Wykres McKaya

Diagramy afiniczne (rozszerzone) Dynkina

W matematyce wykres McKaya $skończenie$ wymiarowej reprezentacji $V$ skończonej grupy $G$ jest ważonym kołczanem kodującym strukturę teorii reprezentacji G . Każdy węzeł reprezentuje nieredukowalną reprezentację $G$ . Jeśli $χ i, χ j$ są nieredukowalnymi reprezentacjami $G$ , to istnieje strzałka od $χ i$ do $χ j$ wtedy i tylko wtedy, gdy $χ j$ jest składnikiem iloczynu tensorowego ${\ Displaystyle V \ otimes \ chi _ {i}.}$ Wtedy waga $n ij$ strzałki to liczba wystąpień tego składnika w ${\ Displaystyle V \ otimes \ chi _ {i}.}$ Dla skończonych podgrup $H$ z ${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} (2, \ mathbb {C}),}$ wykres McKaya $H$ jest wykresem McKaya kanonicznej reprezentacji $H$ .

Jeśli $G$ ma $n$ nieredukowalnych znaków, to macierz Cartana $c V$ reprezentacji $V$ wymiaru $d$ jest zdefiniowana przez ${\ Displaystyle c_ {V} = (d \ delta _{ij}-n_{ij})_{ij},}$ gdzie $δ$ to delta Kroneckera . Wynik Steinberga ^{[ potrzebne źródło ]} stwierdza, że jeśli $g$ jest przedstawicielem klasy koniugacji $G$ , to wektory są wektorami własnymi ${\ Displaystyle ((\ chi _ {i} (g)) _ {i}}$ z $c V$ do wartości własnych ${\ Displaystyle d- \ chi _ {V} (g)},$ gdzie $χ V$ jest charakterem reprezentacji $V$ .

Korespondencja McKaya, nazwana na cześć Johna McKaya , stwierdza, że istnieje zgodność jeden do jednego między wykresami McKaya skończonych podgrup ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C} )}$ oraz rozszerzone diagramy Dynkina , które pojawiają się w klasyfikacji ADE prostych algebr Liego .

Definicja

Niech $G$ będzie grupą skończoną, $V$ będzie reprezentacją G $,$ a $χ$ będzie jej charakterem. Niech ${\ Displaystyle \ {\ chi _ {1}, \ ldots, \ chi _ {d} \}}$ będą nieredukowalnymi reprezentacjami $G$ . Jeśli

{\ Displaystyle V \ czasami \ chi _ {i} = \ suma _ {j} n_ {ij} \ chi _ {j},}

następnie zdefiniuj wykres McKaya $Γ G$ z $G$ , względem $V$ , w następujący sposób:

Każda nieredukowalna reprezentacja $G$ odpowiada węzłowi w $Γ G$ .
Jeśli $n ij > 0$ , istnieje strzałka od $χ ja$ do $χ j$ o masie $n ij$ , zapisana jako ${\ Displaystyle \ chi _ {i} \ xrightarrow {n_ {ij}} \ chi _{j},}$ lub czasami jako $n ij$ nieopisane strzały.
Jeśli ${\ Displaystyle n_ {ij} = n_ {ji},}$ oznaczamy dwie przeciwne strzałki między $χ ja, χ j$ jako niekierowaną krawędź ciężaru $n ij$ . $_$ jeśli _

Możemy obliczyć wartość $n ij$ za pomocą iloczynu wewnętrznego znaków : ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ }

{\ Displaystyle n_ {ij} = \ langle V \ czasami \ chi _ {i}, \ chi _ {j} \ rangle = {\ Frac {1} {| G |}} \ suma _ {g \ in G} V(g)\chi _{i}(g){\overline {\chi _{j}(g)}}.}

$jest$ podgrupy wykres McKaya jego kanonicznej

Dla skończonych podgrup ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C}}}$ kanoniczna reprezentacja na ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2} }$ jest samopodwójny, więc ${\ Displaystyle n_ {ij} = n_ {ji}}$ dla wszystkich $ja, j$ . Zatem wykres McKaya skończonych podgrup ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ jest niekierowany.

W rzeczywistości, zgodnie z korespondencją McKay, istnieje zgodność jeden do jednego między skończonymi podgrupami ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})$ } rozszerzone diagramy Coxetera-Dynkina typu ADE.

Definiujemy macierz Cartana $c V$ z $V$ w następujący sposób:

{\ Displaystyle c_ {V} = (d \ delta _ {ij} -n_ {ij}) _ {ij},}

gdzie $δ ij$ jest deltą Kroneckera .

Niektóre wyniki

Jeśli reprezentacja $V$ jest wierna, to każda nieredukowalna reprezentacja jest zawarta w jakiejś sile tensorowej ${\ Displaystyle V ^ {\ otimes k}},$ a wykres McKaya $V$ jest spójny.
Wykres McKaya skończonej podgrupy ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ nie ma pętli własnych, to znaczy ${\ Displaystyle n_{ii}=0}$ dla wszystkich $i$ .
$jeden$ skończonej podgrupy

Przykłady

Załóżmy, że $G = A \times B$ , i istnieją kanoniczne nieredukowalne reprezentacje odpowiednio $c A, c B$ A $, B.$ Jeśli $χ i, i = 1, \dots, k$ , są nieredukowalnymi reprezentacjami $A$ i $ψ j, j = 1, \dots, ℓ$ , są nieredukowalnymi reprezentacjami $B$ , to

{\ Displaystyle \ chi _ {i} \ razy \ psi _ {j} \ quad 1 \ równoważnik ja \ równoważnik k, \, \, 1 \ równoważnik j \ równoważnik \ ell}

są nieredukowalnymi reprezentacjami

A \times B

, gdzie

{\ Displaystyle \ chi _ {i} \ razy \ psi _ {j} (a, b) = \ chi _ {i} (a) \ psi _ {j} (b), (a, b) \ w A \times B.}

W tym przypadku mamy

{\ Displaystyle \ langle (c_ {A} \ razy c_ {B}) \ otimes (\ chi _ {i} \ razy \ psi _ {\ ell}), \ chi _ {n} \ razy \ psi _ {p }\rangle =\langle c_{A}\otimes \chi _{k},\chi _{n}\rangle \cdot \langle c_{B}\otimes \psi _{\ell},\psi _{p } \ rangle.} Dlatego na wykresie McKaya

G

znajduje się strzałka między

{\ Displaystyle \ chi _ {i} \ razy \ psi _ {j}}

i

{\ Displaystyle \chi _{k}\razy \psi _{\ell}}

A

znajduje się strzałka między

χ i, χ k

a na wykresie McKaya

B znajduje się strzałka

między

ψ j, ψ ℓ

. W tym przypadku waga na strzałce na wykresie McKaya dla

G

jest iloczynem wag dwóch odpowiednich strzałek na wykresach McKaya dla

A

i

B

.

Felix Klein udowodnił, że skończone podgrupy ${\ Displaystyle {\ text {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ to binarne grupy wielościenne; wszystkie są sprzężone z podgrupami ${\ displaystyle {\ text {SU}} (2, \ mathbb {C}).}$ Korespondencja McKaya stwierdza, że istnieje zgodność jeden do jednego między wykresami McKaya tych binarnych grup wielościennych a rozszerzonymi diagramami Dynkina. Na przykład binarna czworościenna grupa jest generowana przez ${\ displaystyle {\ overline {T}}}$ ${\ Displaystyle {\ text {SU}} (2, \ mathbb {C})}$ macierze:

{\ Displaystyle S = \ lewo ({\ rozpocząć {tablica} {cc} i & 0 \\ 0 & -i \ koniec {tablica}} \ prawo), \ \ V = \ lewo ({\ rozpocząć {tablica}} 0 i \\i&0\end{array}}\right),\ \ U={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{cc}\varepsilon &\varepsilon ^{ 3}\\\varepsilon &\varepsilon ^{7}\end{array}}\right),}

gdzie

ε

jest pierwotnym ósmym pierwiastkiem jedności. W rzeczywistości mamy

{\ Displaystyle {\ overline {T}} = \ {U ^ {k}, SU ^ {k}, VU ^ {k}, SVU ^ {k} \ mid k = 0, \ ldots, 5 \}.}

Klasy koniugacji

{\ Displaystyle {\ overline {T}}}

to:

{\ Displaystyle C_ {1} = \ {U ^ {0} = ja \},}

{\ Displaystyle C_ {2} = \ {U ^ {3} = - ja \}}

{\ Displaystyle C_ {3} = \ {\ pm S, \ pm V, \ pm SV \},}

{\ Displaystyle C_ {4} = \ {U ^ {2}, SU ^ {2}, VU ^ {2}, SVU ^ {2} \},}

{\ Displaystyle C_ {5} = \ {- U, SU, VU, SVU \}}

\ Displaystyle C_ {6} = \ {-U ^ {2}, -SU ^ {2}, -VU ^ {2}, -SVU ^ {2}\},}

{\ Displaystyle C_ {7} = \ {U, -SU, -VU, -SVU \}.}

Tablica znaków

{\ Displaystyle {\ overline {T}}}

jest

Klasy koniugacji	${\ displaystyle C_ {1}}$	${\ Displaystyle C_ {2}}$	${\ Displaystyle C_ {3}}$	${\ Displaystyle C_ {4}}$	${\ Displaystyle C_ {5}}$	${\ Displaystyle C_ {6}}$	${\ displaystyle C_ {7}}$
${\ Displaystyle \ chi _ {1}}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 1}$
${\ Displaystyle \ chi _ {2}}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle \ omega}$	${\ Displaystyle \ omega ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ omega}$	${\ Displaystyle \ omega ^ {2}}$
${\ Displaystyle \ chi _ {3}}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle \ omega ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ omega}$	${\ Displaystyle \ omega ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ omega}$
${\ Displaystyle \ chi _ {4}}$	${\ Displaystyle 3}$	${\ Displaystyle 3}$	${\ Displaystyle -1}$	${\ styl wyświetlania 0}$	${\ styl wyświetlania 0}$	${\ styl wyświetlania 0}$	${\ styl wyświetlania 0}$
${\ displaystyle c}$	${\ Displaystyle 2}$	${\ Displaystyle -2}$	${\ styl wyświetlania 0}$	${\ Displaystyle -1}$	${\ Displaystyle -1}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 1}$
${\ Displaystyle \ chi _ {5}}$	${\ Displaystyle 2}$	${\ Displaystyle -2}$	${\ styl wyświetlania 0}$	${\ Displaystyle - \ omega}$	${\ Displaystyle - \ omega ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ omega}$	${\ Displaystyle \ omega ^ {2}}$
${\ Displaystyle \ chi _ {6}}$	${\ Displaystyle 2}$	${\ Displaystyle -2}$	${\ styl wyświetlania 0}$	${\ Displaystyle - \ omega ^ {2}}$	${\ Displaystyle - \ omega}$	${\ Displaystyle \ omega ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ omega}$

Tutaj

{\ Displaystyle \ omega = e ^ {2 \ pi i/3}.}

Reprezentacja kanoniczna

V

jest tutaj oznaczona przez

c

. Korzystając z iloczynu wewnętrznego, stwierdzamy, że wykres McKaya z

jest

rozszerzonym diagramem Coxetera-

{\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {6}.}

Zobacz też

Humphreys, James E. (1972), Wprowadzenie do algebr kłamstwa i teorii reprezentacji , Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7
Jakub, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Reprezentacje i postacie grup (wyd. 2) . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-00392-X .
Klein, Felix (1884), "Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade", Teubner , Leibniz
McKay, John (1980), „Wykresy, osobliwości i grupy skończone”, Proc. Symp. Czysta matematyka. , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Amer. Matematyka Soc., 37 : 183–186, doi : 10.1090/pspum/037/604577 , ISBN 9780821814406
McKay, John (1982), „Reprezentacje i wykresy Coxetera”, „Żyła geometryczna”, Coxeter Festschrift , Berlin: Springer-Verlag
Riemenschneider, Oswald (2005), Korespondencja McKay dla ilorazowych osobliwości powierzchniowych , Osobliwości w geometrii i topologii, Proceedings of the Trieste Singularity Summer School and Workshop, s. 483–519
$1985$ ), „Podgrupy , diagramy i elementy afiniczne Coxetera”, Pacific Journal of Mathematics , 18 : , doi 10.2140 / pjm.1985.118.587