Zbiorowo normalna przestrzeń

W matematyce przestrzeń topologiczna nazywana jest zbiorczo normalną , $jeśli$ każdej dyskretnej _rodziny zamkniętych podzbiorów istnieje parami rozłączna rodzina $($ otwartych U _ja ja ∈ ja ), takie, że Fi _ja ⊆ U _ja . Rodzina $podzbiorów podzbiorów$ nazywana jest $\ displaystyle {\ displaystyle$ , gdy każdy punkt ma otoczenie , które przecina co najwyżej $X$ ze zbiorów z $} \ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ . Równoważna definicja zbiorczej normalnej wymaga, aby powyższe U _i ( i ∈ I ) same były rodziną dyskretną, która jest silniejsza niż parami rozłącznych.

$,$ że jako część definicji również przestrzenią T _{1 .}

Właściwość jest pośrednia w sile między parazwartością a normalnością i występuje w twierdzeniach metryzacyjnych .

Nieruchomości

• Przestrzeń normalna pod względem zbioru to przestrzeń Hausdorffa pod względem zbioru .
• Przestrzeń normalna pod względem kolekcji jest normalna .
• 
  Przestrzeń parazwarta Hausdorffa jest zbiorczo normalna. Uwaga: Warunek Hausdorffa jest tutaj konieczny, ponieważ np. zbiór nieskończony o topologii koskończonej jest zwarty , a więc parazwarty i T ₁ , ale nie jest nawet normalny.

• Przestrzeń metryzowalna jest zbiorowo normalna.
• 
  Każda normalna przeliczalnie zwarta przestrzeń (stąd każda normalna przestrzeń zwarta) jest zbiorczo normalna. Dowód : Wykorzystaj fakt, że w przeliczalnie zwartej przestrzeni każda dyskretna rodzina niepustych podzbiorów jest skończona.
• F topologii _σ w zbiorczej przestrzeni normalnej jest również zbiorczo normalny w podprzestrzeni . W szczególności dotyczy to zamkniętych podzbiorów.
• Twierdzenie Moore'a o metryzacji stwierdza, że ​​zbiorcza normalna przestrzeń Moore'a jest metryzowalna .

Dziedzicznie zbiorcza normalna przestrzeń

Przestrzeń topologiczna X jest nazywana dziedzicznie zbiorczo normalną , jeśli każda podprzestrzeń X z topologią podprzestrzeni jest zbiorczo normalna.

W ten sam sposób, w jaki dziedzicznie normalne przestrzenie można scharakteryzować w terminach oddzielnych zbiorów , istnieje równoważna charakterystyka dziedzicznie zbiorczych przestrzeni normalnych. Rodzina podzbiorów $ja ) {\ Displaystyle F_ {i$ nazywana jest oddzieloną rodziną , jeśli dla każdego i mamy ${\ Displaystyle F_ {i} \ cap \ operatorname {cl} (\ bigcup _ {j \ neq i} F_ {j}) = \ pusty zbiór} , gdzie cl$ in oznacza operator zamknięcia w X , innymi słowy jeśli rodzina $dyskretna$ w swoim związku Następujące warunki są równoważne:

1. X jest dziedzicznie zbiorowo normalny.
2. Każda otwarta podprzestrzeń X jest zbiorczo normalna.
3. Dla każdej oddzielonej rodziny $podzbiorów$ istnieje parami rozłączna rodzina zbiorów otwartych $w ja)}$ } (i \ , takie, że ${\ Displaystyle F_ {i} \ subseteq U_ {i}}$ .

Przykłady dziedzicznie kolekcjonowanych przestrzeni normalnych

• Każda liniowo uporządkowana przestrzeń topologiczna (LOTS)
• Każda uogólniona uporządkowana przestrzeń (GO-space)
• Każda przestrzeń metryzowalna
• Każda przestrzeń monotonicznie normalna

Notatki

•   Engelking, Ryszard , Topologia ogólna , Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4