Zasięg pocisku

Tor tego pocisku wystrzelonego z wysokości y ₀ ma zasięg d.

W fizyce pocisk wystrzelony w określonych warunkach początkowych będzie miał zasięg . Może to być bardziej przewidywalne, zakładając płaską Ziemię z jednolitym polem grawitacyjnym i brakiem oporu powietrza .

Poniższe zasady dotyczą zasięgów małych w porównaniu z rozmiarem Ziemi. W przypadku większych odległości zobacz suborbitalne loty kosmiczne . Maksymalną odległość w poziomie przebytą przez pocisk , pomijając opór powietrza, można obliczyć w następujący sposób:

${\ Displaystyle d = {\ Frac {v \ cos \ teta} {g}} \ lewo (v \ sin \ theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)}$

Gdzie

• d jest całkowitą odległością poziomą przebytą przez pocisk.
• v to prędkość, z jaką wystrzeliwany jest pocisk
• g to przyspieszenie ziemskie – zwykle przyjmuje się, że w pobliżu powierzchni Ziemi wynosi 9,81 m/s ² (32 f/s ^{2 )}
• θ to kąt, pod jakim wystrzelony jest pocisk
• y ₀ jest początkową wysokością pocisku

Jeśli przyjąć, że y ₀ wynosi zero, co oznacza, że ​​obiekt jest wystrzeliwany na płaskim terenie, zasięg pocisku upraszcza się do:

${\ Displaystyle d = {\ Frac {v ^ {2}} {g}} \ grzech 2 \ teta}$

Idealny ruch pocisku

Idealny ruch pocisku stwierdza, że ​​nie ma oporu powietrza i nie ma zmiany przyspieszenia grawitacyjnego . Założenie to znacznie upraszcza matematykę i stanowi bliskie przybliżenie rzeczywistego ruchu pocisku w przypadkach, gdy przebyte odległości są małe. Idealny ruch pocisku to także dobre wprowadzenie do tematu przed dodaniem komplikacji związanych z oporem powietrza.

Wyprowadzenia

Kąt wystrzelenia wynoszący 45 stopni powoduje przemieszczenie pocisku najdalej w poziomie. Wynika to z natury trójkątów prostokątnych. Dodatkowo z równania na zakres:

${\ Displaystyle d = {\ Frac {v ^ {2} \ grzech 2 \ theta} {g}}}$

Widzimy, że zakres będzie maksymalny, gdy wartość $)$ tj. Gdy będzie równa 1 Oczywiście $wynosić 90$ . Oznacza to, że $45$ stopni.

Płaska ziemia

Zasięg pocisku (w przestrzeni ).

Najpierw rozpatrzymy przypadek, w którym ( y ₀ ) wynosi zero. Pozioma pozycja pocisku to

${\ Displaystyle x (t) = vt \ cos \ teta}$

W kierunku pionowym

${\ Displaystyle y (t) = vt \ sin \ theta - {\ Frac {1} {2}} gt ^ {2}}$

Interesuje nas czas, w którym pocisk powraca na tę samą wysokość, z której wyleciał. Niech t _g będzie dowolnym momentem, w którym wysokość pocisku będzie równa jego wartości początkowej.

${\ Displaystyle 0 = vt \ grzech \ teta - {\ Frac {1} {2}} gt ^ {2}}$

Poprzez faktoring:

${\ displaystyle t = 0}$

Lub

${\ Displaystyle t = {\ Frac {2v \ grzech \ theta} {g}}}$

ale t = T = czas lotu

${\ Displaystyle T = {\ Frac {2v \ grzech \ teta} {g}}}$

Pierwsze rozwiązanie odpowiada momentowi pierwszego wystrzelenia pocisku. Drugie rozwiązanie jest przydatne do określenia zasięgu pocisku. Podstawiając tę ​​wartość dla ( t ) do równania poziomego otrzymujemy

${\ Displaystyle x = {\ Frac {2v ^ {2} \ bo \ theta \, \ sin \ theta} {g}}}$

Stosowanie tożsamości trygonometrycznej

${\ Displaystyle \ sin (x + y) = \ sin x \, \ cos y \ + \ \ grzech y \, \ cos X}$

Jeśli x i y są takie same,

${\ Displaystyle \ grzech 2 \ teta = 2 \ grzech \ teta \, \ bo \ teta}$

pozwala uprościć rozwiązanie

${\ Displaystyle d = {\ Frac {v ^ {2} \ grzech 2 \ teta} {g}}}$

Należy zauważyć, że gdy ( θ ) wynosi 45°, rozwiązaniem staje się

${\ Displaystyle d _ {\ max} = {\ Frac {v ^ {2}} {g}}}$

Nierówny teren

Teraz pozwolimy, aby ( y ₀ ) było niezerowe. Nasze równania ruchu są teraz aktualne

${\ Displaystyle x (t) = vt \ cos \ teta}$

I

${\ Displaystyle y (t) = y_ {0} + vt \ sin \ teta - {\ Frac {1} {2}} gt ^ { 2}}$

Ponownie rozwiązujemy kwestię ( t ) w przypadku, gdy pozycja ( y ) pocisku wynosi zero (ponieważ w ten sposób zdefiniowaliśmy na początku naszą wysokość początkową)

${\ Displaystyle 0 = y_ {0} + vt \ grzech \ theta - {\ Frac {1} {2}} gt ^ {2}}$

Ponownie, stosując wzór kwadratowy, znajdujemy dwa rozwiązania dla tego czasu. Po kilku etapach manipulacji algebraicznych

${\ displaystyle t = {\ Frac {v \ sin \ theta} {g}} \ pm {\ Frac {\ sqrt {v ^ { 2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}}$

Pierwiastek kwadratowy musi być liczbą dodatnią, a ponieważ można założyć, że prędkość i sinus kąta wystrzelenia są również dodatnie, rozwiązanie z większym czasem nastąpi, jeśli zastosuje się dodatnią wartość znaku plus lub minus. Zatem rozwiązaniem jest

${\ displaystyle t = {\ Frac {v \ sin \ theta} {g}} + {\ Frac {\ sqrt {v ^ {2 }\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}}$

Po raz kolejny rozwiązuję problem zasięgu

${\ Displaystyle d = {\ Frac {v \ cos \ teta} {g}} \ lewo (v \ sin \ theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)}$

Aby zmaksymalizować zasięg na dowolnej wysokości

${\ Displaystyle \ theta = \ arccos {\ sqrt {\ Frac {2gy_ {0} + v ^ {2}} {2gy_ {0} + 2v ^{2}}}}}$

Sprawdzanie granicy, gdy $do$ approaches 0

${\ Displaystyle \ lim _ {y_ {0} \ do 0} \ arccos {\ sqrt {\ Frac {2gy_ {0} + v^{2}}{2gy_{0}+2v^{2}}}}={\frac {\pi }{4}}}$

Kąt uderzenia

Kąt ψ, pod którym wyląduje pocisk, wyraża się wzorem:

${\ Displaystyle \ tan \ psi = {\ Frac {-v_ {y} ( t_{d})}{v_{x}(t_{d})}}={\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{v\ ponieważ \theta }}}$

Dla maksymalnego zasięgu daje to następujące równanie:

${\ Displaystyle \ tan ^ {2} \ psi = {\ Frac {2gy_ {0} + v ^ {2}} {v ^ {2} }}=C+1}$

Przepisując oryginalne rozwiązanie dla θ, otrzymujemy:

${\ Displaystyle \ tan ^ {2} \ teta = {\ Frac {1- \ cos ^ {2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}={\frac {1}{C +1}}}$

Mnożenie przez równanie dla (tan ψ)^2 daje:

$\ Displaystyle \ tan ^ {2} \ psi \, \ tan ^ {2} \ theta = { \frac {2gy_{0}+v^{2}}{v^{2}}}{\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}=1}$

Ze względu na tożsamość trygonometryczną

${\ Displaystyle \ tan (\ theta + \ psi) = {\ Frac {\ tan \ theta + \ tan \ psi} {1-\tan \theta \tan \psi }}}$ ,

oznacza to, że θ + ψ musi wynosić 90 stopni.

Rzeczywisty ruch pocisku

Oprócz oporu powietrza , który spowalnia pocisk i zmniejsza jego zasięg, rozważając rzeczywisty ruch pocisku, należy wziąć pod uwagę wiele innych czynników.

Charakterystyka pocisku

Ogólnie rzecz biorąc, pocisk o większej objętości napotyka większy opór powietrza , co zmniejsza zasięg pocisku. (I zobacz Trajektoria pocisku ). Opór powietrza można modyfikować w zależności od kształtu pocisku: wysoki i szeroki, ale krótki pocisk napotka większy opór powietrza niż niski i wąski, ale długi pocisk o tej samej objętości. Należy również wziąć pod uwagę powierzchnię pocisku: gładki pocisk będzie napotykał mniejszy opór powietrza niż pocisk o chropowatej powierzchni, a nieregularności na powierzchni pocisku mogą zmienić jego trajektorię, jeśli stworzą większy opór po jednej stronie pocisku niż po drugiej. Jednakże pewne nieprawidłowości, takie jak wgłębienia na piłce golfowej, mogą w rzeczywistości zwiększyć jej zasięg, zmniejszając ilość turbulencji powstających za przemieszczającym się pociskiem. Masa również staje się ważna, ponieważ bardziej masywny pocisk będzie miał większą energię kinetyczną , a zatem będzie pod mniejszym wpływem oporu powietrza. Rozkład masy w pocisku może być również ważny, ponieważ pocisk o nierównomiernym obciążeniu może w niepożądany sposób obracać się, powodując nieregularności jego trajektorii ze względu na efekt Magnusa .

Jeśli pocisk zostanie obrócony wzdłuż osi ruchu, nieregularności w kształcie pocisku i rozkładzie ciężaru zwykle zostaną zniesione. Więcej wyjaśnień można znaleźć w artykule strzelba .

Beczki do broni palnej

W przypadku pocisków wystrzeliwanych z broni palnej i artylerii ważny jest również rodzaj lufy broni. Dłuższe lufy pozwalają na przekazanie pociskowi większej energii paliwa , co zapewnia większy zasięg. Strzelanie , choć może nie zwiększyć średniego ( średniego arytmetycznego ) zasięgu wielu strzałów z tej samej broni, zwiększy celność i precyzję broni.

Bardzo duże zakresy

Niektóre armaty czy haubice zostały stworzone z bardzo dużym zasięgiem.

Podczas I wojny światowej Niemcy stworzyli wyjątkowo dużą armatę, Paris Gun , która mogła wystrzelić pocisk na odległość ponad 80 mil (130 km). Korea Północna opracowała działo znane na Zachodzie jako Koksan , o zasięgu 60 km, wykorzystujące pociski wspomagane rakietowo. (I zobacz Trajektoria pocisku .)

Takie działa odróżniają się od rakiet lub pocisków balistycznych , które mają własne silniki rakietowe, które przyspieszają pocisk przez pewien czas po wystrzeleniu.

Zobacz też

• Trajektoria
• Ruch pocisku
• Prędkość ucieczki