Wyznacznik Dieudonnégo

W algebrze liniowej wyznacznik Dieudonnégo jest uogólnieniem wyznacznika macierzy na macierze pierścieni podziału i pierścieni lokalnych . Został wprowadzony przez Dieudonné ( 1943 ).

Jeśli K jest pierścieniem podziału, to wyznacznik Dieudonnégo jest homomorfizmem grup z grupy GL n ( K ) odwracalnych macierzy n na n nad K na abelianizację K × / [ K × , K × ] grupy multiplikatywnej K × K. _ _

Na przykład wyznacznikiem Dieudonnégo dla macierzy 2 na 2 jest klasa reszt w K × / [ K × , K × ] z

Nieruchomości

Niech R będzie pierścieniem lokalnym. Istnieje mapa wyznacznikowa od pierścienia macierzy GL( R ) do abelianizowanej grupy jednostek R × ab o następujących właściwościach:

  • Wyznacznik jest niezmienny przy elementarnych operacjach na wierszach
  • Wyznacznikiem tożsamości jest 1
  • Jeśli wiersz zostanie pomnożony przez a w R × , to wyznacznik zostanie pomnożony przez a
  • Wyznacznik jest multiplikatywny: det( AB ) = det( A )det( B )
  • Jeśli zamienione zostaną dwa wiersze, wyznacznik zostanie pomnożony przez −1
  • Jeśli R jest przemienne, to wyznacznik jest niezmienny w transpozycji

Problem Tannaki-Artina

Załóżmy, że K jest skończony w swoim centrum F . Norma zredukowana daje homomorfizm N n od GL n ( K ) do F × . Mamy również homomorfizm od GL n ( K ) do F × uzyskany przez złożenie wyznacznika Dieudonnégo z GL n ( K ) do K × /[ K × , K × ] ze zredukowaną normą N 1 z GL 1 ( K ) = K × do F × poprzez abelianizację.

Tannaki -Artina polega na tym, czy te dwie mapy mają to samo jądro SL n ( K ). Jest to prawdą, gdy F jest lokalnie zwarty, ale ogólnie fałszywy.

Zobacz też

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Dieudonné_determinant&oldid=1111569184 ”