Bank filtrów

W przetwarzaniu sygnału bank filtrów (lub bank filtrów ) to tablica filtrów pasmowoprzepustowych , która rozdziela sygnał wejściowy na wiele składowych, z których każda przenosi pojedyncze podpasmo częstotliwości oryginalnego sygnału. Jednym z zastosowań banku filtrów jest korektor graficzny , który może tłumić komponenty w różny sposób i ponownie łączyć je w zmodyfikowaną wersję oryginalnego sygnału. Proces dekompozycji wykonywany przez bank filtrów nazywany jest analizą (co oznacza analizę sygnału pod względem jego składowych w każdym podpasmie); wynik analizy jest określany jako sygnał podpasma z tyloma podpasmami, ile jest filtrów w banku filtrów. Proces rekonstrukcji nazywany jest syntezą , co oznacza odtworzenie kompletnego sygnału będącego wynikiem procesu filtracji.

W cyfrowym przetwarzaniu sygnału termin bank filtrów jest również powszechnie stosowany w odniesieniu do banku odbiorników. Różnica polega na tym, że odbiorniki również konwertują w dół podpasma do niskiej częstotliwości środkowej, która może być ponownie próbkowana ze zmniejszoną szybkością. Ten sam wynik można czasami osiągnąć przez podpróbkowanie podpasm środkowoprzepustowych.

Innym zastosowaniem banków filtrów jest kompresja sygnału , gdy niektóre częstotliwości są ważniejsze niż inne. Po dekompozycji ważne częstotliwości można zakodować z dużą rozdzielczością. Małe różnice przy tych częstotliwościach są znaczące i należy zastosować schemat kodowania , który zachowuje te różnice. Z drugiej strony mniej ważne częstotliwości nie muszą być dokładne. Można zastosować bardziej zgrubny schemat kodowania, nawet jeśli niektóre drobniejsze (ale mniej ważne) szczegóły zostaną utracone podczas kodowania.

Wokoder wykorzystuje bank filtrów do określenia informacji o amplitudzie podpasm sygnału modulatora (takiego jak głos) i wykorzystuje je do kontrolowania amplitudy podpasm sygnału nośnego (takiego jak wyjście gitary lub syntezatora), narzucając w ten sposób dynamiczną charakterystykę modulatora na nośną.

Przedstawienie implementacji i działania banku filtrów ważonego nakładania się (WOLA). Zawijanie kołowego bufora wejściowego służy do kompensacji nieciągłości fazowych, spowodowanych brakiem rzeczywistego odniesienia czasowego dla transformaty Fouriera (DFT).

Niektóre banki filtrów działają prawie wyłącznie w dziedzinie czasu, wykorzystując szereg filtrów, takich jak kwadraturowe filtry lustrzane lub algorytm Goertzela do dzielenia sygnału na mniejsze pasma. Inne banki filtrów wykorzystują szybką transformatę Fouriera (FFT).

Banki filtrów FFT

Bank odbiorników można utworzyć, wykonując sekwencję FFT na nakładających się segmentach wejściowego strumienia danych. Funkcja ważenia (inaczej funkcja okna ) jest stosowana do każdego segmentu w celu kontrolowania kształtu odpowiedzi częstotliwościowej filtrów. Im szerszy kształt, tym częściej trzeba wykonywać FFT, aby spełnić kryteria próbkowania Nyquista . W przypadku stałej długości segmentu wielkość nakładania się określa, jak często wykonywane są FFT (i odwrotnie). Ponadto, im szerszy kształt filtrów, tym mniej filtrów jest potrzebnych do objęcia pasma wejściowego. Eliminowanie zbędnych filtrów (tj. dziesiątkowanie częstotliwości) odbywa się skutecznie poprzez traktowanie każdego ważonego segmentu jako sekwencji mniejszych bloków , a FFT jest wykonywana tylko na sumie bloków. Zostało to określone jako dodawanie ciężarów nakładających się (WOLA) i ważona suma wstępna FFT . (patrz § Próbkowanie DTFT )

Szczególny przypadek występuje, gdy z założenia długość bloków jest całkowitą wielokrotnością odstępu między FFT. Następnie bank filtrów FFT można opisać w kategoriach jednej lub więcej wielofazowych struktur filtrów, w których fazy są rekombinowane przez FFT zamiast prostego sumowania. Liczba bloków na segment to długość odpowiedzi impulsowej (lub głębokość ) każdego filtra. Wydajność obliczeniowa struktur FFT i wielofazowych na procesorze ogólnego przeznaczenia jest identyczna.

Synteza (tj. rekombinacja wyjść z wielu odbiorników) polega w zasadzie na upsamplowaniu każdego z nich z szybkością współmierną do całkowitej szerokości pasma, która ma zostać utworzona, translacji każdego kanału na jego nową częstotliwość środkową i sumowaniu strumieni próbek. W tym kontekście filtr interpolacyjny związany z upsamplingiem nazywany jest filtrem syntezy . Odpowiedź częstotliwościowa netto każdego kanału jest iloczynem filtra syntezy z odpowiedzią częstotliwościową banku filtrów ( filtr analizy ). W idealnym przypadku odpowiedzi częstotliwościowe sąsiednich kanałów sumują się do stałej wartości przy każdej częstotliwości między środkami kanałów. Ten stan jest znany jako doskonała rekonstrukcja .

Banki filtrów jako rozkłady czasowo-częstotliwościowe

W przetwarzaniu sygnału czasowo-częstotliwościowego bank filtrów to specjalny kwadratowy rozkład czasowo-częstotliwościowy (TFD), który reprezentuje sygnał we wspólnej domenie czasowo-częstotliwościowej . Jest powiązany z rozkładem Wignera – Ville'a przez dwuwymiarowe filtrowanie, które definiuje klasę kwadratowych (lub dwuliniowych) rozkładów czasowo-częstotliwościowych . Bank filtrów i spektrogram to dwa najprostsze sposoby wytworzenia kwadratowego TFD; są zasadniczo podobne, ponieważ jeden (spektrogram) uzyskuje się przez podzielenie domeny czasu na wycinki, a następnie wykonanie transformaty Fouriera, podczas gdy drugi (bank filtrów) uzyskuje się przez podzielenie domeny częstotliwości na wycinki tworzące filtry pasmowoprzepustowe, które są wzbudzone przez analizowany sygnał.

Wieloszybkościowy bank filtrów

Bank filtrów o wielu przepływnościach dzieli sygnał na pewną liczbę podpasm, które mogą być analizowane z różnymi szybkościami odpowiadającymi szerokości pasma pasm częstotliwości. Implementacja wykorzystuje downsampling (decimation) i upsampling (expansion) . Zobacz Transformacja Fouriera w czasie dyskretnym § Właściwości i Transformacja Z § Właściwości , aby uzyskać dodatkowy wgląd w skutki tych operacji w domenach transformacji.

Wąski filtr dolnoprzepustowy

Wąski filtr dolnoprzepustowy można zdefiniować jako filtr dolnoprzepustowy o wąskim paśmie przepustowym. Aby stworzyć wieloszybkościowy wąski dolnoprzepustowy filtr FIR, można zastąpić niezmienny w czasie filtr FIR dolnoprzepustowym filtrem antyaliasingowym i decymatorem wraz z interpolatorem i dolnoprzepustowym filtrem przeciwobrazowym. W ten sposób powstały system wieloszybkościowy jest zmiennym w czasie liniowym filtrem fazowym za pośrednictwem decymatora i interpolatora. Filtr dolnoprzepustowy składa się z dwóch filtrów wielofazowych, jednego dla decymatora i jednego dla interpolatora.

${\ Displaystyle x_ {1} (n), x_ {2} (n), x_ {3} (n), ...}$ sygnał $zestaw$ sygnałów . W ten sposób każdy z generowanych sygnałów odpowiada innemu regionowi w widmie ${\ displaystyle x \ lewo (n \ prawo)}$ . W tym procesie regiony mogą się nakładać (lub nie, w zależności od zastosowania).

Wygenerowane sygnały ${\ Displaystyle x_ {1} (n), x_ {2} (n), x_ {3} (n), ...}$ można wygenerować za pomocą zbioru filtrów pasmowoprzepustowych o szerokościach pasma ${\ Displaystyle {\ rm {BW_ {1}, BW_ {2}, BW_ {3},...}}}$ i częstotliwości środkowe ${\ displaystyle f_ {c1}, f_ {c2}, f_ {c3}, ...}$ (odpowiednio). Bank filtrów o wielu szybkościach wykorzystuje pojedynczy sygnał wejściowy, a następnie wytwarza wiele wyjść sygnału poprzez filtrowanie i podpróbkowanie. Aby podzielić sygnał wejściowy na dwa lub więcej sygnałów, można zastosować system analizy i syntezy.

Sygnał podzieliłby się za pomocą czterech filtrów dla k = 0,1,2,3 na 4 pasma $i$ tych samych szerokościach pasma ( następnie każdy podsygnał jest dziesiątkowany przez współczynnik 4. W każdym paśmie dzieląc sygnał w każdym paśmie, otrzymalibyśmy inną charakterystykę sygnału.

W sekcji syntezy filtr zrekonstruuje oryginalny sygnał: Najpierw próbkowanie w górę 4 podsygnałów na wyjściu jednostki przetwarzającej o współczynnik 4, a następnie filtrowanie przez 4 filtry syntezy fa k ( z ) { $} (z)}$ dla k = 0,1,2,3. Na koniec dodawane są wyjścia tych czterech filtrów.

Statystycznie zoptymalizowany bank filtrów (bank filtrów Eigen)

Struktura banku filtrów w czasie dyskretnym umożliwia uwzględnienie w projekcie pożądanych funkcji zależnych od sygnału wejściowego, oprócz bardziej tradycyjnej właściwości idealnej rekonstrukcji. Teoretyczne cechy informacyjne, takie jak maksymalizacja zagęszczenia energii, doskonała dekorelacja sygnałów podzakresów pasma i inne charakterystyki dla danej wejściowej struktury kowariancji/korelacji są uwzględniane w projektowaniu optymalnych banków filtrów. Te banki filtrów przypominają zależną od sygnału transformatę Karhunena-Loève'a (KLT), czyli optymalną transformację blokową, w której długość L funkcji bazowych (filtrów) i wymiar podprzestrzeni M są takie same.

Wielowymiarowe banki filtrów

Siatka kwinkunksa

Filtrowanie wielowymiarowe , próbkowanie w dół i próbkowanie w górę to główne elementy systemów wieloczęstotliwościowych i banków filtrów.

Kompletny bank filtrów składa się ze strony analizy i syntezy. Bank filtrów analizy dzieli sygnał wejściowy na różne podpasma o różnych widmach częstotliwości. Część syntezy ponownie składa różne sygnały podzakresów pasma i generuje zrekonstruowany sygnał. Dwa podstawowe elementy składowe to decymator i ekspander. Na przykład wejście dzieli się na cztery kierunkowe podpasma, z których każde obejmuje jeden z klinowatych obszarów częstotliwości. W systemach 1D decymatory M-fold przechowują tylko te próbki, które są wielokrotnościami M i odrzucają resztę. podczas gdy w systemach wielowymiarowych decymatorami są nieosobliwe macierze całkowite D × D. bierze pod uwagę tylko te próbki, które znajdują się na siatce generowanej przez decymator. Powszechnie używanym decymatorem jest decymator kwinkunksa, którego siatka jest generowana z macierzy kwinkunksa , która jest zdefiniowana przez ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 1 \\ - 1 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$

Sieć kwinkunksa generowana przez macierz kwinkunksa jest pokazana; część syntezy jest podwójna w stosunku do części analizy. Banki filtrów można analizować z perspektywy domeny częstotliwości pod kątem dekompozycji i rekonstrukcji podpasm. Jednak równie ważna jest interpretacja banków filtrów w przestrzeni Hilberta , która odgrywa kluczową rolę w geometrycznych reprezentacjach sygnałów. $_ }$ ogólnego K z , filtry syntezy ${\ Displaystyle \ lewo \ {g_ {k} [n] \ prawo \} _ {k = 1} ^ {K}}$ i macierze próbkowania ${\ Displaystyle \ lewo \ {M_ {k} [n] \ prawo \} _ {k = 1} ^ {K}}$ . Po stronie analizy możemy zdefiniować wektory jako ${\ Displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbf {Z} ^ {d})$ }

$\ Displaystyle \ varphi _ {k, m} [n] {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} h_ {k}^{*}[M_{k}mn]}$ ,

$k \ równoważnik K }$ indeks za pomocą dwóch parametrów: i ${\ Displaystyle m \ in \ mathbf {Z} ^ {2}}$ .

$mi$ filtrów syntezy możemy $n$ .

Biorąc pod uwagę definicję stron analizy/syntezy, możemy zweryfikować, że do $\ Displaystyle c_ {k} [m] = \ langle x [n], \varphi _{k,m}[n]\rangle }$ a dla części rekonstrukcyjnej:

${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} [n] = \ suma _ {1 \ równoważnik k\leq K,m\in \mathbf {Z} ^{2}}c_{k}[m]\psi _{k,m}[n]}$ .

Innymi słowy, bank filtrów analizy oblicza iloczyn wewnętrzny sygnału wejściowego i wektora ze zbioru analiz. Ponadto zrekonstruowany sygnał w kombinacji wektorów ze zbioru syntezy i współczynników kombinacji obliczonych iloczynów wewnętrznych oznacza, że

${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} [n ]=\sum _{1\leq k\leq K,m\in \mathbf {Z} ^{2}}\langle x[n],\varphi _{k,m}[n]\rangle \psi _ {k,m}[n]}$

Jeśli nie ma strat w dekompozycji i następującej po niej rekonstrukcji, bank filtrów nazywany jest rekonstrukcją doskonałą . $.$ przypadku mielibyśmy Rysunek N kanałami macierz próbkowania M. Część analityczna przekształca sygnał wejściowy na N filtrowanych i próbkowanych w dół wyjść $y$${j} [n]$$N-1}$ . Część syntezy odzyskuje oryginalny sygnał z ${\ Displaystyle y_ {j} [n] }$ przez upsampling i filtrowanie.Ten rodzaj konfiguracji jest używany w wielu zastosowaniach, takich jak kodowanie podpasm , akwizycja wielokanałowa i dyskretne transformaty falkowe .

Doskonałe banki filtrów do rekonstrukcji

Możemy użyć reprezentacji wielofazowej, więc sygnał wejściowy $z$${\ Displaystyle x (z) {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} (X_ {0} (z), ..., X_ {| M | - 1}(z))^{T}}$ jego . Oznacz ${\ Displaystyle y (z) {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} (Y_ {0} (z) ..., Y_ {| N | -1} (z)) ^ {T} .}$ Mielibyśmy więc ${\ Displaystyle y (z) = H (z) x (z)}$ , gdzie ${\ Displaystyle H_ { i, j} (z)}$ oznacza j -ty składnik wielofazowy filtra ${\ Displaystyle H_ {i} (z)}$ .

Podobnie dla sygnału wyjściowego mielibyśmy ${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} (z) = G (z) y (z)}$ , gdzie ${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} (z) {\ stackrel {\ rm$ . Również $oznacza$ jest macierzą, w której j-tego filtra syntezy Gj (z

Bank ${\ Displaystyle I _ {| M |} = G (z) H (z)},$$_$ dowolnego co oznacza, że ​​G (z) jest lewą odwrotnością H (z).

Wielowymiarowy projekt filtra

Bank filtrów 1D

Bank filtrów 2D

Banki filtrów 1-D są dobrze rozwinięte do dziś. Jednak wiele sygnałów, takich jak obraz, wideo, dźwięk 3D, radar, sonar, jest wielowymiarowych i wymaga zaprojektowania wielowymiarowych banków filtrów.

Wraz z szybkim rozwojem technologii komunikacyjnych, systemy przetwarzania sygnałów potrzebują więcej miejsca do przechowywania danych podczas przetwarzania, transmisji i odbioru. Aby zredukować ilość danych do przetworzenia, oszczędzić pamięć i zmniejszyć złożoność, wprowadzono techniki próbkowania wieloczęstotliwościowego, aby osiągnąć te cele. Banki filtrów mogą być używane w różnych obszarach, takich jak kodowanie obrazu, kodowanie głosu, radar i tak dalej.

Wiele zagadnień związanych z filtrami 1D zostało dobrze zbadanych, a badacze zaproponowali wiele podejść do projektowania banków filtrów 1D. Ale nadal istnieje wiele wielowymiarowych problemów projektowych banku filtrów, które należy rozwiązać. Niektóre metody mogą nie zrekonstruować dobrze sygnału, niektóre metody są złożone i trudne do wdrożenia.

Najprostszym podejściem do zaprojektowania wielowymiarowego banku filtrów jest kaskadowanie banków filtrów 1D w postaci struktury drzewiastej, w której macierz decymacji jest diagonalna, a dane są przetwarzane w każdym wymiarze oddzielnie. Takie systemy są określane jako systemy separowalne. Jednak region wsparcia dla banków filtrów może nie być rozdzielny. W takim przypadku projektowanie banku filtrów staje się skomplikowane. W większości przypadków mamy do czynienia z układami nierozłącznymi.

Bank filtrów składa się z etapu analizy i etapu syntezy. Każdy stopień składa się z zestawu filtrów połączonych równolegle. Projekt banku filtrów to projekt filtrów na etapach analizy i syntezy. Filtry analizy dzielą sygnał na nakładające się lub nienakładające się podpasma w zależności od wymagań aplikacji. Filtry syntezy powinny być zaprojektowane tak, aby rekonstruować sygnał wejściowy z podpasm, gdy wyjścia tych filtrów są łączone razem. Przetwarzanie jest zwykle przeprowadzane po etapie analizy. Te banki filtrów można zaprojektować jako nieskończoną odpowiedź impulsową (IIR) lub skończoną odpowiedź impulsową (FIR). W celu zmniejszenia szybkości transmisji danych, w fazie analizy i syntezy przeprowadza się odpowiednio downsampling i upsampling.

Istniejące podejścia

Poniżej przedstawiono kilka podejść do projektowania wielowymiarowych banków filtrów. Aby uzyskać więcej informacji, sprawdź ORYGINALNE referencje.

Wielowymiarowe banki filtrów o doskonałej rekonstrukcji

Gdy konieczne jest zrekonstruowanie podzielonego sygnału z powrotem do pierwotnego, można zastosować banki filtrów z doskonałą rekonstrukcją (PR).

Niech H( z ) będzie transmitancją filtra. Rozmiar filtra jest zdefiniowany jako rząd odpowiedniego wielomianu w każdym wymiarze. Symetria lub antysymetria wielomianu określa właściwość fazy liniowej odpowiedniego filtra i jest związana z jego rozmiarem. Podobnie jak w przypadku 1D, składnik aliasingu A(z) i funkcja transferu T(z) dla 2-kanałowego banku filtrów to:

₀₀₀₀₀₀ A( z ) = 1/2 (H (- z ) fa ( z ) + H ₁ (- z ) fa ₁ ( z )); T( z )=1/2(H ( z ) F ( z ) + H ₁ ( z ) F ₁ ( z )), gdzie H i H ₁ to filtry dekompozycji, a F i F ₁ to filtry rekonstrukcji.

Sygnał wejściowy można doskonale zrekonstruować, jeśli wyraz aliasowy zostanie anulowany, a T( z ) będzie równe jednomianowi. Tak więc warunkiem koniecznym jest, aby T'( z ) był generalnie symetryczny i nieparzysty do nieparzystego.

Filtry liniowej fazy PR są bardzo przydatne do przetwarzania obrazu. Ten dwukanałowy bank filtrów jest stosunkowo łatwy do wdrożenia. Ale czasami dwa kanały to za mało. Dwukanałowe banki filtrów można łączyć kaskadowo w celu generowania wielokanałowych banków filtrów.

Wielowymiarowe kierunkowe banki filtrów i powierzchnie

Banki filtrów analizy wielowymiarowej

M-wymiarowe kierunkowe banki filtrów (MDFB) to rodzina banków filtrów, które mogą osiągnąć kierunkową dekompozycję dowolnych sygnałów M-wymiarowych za pomocą prostej i wydajnej konstrukcji o strukturze drzewiastej. Ma wiele charakterystycznych właściwości, takich jak: dekompozycja kierunkowa, wydajna konstrukcja drzewa, rozdzielczość kątowa i doskonała rekonstrukcja. W ogólnym przypadku M-wymiarowym idealnymi nośnikami częstotliwości MDFB są hiperpiramidy oparte na hipersześcianie. Pierwszy poziom dekompozycji dla MDFB jest osiągany przez N-kanałowy bank filtrów niezdziesiątkowanych, którego składowymi filtrami są filtry MD w kształcie „klepsydry”, wyrównane odpowiednio z osiami w1 , _... , _{wM .} Następnie sygnał wejściowy jest dalej dekomponowany przez serię 2-D iteracyjnie ponownie próbkowanych banków filtrów szachownicy IRC _li ^{( Li )} (i=2,3,..., M), gdzie IRC _li ^{( Li )} działa na 2- D wycinki sygnału wejściowego reprezentowane przez parę wymiarów (n1 _, ni ₎ i indeks górny (Li) oznaczają poziomy dekompozycji dla banku filtrów i-tego poziomu. Zauważ, że zaczynając od poziomu drugiego, do każdego kanału wyjściowego z poprzedniego poziomu dołączamy bank filtrów IRC, stąd cały filtr ma w sumie 2 ( L 1 + ^{... + _L N ) _kanały wyjściowe} .

Wielowymiarowe banki filtrów z nadpróbkowaniem

Wielowymiarowe banki filtrów syntezy

Banki filtrów nadpróbkowanych to banki filtrów wieloczęstotliwościowych, w których liczba próbek wyjściowych na etapie analizy jest większa niż liczba próbek wejściowych. Jest proponowany do wytrzymałych aplikacji. Jedną szczególną klasą nadpróbkowanych banków filtrów są banki filtrów bez podpróbkowania bez próbkowania w dół lub próbkowania w górę. Idealny warunek rekonstrukcji dla nadpróbkowanego banku filtrów można określić jako odwrotny problem macierzowy w dziedzinie wielofazowej.

W przypadku banku filtrów z nadpróbkowaniem IIR idealną rekonstrukcję badano w Wolovich i Kailath. w kontekście teorii sterowania. Natomiast dla nadpróbkowanego banku filtrów FIR musimy zastosować inną strategię dla 1-D i MD. Filtr FIR jest bardziej popularny, ponieważ jest łatwiejszy do wdrożenia. W przypadku banków filtrów FIR z nadpróbkowaniem 1-D algorytm euklidesowy odgrywa kluczową rolę w problemie odwrotności macierzy. Jednak algorytm euklidesowy zawodzi w przypadku filtrów wielowymiarowych (MD). W przypadku filtra MD możemy przekształcić reprezentację FIR na reprezentację wielomianową. A następnie użyj geometrii algebraicznej i podstaw Gröbnera, aby uzyskać ramy i warunki rekonstrukcji wielowymiarowych nadpróbkowanych banków filtrów.

Wielowymiarowe banki filtrów FIR bez podpróbkowania

Banki filtrów bez podpróbkowania to w szczególności banki filtrów z nadpróbkowaniem bez próbkowania w dół lub próbkowania w górę. Idealny warunek rekonstrukcji dla niepodpróbkowanych banków filtrów FIR prowadzi do wektorowego problemu odwrotnego: filtry analizy $, H_ {N} \}}$ są podane i FIR, a celem jest znalezienie zestawu filtrów syntezy FIR ${\ Displaystyle \ {G_ {1}, ..., G_ {N} \}}$ .

Korzystanie z zasad Gröbnera

Wielowymiarowe banki filtrów M-kanałowych

Ponieważ wielowymiarowe banki filtrów mogą być reprezentowane przez wielowymiarowe macierze wymierne, metoda ta jest bardzo skutecznym narzędziem, które można wykorzystać do radzenia sobie z wielowymiarowymi bankami filtrów.

W Charo wprowadzono i omówiono wielowymiarowy algorytm faktoryzacji macierzy wielomianowej. Najczęstszym problemem są wielowymiarowe banki filtrów do idealnej rekonstrukcji. W tym artykule omówiono metodę osiągnięcia tego celu, która spełnia warunek ograniczonej fazy liniowej.

Zgodnie z opisem artykułu omówiono niektóre nowe wyniki faktoryzacji i zastosowano je do zagadnień wielowymiarowej liniowej rekonstrukcji fazowej banków filtrów o skończonej odpowiedzi impulsowej. Podstawowa koncepcja baz Gröbnera jest podana w Adams.

Podejście to oparte na wielowymiarowej faktoryzacji macierzy może być stosowane w różnych obszarach. Algorytmiczną teorię ideałów i modułów wielomianów można modyfikować, aby rozwiązać problemy związane z przetwarzaniem, kompresją, transmisją i dekodowaniem sygnałów wielowymiarowych.

Ogólny wielowymiarowy bank filtrów (rysunek 7) można przedstawić za pomocą pary macierzy polifazowych analizy i syntezy o rozmiarze N ${\ Displaystyle N \ razy M}$$}$$Displaystyle H$ i ${\ Displaystyle M \ razy N}$ , gdzie N to liczba kanałów i ${\ Displaystyle M {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} | M |}$ jest wartością bezwzględną wyznacznika macierzy próbkowania. Również i $są$ składników $_$ Są to zatem wielowymiarowe wielomiany Laurenta , które mają postać ogólną:

${\ Displaystyle F (z) = \ suma _ {k \ in \ mathbf {Z} ^ {d}} f [k] z ^ {k} = \ suma _ {k \ in \ mathbf {Z } ^{d}}f[k_{1},...,k_{d}]z_{1}^{k_{1}}...z_{d}^{k_{d}}}$ .

Aby zaprojektować banki filtrów idealnej rekonstrukcji, należy rozwiązać równanie macierzy wielomianu Laurenta:

${\ Displaystyle G (z) H (z) = ja _ {| M |}}$ .

W wielowymiarowym przypadku z wielomianami wielowymiarowymi musimy skorzystać z teorii i algorytmów baz Gröbnera.

Podstaw Gröbnera można użyć do scharakteryzowania wielowymiarowych banków filtrów z doskonałą rekonstrukcją, ale najpierw należy je rozszerzyć od macierzy wielomianowych do macierzy wielomianowych Laurenta .

Obliczenia na bazie Gröbnera można traktować równoważnie jako eliminację Gaussa do rozwiązania równania macierzy wielomianów ${\ Displaystyle G (z) H (z) = ja _ {| M |}}$ . Jeśli mamy zbiór wektorów wielomianowych

${\ Displaystyle \ operatorname {Moduł} \ lewo \ {h_ {1} (z), ..., h_ {N} (z) \ prawo \} {\ stackrel {\rm {def}}{=}}\{c_{1}(z)h_{1}(z)+...+c_{N}(z)h_{N}(z)\}}$

gdzie ${\ Displaystyle c_ {1} (z), ..., c_ {N} (z)}$ wielomianami.

Moduł jest analogiczny do rozpiętości zbioru wektorów w algebrze liniowej. Teoria podstaw Gröbnera sugeruje, że moduł ma unikalną zredukowaną podstawę Gröbnera dla danego rzędu iloczynów mocy w wielomianach.

Jeśli zdefiniujemy podstawę Gröbnera jako $} (z) \ prawej \}}$ można go uzyskać z ${\ Displaystyle \ lewo \ {h_ {1} (z), ..., h_ {N} (z) \ prawej \}}$ przez skończoną sekwencję kroków redukcji (podziału).

$b_ {i} (z$ inżynierii wstecznej, możemy obliczyć wektory bazowe w kategoriach oryginalnych wektorów przez a $\ Displaystyle$${\ Displaystyle K \ razy N}$ macierz transformacji ${\ Displaystyle W_ {ij} (z)}$ jako:

${\ Displaystyle b_ {i} (z) = \ suma _ {j = 1} ^ {N} W_ {ij} (z) h_ {j} (z), i = 1, ..., K$

Wielowymiarowe banki filtrów oparte na mapowaniu

Projektowanie filtrów o dobrej charakterystyce częstotliwościowej jest trudne ze względu na podejście bazowe Gröbnera. Projekt oparty na mapowaniu jest powszechnie używany do projektowania nierozłącznych wielowymiarowych banków filtrów z dobrymi odpowiedziami częstotliwościowymi.

Podejścia do mapowania mają pewne ograniczenia co do rodzaju filtrów; przynosi jednak wiele ważnych korzyści, takich jak wydajna implementacja za pomocą konstrukcji podnoszących/drabinowych. Tutaj podajemy przykład dwukanałowych banków filtrów w 2D z macierzą próbkowania ${\ Displaystyle D_ {1} = \ lewo [{\ rozpocząć {tablica} {cc} 2 i 0 \\ 0 i 1 \ koniec { array}} \ right]}$ Mielibyśmy kilka możliwych wyborów idealnych odpowiedzi częstotliwościowych filtra kanału ${\ Displaystyle H_ {0} (\ xi)}$ i ${\ Displaystyle G_ {0} ( \xi )}$ . $_$$Zauważ$ że pozostałe i regionach obszary częstotliwości na rysunku mogą być krytycznie próbkowane przez prostokątną siatkę rozpiętą przez ${\ displaystyle D_ {1}}$ . Wyobraź sobie więc, że bank filtrów osiąga idealną rekonstrukcję z filtrami FIR. Następnie z charakterystyki domeny polifazowej wynika, że ​​filtry H1(z) i G1(z) są całkowicie określone odpowiednio przez H0(z) i G0(z). Dlatego musimy zaprojektować H0(x) i G0(z), które mają pożądane odpowiedzi częstotliwościowe i spełniają warunki domeny wielofazowej. ${\ Displaystyle H_ {0} (z_ {1}, z_{2})G_{0}(z_{1},z_{2})+H_{0}(-z_{1},z_{2})G_{0}(-z_{1},z_{ 2})=2}$ Istnieją różne techniki mapowania, których można użyć do uzyskania powyższego wyniku.

Projekt banku filtrów w dziedzinie częstotliwości

Gdy nie jest potrzebna idealna rekonstrukcja, problem projektowy można uprościć, pracując w domenie częstotliwości zamiast stosowania filtrów FIR. Należy zauważyć, że metoda w dziedzinie częstotliwości nie jest ograniczona do projektowania banków filtrów bez podpróbkowania (odczyt).

Bezpośrednia optymalizacja w dziedzinie częstotliwości

Wiele z istniejących metod projektowania 2-kanałowych banków filtrów opiera się na transformacji techniki zmiennej. Na przykład transformatę McClellana można wykorzystać do zaprojektowania 2-kanałowych banków filtrów 1-D. Chociaż banki filtrów 2-D mają wiele podobnych właściwości do prototypu 1-D, trudno jest rozszerzyć je na przypadki więcej niż 2-kanałowe.

W Nguyen autorzy omawiają projektowanie wielowymiarowych banków filtrów poprzez bezpośrednią optymalizację w dziedzinie częstotliwości. Zaproponowana tutaj metoda koncentruje się głównie na projekcie banków filtrów 2D z kanałem M. Sposób jest elastyczny w stosunku do konfiguracji obsługi częstotliwości. Banki filtrów 2D zaprojektowane przez optymalizację w dziedzinie częstotliwości zostały wykorzystane w Wei i Lu. W artykule Nguyena proponowana metoda nie ogranicza się do projektowania dwukanałowych banków filtrów 2D; podejście jest uogólnione do M-kanałowych banków filtrów z dowolną krytyczną macierzą podpróbkowania. Zgodnie z implementacją w artykule, można go wykorzystać do uzyskania do 8-kanałowego projektu banków filtrów 2D.

(6) Odwrócona macierz płaszcza

W artykule Lee z 1999 roku autorzy omawiają wielowymiarowy projekt banku filtrów przy użyciu macierzy z odwróconym płaszczem . Niech H będzie macierzą Hadamarda rzędu n , transpozycja H jest ściśle związana z jej odwrotnością. Prawidłowy wzór to: ${\ displaystyle HH ^ {T} = I_ {n}}$ , gdzie ja _n jest macierzą identyczności n × n, a H ^T jest transpozycją H . W artykule z 1999 roku autorzy uogólniają macierz z odwróconym płaszczem [RJ] _N za pomocą macierzy Hadamarda i ważonych macierzy Hadamarda.

W niniejszej pracy autorzy zaproponowali, aby filtr FIR ze 128 odczepami był filtrem podstawowym, a dla macierzy RJ obliczany był współczynnik dziesiętny. Przeprowadzili symulacje w oparciu o różne parametry i uzyskali dobrą jakość osiągów przy niskim współczynniku decymacji.

Kierunkowe banki filtrów

Bamberger i Smith zaproponowali bank filtrów kierunkowych 2D (DFB). DFB jest skutecznie implementowany poprzez $.$ l , która prowadzi do podpasm z podziałem częstotliwości w kształcie klina (patrz rysunek Oryginalna konstrukcja DFB polega na modulowaniu sygnału wejściowego i zastosowaniu filtrów w kształcie rombu. Ponadto, aby uzyskać pożądany podział częstotliwości, należy przestrzegać skomplikowanej reguły rozwijania drzewa. W rezultacie, obszary częstotliwości dla wynikowych podpasm nie są zgodne z prostym uporządkowaniem, jak pokazano na fig. 9, w oparciu o indeksy kanałów.

Pierwszą zaletą DFB jest to, że nie tylko nie jest redundantną transformacją, ale także oferuje doskonałą rekonstrukcję. Kolejną zaletą DFB jest jego kierunkowa selektywność i wydajna struktura. Ta zaleta sprawia, że ​​DFB jest odpowiednim podejściem do wielu zastosowań związanych z przetwarzaniem sygnałów i obrazów. (np. piramida Laplace'a, skonstruowane kontury, rzadka reprezentacja obrazu, obrazowanie medyczne itp.).

Banki filtrów kierunkowych można rozbudować do wyższych wymiarów. Może być używany w 3-D, aby uzyskać sekcje częstotliwości.

Transceiver banku filtrów

Banki filtrów są ważnymi elementami warstwy fizycznej w szerokopasmowej komunikacji bezprzewodowej, gdzie problemem jest wydajne przetwarzanie wielu kanałów w paśmie podstawowym. Architektura nadajnika-odbiornika oparta na banku filtrów eliminuje problemy ze skalowalnością i wydajnością obserwowane w poprzednich schematach w przypadku kanałów nieciągłych. Odpowiedni projekt filtra jest niezbędny, aby zmniejszyć pogorszenie wydajności spowodowane przez zespół filtrów. Aby uzyskać projekty o uniwersalnym zastosowaniu, można przyjąć łagodne założenia dotyczące formatu fali, statystyk kanału i schematu kodowania/dekodowania. Można stosować zarówno heurystyczną, jak i optymalną metodologię projektowania, a doskonała wydajność jest możliwa przy niewielkiej złożoności, o ile transceiver działa z odpowiednio dużym współczynnikiem nadpróbkowania. Praktycznym zastosowaniem jest transmisja OFDM, gdzie zapewniają one bardzo dobrą wydajność przy niewielkiej dodatkowej złożoności.

Dalsza lektura

•   Harris, Fredric J. (2004). Wieloszybkościowe przetwarzanie sygnału dla systemów komunikacyjnych . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. ISBN 0-13-146511-2 .