Zasada dobrego uporządkowania

Nie mylić z twierdzeniem o dobrym porządku .

W matematyce zasada dobrego porządku mówi, że każdy niepusty zbiór dodatnich liczb całkowitych zawiera najmniejszy element . Innymi słowy, zbiór dodatnich liczb całkowitych jest dobrze uporządkowany według kolejności „naturalnej” lub „wielkości”, w której poprzedza $wtedy$${\ displaystyle y}$ i tylko wtedy, gdy jest albo ${\ displaystyle x$${\ displaystyle x}$ lub suma ${\ displaystyle x}$ i pewną dodatnią liczbę całkowitą (inne uporządkowania obejmują uporządkowanie ${\ Displaystyle 2,4,6, ...}$ ; i $\ Displaystyle 1,3$ ).

Wyrażenie „zasada dobrego porządku” jest czasami uważane za synonim „ twierdzenia o dobrym porządku ”. Przy innych okazjach rozumie się, że jest to twierdzenie, że zbiór liczb całkowitych ${\ Displaystyle \ {\ ldots, -2, -1,0,1 ,2,3,\ldots \}}$ zawiera dobrze uporządkowany podzbiór, zwany liczbami naturalnymi , w którym każdy niepusty podzbiór zawiera najmniejszy element.

Nieruchomości

W zależności od ram, w których wprowadzone są liczby naturalne, ta właściwość (drugiego rzędu) zbioru liczb naturalnych jest albo aksjomatem, albo twierdzeniem możliwym do udowodnienia. Na przykład:

• W arytmetyce Peano , arytmetyce drugiego rzędu i systemach pokrewnych, a także w większości (niekoniecznie formalnych) matematycznych traktowań zasady dobrego porządku, zasada wywodzi się z zasady indukcji matematycznej, która sama jest traktowana jako podstawowa.
• Uznając liczby naturalne za podzbiór liczb rzeczywistych i zakładając, że wiemy już, że liczby rzeczywiste są zupełne (znowu jako aksjomat lub twierdzenie o systemie liczb rzeczywistych), tj. każdy zbiór ograniczony (od dołu) $ma$ infimum, to także każdy zbiór $powiedzmy$ infimum, . Możemy teraz znaleźć liczbę całkowitą taką, że leży w półotwartym przedziale ( ${*}}$$^$${\ Displaystyle (n ^ {*} -1, n ^ {*}]}$ , a następnie możemy pokazać, że musimy mieć ${\ Displaystyle a ^ {*} = n ^ {*}}$ i ${\ Displaystyle n ^ {*}}$ w ${\ Displaystyle A}$ .
• W aksjomatycznej teorii mnogości liczby naturalne definiuje się jako najmniejszy zbiór indukcyjny (tzn. zbiór zawierający 0 i domknięty następnikiem). Można (nawet bez odwoływania się do aksjomatu regularności ) pokazać, ${\ Displaystyle \ {0, \ ldots, n \}}$ zbiór wszystkich liczb naturalnych $}$ , że " jest dobrze uporządkowany” jest indukcyjny, a zatem musi zawierać wszystkie liczby naturalne; z tej własności można wywnioskować, że zbiór wszystkich liczb naturalnych jest również dobrze uporządkowany.

W drugim znaczeniu wyrażenia tego używa się, gdy na tym twierdzeniu opiera się uzasadnienie dowodów, które przybierają następującą postać: aby udowodnić, że każda liczba naturalna należy do określonego zbioru, załóż coś $,$ co implikuje, że zbiór kontrprzykładów nie jest pusty, a zatem zawiera najmniejszy kontrprzykład. Następnie pokaż, że dla każdego kontrprzykładu istnieje jeszcze mniejszy kontrprzykład, co prowadzi do sprzeczności. Ten sposób rozumowania jest przeciwieństwem dowodu przez całkowitą indukcję . Jest znany beztrosko jako „ minimal przestępczy”. „Metoda i jest podobna w swoim charakterze do metody „ nieskończonego zejścia ” Fermata .

Garrett Birkhoff i Saunders Mac Lane napisali w A Survey of Modern Algebra, że ​​ta właściwość, podobnie jak aksjomat najmniejszej górnej granicy dla liczb rzeczywistych, nie jest algebraiczna; tj. nie można tego wywnioskować z algebraicznych właściwości liczb całkowitych (które tworzą uporządkowaną dziedzinę całkową ).