzie. Jest to zwykła definicja kardioidy. Możemy ${\ Displaystyle R_ {1} = - 1, r_ {2} = 2, \ omega _ {1} = 2, \ omega _ {2} = 1},$ $1$ więc ${\ Displaystyle a = -1 (1-2) = 1, b = - (-1) (2 )=2,d=2.}$ uzyskać W tym przypadku stały okrąg ma promień 1, toczący się okrąg ma promień 2, a ponieważ c > 0, toczący się okrąg obraca się wokół stałego koła na wzór hula hop . Daje to zasadniczo inną definicję tej samej krzywej.

Elipsa

Jeśli ${\ Displaystyle \ omega _ {1} = - \ omega _ {2}}$ to otrzymamy krzywą parametryczną ${\ displaystyle r_ {1} mi ^ {to} + r_ {2} e ^ {- to}}$ lub ${\ Displaystyle x = ( r_{1}+r_{2})\cos t,y=(r_{1}-r_{2})\sin t\,\!}$ . Jeśli ${\ Displaystyle | r_ {1}|\ neq | r_ {2}|}$ , to jest równanie elipsy o osiach ${\ Displaystyle 2 | r_ {1} + r_ {2} |}$ i ${\ Displaystyle 2 | r_ {1} -r_ {2}|}$ . Oceniając jak poprzednio , ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle a}$ , do i $displaystyle d}$ albo ${\ Displaystyle a = 2r_ {1}, c = r_ {1}, d = r_ {2} \, \!}$ lub ${\ Displaystyle a = 2r_ {2}, c = r_ {2}, d = r_ {1} \, \$ } Daje to dwa różne sposoby generowania elipsy, z których oba obejmują koło toczące się wewnątrz koła o dwukrotnie większej średnicy.

Linia prosta

${\ Displaystyle \ omega _ {1} = - \ omega _ {2}}$ , ${2} = r}$ = , wtedy $= r, c = r \, \!}$ b $_$ krzywa prostu

Podobnie, jeśli ${\ displaystyle r_ {1} = r, r_ {2} = - r \ \!}$ , to ${\ Displaystyle a = 2r, c = r, d = - r \, \!}$ ${\ Displaystyle a = -2r, c = -r, d = r\,\!}$ za . Okrąg jest symetryczny względem początku, więc oba dają tę samą parę okręgów. $_$ krzywa _

Zatem przypadek ${\ Displaystyle \ omega _ {1} = - \ omega _ {2}, \ | r_ {1} | = | r_ {2} |}$ jest wyjątkiem (w rzeczywistości jedynym wyjątkiem) od twierdzenia o podwójnej generacji podanego powyżej . Ten zdegenerowany przypadek, w którym krzywa jest odcinkiem linii prostej, leży u podstaw pary Tusi .

„Centered trochoid” na mathcurve.com
„Epitrochoida” na mathcurve.com
„Hipotrochoida” na mathcurve.com
„Peritrochoid” na mathcurve.com
Yates, RC: Podręcznik krzywych i ich właściwości , JW Edwards (1952), „Trochoidy”
Trochoidy: krzywe generowane przez toczące się koło

Linki zewnętrzne