Wzór Mollweide'a

Rysunek 1 – Trójkąt. Kąty α , β i γ są odpowiednio przeciwległe do boków a , b ic .

W trygonometrii wzór Mollweide'a to para relacji między bokami i kątami w trójkącie .

Wariant w bardziej geometrycznym stylu został po raz pierwszy opublikowany przez Izaaka Newtona w 1707 r., A następnie przez Friedricha Wilhelma von Oppel w 1746 r . Thomas Simpson opublikował obecnie standardowe wyrażenie w 1748 r. Karl Mollweide ponownie opublikował ten sam wynik w 1808 r. bez cytowania tych poprzedników.

Można go użyć do sprawdzenia zgodności rozwiązań trójkątów .

Niech a , b , c będą długościami trzech boków trójkąta. Niech α , β i γ będą odpowiednio miarami kątów leżących naprzeciw tych trzech boków. Formuły Mollweide'a są

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {a + b} {c}} = {\ Frac {\ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ alfa - \ beta)} {\ sin {\ tfrac {1} {2}} \ gamma}}, \\ [10 mu] {\ frac {ab} {c}} = {\ frac {\ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alfa - \ beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}\gamma}}.\end{wyrównane}}}$

Stosunek do innych tożsamości trygonometrycznych

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ gamma = {\ tfrac {1} {2}} \ pi - {\ tfrac {1} {2}} (\ alfa + \ beta)} tożsamości te można na przemian zapisać w formie, w której są wyraźniej ograniczającym przypadkiem analogii Napiera$ dla trójkąty sferyczne ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {a + b} {c}} & = {\ Frac {\ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ alfa - \ beta)}} {\ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ alfa + \ beta)}}, \\ [10mu] {\ frac {ab} {c}} & = {\ frac {\ sin {\ tfrac {1} {2}} ( \alpha -\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta)}}.\end{wyrównane}}}$

Dzielenie jednego przez drugiego w celu wyeliminowania $do {\ textstyle c}$ prawem stycznych ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {a + b} {ab}} = {\ Frac {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alfa + \ beta)} {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alfa - \ beta)}}. \ koniec {wyrównane}}}$

Jeśli chodzi o same styczne do półkąta, wzór Mollweide'a można zapisać jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {a + b}} {c}} & = {\ Frac {1 + \ tan {\ tfrac {1} {2}} \ alfa \, \ tan {\ tfrac {1} {2}} \ beta} {1- \ tan {\ tfrac {1} {2}} \ alfa \, \ tan {\ tfrac {1} {2}} \ beta}}, \\[10mu]{\frac {ab}{c}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha -\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha +\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }},\end{wyrównane}}}$

lub równoważnie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ tan {\ tfrac {1}{2}} \ alfa \, \ tan {\ tfrac {1}{2}} \ beta & = {\ Frac {a + bc} {a + b + c}}, \\ [10mu] {\ Frac {\ tan {\ tfrac {1}{2}} \ alfa}} {\ tan {\ tfrac {1} {2}} \ beta}} & = {\ frac {{\phantom {-}}a-b+c}{-a+b+c}}.\end{wyrównane}}}$

Mnożenie odpowiednich boków tych tożsamości daje jeden półkąt styczny pod względem trzech boków,

${\ Displaystyle {\ bigl (} \ tan {\ tfrac {1} {2}} \ alfa {\ bigr)} ^ {2} = {\ Frac {(a + bc) (ab + c)} {(a + b + c) (-a + b + c)}}.}$

co staje się prawem cotangensów po wyjęciu pierwiastka kwadratowego,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ łóżeczko {\ tfrac {1} {2}} \ alfa} {sa}} = {\ Frac {\ łóżeczko { \tfrac {1}{2}}\beta }{sb}}={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }{sc}}={\sqrt {\frac {s{\vphantom {}}}}{(sc)(sb)(sa)}}},}$

gdzie ${\ textstyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c)}$ jest półobwodem .

Tożsamości można również udowodnić równoważne z prawem sinusów i prawem cosinusów .

Podwójne relacje

W trygonometrii sferycznej prawo cosinusów i pochodne tożsamości, takie jak analogie Napiera, mają precyzyjne liczby podwójne zamieniające kąty środkowe mierzące boki i kąty dwuścienne na wierzchołkach. W nieskończenie małej granicy twierdzenie cosinusów dla boków sprowadza się do płaskiego prawa cosinusów, a dwie analogie Napiera redukują się do powyższych wzorów Mollweide'a. Ale twierdzenie cosinusów dla kątów degeneruje się do ${\ Displaystyle 0 = 0.}$ Dzieląc kwadratową długość boku przez sferyczny nadmiar mi $\ displaystyle E}$ otrzymujemy niezanikający stosunek, sferyczną relację trygonometrii:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ tan ^ {2} {\ tfrac {1} {2}} c} {\ tan {\ tfrac {1} {2}} E}} = {\ Frac {\ sin \ gamma}} {\ sin \ alfa \, \ sin \ beta}}. \ koniec {wyrównane}}}$

W nieskończenie małej granicy, gdy styczne półkąta boków kulistych zmniejszają się do długości boków płaskich, styczna półkąta sferycznego nadmiaru zmniejsza się do dwukrotności pola płaskiego trójkąta, więc na płaszczyźnie jest to: ZA {\ displaystyle $A$

${\ Displaystyle {\ Frac {c ^ {2}} {2A}} = {\ Frac {\ sin \ gamma}} {\ sin \ alfa \ \ sin \ beta}}}$

i ${\ Displaystyle b.}$$i$ b

następstwa (mnożąc lub dzieląc powyższy $i$ pod względem $)$ otrzymujemy dwa podwójne stwierdzenia do wzorów Mollweide'a Pierwszy wyraża obszar w kategoriach dwóch boków i kąta zawartego, a drugi to twierdzenie sinusów:

$= {\ Frac {1} {\ sin \ gamma}}} za$

${\ Displaystyle {\ Frac {a} {b}} = {\ Frac {\ sin \ alfa} {\ sin \ beta}}.}$

Drugi wzór możemy alternatywnie wyrazić w postaci bliższej jednemu ze wzorów Mollweide'a (znowu prawo stycznych):

${\ Displaystyle {\ Frac {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alfa + \ beta)} {\ łóżeczko {\ tfrac {1} {2}} \ gamma}} = {\ Frac {ab} {a + b}}.}$

Dalsza lektura

• H. Arthur De Kleine, „Dowód bez słów: równanie Mollweide'a”, Mathematics Magazine , tom 61, numer 5, strona 281, grudzień 1988.