Zestaw Kakeya

Pokazano igłę obracającą się wewnątrz mięśnia naramiennego . Na każdym etapie obrotu (z wyjątkiem sytuacji, gdy punkt końcowy znajduje się na wierzchołku mięśnia naramiennego) igła styka się z mięśniem naramiennym w trzech punktach: dwóch punktach końcowych (niebieski) i jednym punkcie stycznym (czarny). Środek igły (kolor czerwony) opisuje okrąg o średnicy równej połowie długości igły.

W matematyce zbiór Kakeyi lub zbiór Besicovitcha to zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej , który zawiera segment linii jednostkowej w każdym kierunku. Na przykład dysk o promieniu 1/2 w płaszczyźnie euklidesowej lub kula o promieniu 1/2 w przestrzeni trójwymiarowej tworzy zbiór Kakeya. Wiele badań w tej dziedzinie dotyczyło problemu, jak małe mogą być takie zbiory. Besicovitch wykazał, że istnieją zbiory Besicovitcha o mierze zero .

Zestaw igieł Kakeya (czasami znany również jako zestaw Kakeya) to zestaw (Besicovitch) w płaszczyźnie o silniejszej właściwości, że segment linii jednostkowej można w nim obracać w sposób ciągły o 180 stopni, powracając do pierwotnej pozycji z odwróconą orientacją . Ponownie, dysk o promieniu 1/2 jest przykładem zestawu igieł Kakeya.

Problem z igłą Kakeya

Problem z igłą Kakeya dotyczy pytania, czy istnieje minimalna powierzchnia obszaru na $płaszczyźnie$ , w której igła o jednostkowej długości może zostać obrócona o 360 ° To pytanie zostało po raz pierwszy postawione dla obszarów wypukłych przez Sōichi Kakeya ( 1917 ). Minimalne pole dla zbiorów wypukłych osiąga trójkąt równoboczny o wysokości 1 i polu 1/ √ 3 , jak pokazał Pál .

Wydaje się, że Kakeya zasugerował, że zbiór Kakeya $minimalnej$ powierzchni, bez ograniczenia wypukłości, miałby kształt trójkąta naramiennego . Jest to jednak fałszywe; istnieją mniejsze niewypukłe zbiory Kakeya.

Zestawy igieł Besicovitcha

Metoda „kiełkowania” służąca do konstruowania zestawu Kakeya małej miary. Pokazane są tutaj dwa możliwe sposoby podzielenia naszego trójkąta i nałożenia części na siebie, aby uzyskać mniejszy zestaw, pierwszy, jeśli używamy tylko dwóch trójkątów, a drugi, jeśli używamy ośmiu. Zwróć uwagę, jak małe są rozmiary końcowych figur w porównaniu z oryginalną figurą początkową.

Besicovitch był w stanie wykazać, że nie ma dolnej granicy > 0 dla obszaru takiego obszaru $.$ w którym można obrócić igłę o długości jednostkowej Oznacza to, że dla każdego $istnieje$ $stopni$ obszaru w którym igła może poruszać się ciągłym ruchem, który obraca ją o pełne 360 Opierało się to na jego wcześniejszych pracach, na zestawach płaszczyzn, które zawierają segment jednostkowy w każdej orientacji. Taki zbiór nazywamy teraz zbiorem Besicovitcha . Praca Besicovitcha pokazująca, że taki zestaw mógł mieć dowolnie małą miarę, pochodzi z 1919 roku. Problem mógł być rozważany przez analityków wcześniej.

Jedna metoda konstruowania zestawu Besicovitcha (patrz odpowiednie ilustracje na rysunku) jest znana jako „drzewo Perrona” na cześć Oskara Perrona , który był w stanie uprościć oryginalną konstrukcję Besicovitcha:

Pierwszą obserwacją, jaką należy poczynić, jest to, że igła może poruszać się w linii prostej tak daleko, jak chce, bez zamiatania jakiegokolwiek obszaru. Dzieje się tak, ponieważ igła jest segmentem linii o zerowej szerokości. Druga sztuczka Pála , znana jako łączenie Pála, opisuje, jak przesuwać igłę między dowolnymi dwoma równoległymi miejscami, jednocześnie przesuwając znikomy obszar. Igła będzie miała kształt litery „N”. Porusza się z pierwszej lokalizacji na pewną odległość ${\ displaystyle r}$ w górę po lewej stronie „N”, wymiata kąt do środkowej przekątnej, przesuwa się w dół po przekątnej, wymiata drugi kąt, a następnie przesuwa się w górę równoległej prawej strony „N”, aż osiągnie wymagane drugie miejsce. Jedynymi przeciągniętymi obszarami o powierzchni niezerowej są dwa trójkąty o wysokości 1 i kącie na górze litery „N”. Obszar przeciągnięcia jest proporcjonalny do tego kąta, który jest proporcjonalny do ${\ displaystyle 1/r}$ .

Konstrukcja zaczyna się od dowolnego trójkąta o wysokości 1 i pewnym dużym kącie u góry, przez który igła może z łatwością zamiatać. Celem jest wykonanie wielu operacji na tym trójkącie, aby zmniejszyć jego pole, zachowując jednakowe kierunki, w których igła może zamiatać. Najpierw rozważ podzielenie trójkąta na dwie części i przesunięcie elementów względem siebie, tak aby ich podstawy zachodziły na siebie w sposób minimalizujący całkowity obszar. Igła jest w stanie wymiatać te same kierunki, wymiatając kierunki podane przez pierwszy trójkąt, przeskakując do drugiego, a następnie wymiatając kierunki podane przez drugi. Igła może przeskakiwać trójkąty przy użyciu techniki „N”, ponieważ dwie linie, na których przecięto oryginalny trójkąt, są równoległe.

Załóżmy teraz, że podzielimy nasz trójkąt na 2 ⁿ podtrójkątów. Na rysunku pokazano osiem. Dla każdej kolejnej pary trójkątów wykonaj tę samą operację nakładania, którą opisaliśmy wcześniej, aby uzyskać o połowę mniej nowych kształtów, z których każdy składa się z dwóch nakładających się trójkątów. Następnie nałóż na siebie kolejne pary tych nowych kształtów, przesuwając je tak, aby ich podstawy zachodziły na siebie w sposób minimalizujący łączną powierzchnię. Powtórz to n razy, aż będzie tylko jeden kształt. Ponownie, igła jest w stanie wymiatać te same kierunki, wymiatając je w każdym z 2 ⁿ podtrójkąty w kolejności ich kierunku. Igła może przeskakiwać kolejne trójkąty techniką „N”, ponieważ dwie linie, na których te trójkąty zostały przecięte, są równoległe.

Pozostaje obliczenie pola ostatecznego kształtu. Dowód jest zbyt trudny do przedstawienia tutaj. Zamiast tego będziemy po prostu spierać się, jak mogą wyglądać liczby. Patrząc na rysunek, widać, że podtrójkąty 2 ⁿ bardzo się pokrywają. Wszystkie nachodzą na siebie na dole, połowa na dole lewej gałęzi, jedna czwarta na dole lewej lewej gałęzi i tak dalej. Załóżmy, że pole każdego kształtu utworzonego za pomocą operacji scalania z 2 ⁱ podtrójkątów jest ograniczone przez A _i . Przed połączeniem dwóch z tych kształtów mają one obszar ograniczony do 2 A _i . Następnie przesuwamy oba kształty razem w taki sposób, aby jak najbardziej na siebie zachodziły. W najgorszym przypadku te dwa obszary są dwoma prostopadłymi do siebie prostokątami o wymiarach 1 na ε, tak że zachodzą na siebie tylko na obszarze ε ² . Ale dwa kształty, które skonstruowaliśmy, choć długie i chude, wskazują mniej więcej ten sam kierunek, ponieważ składają się z kolejnych grup podtrójkątów. Machanie ręką wskazuje, że zachodzą na siebie o co najmniej 1% swojej powierzchni. Wtedy połączony obszar byłby ograniczony przez A _i+1 = 1,99 A _i₀ . Pole oryginalnego trójkąta jest ograniczone przez 1. Zatem pole każdego podtrójkąta jest ograniczone przez A = 2 ^-n , a ostateczny kształt ma pole ograniczone przez A _n = 1,99 ⁿ × 2 ^-n . W rzeczywistości, staranne zsumowanie wszystkich obszarów, które się nie pokrywają, daje, że obszar końcowego regionu jest znacznie większy, a mianowicie 1/n . jako n rośnie, obszar ten kurczy się do zera. Zestaw Besicovitcha można utworzyć, łącząc sześć obrotów drzewa Perrona utworzonego z trójkąta równobocznego. Podobną konstrukcję można wykonać za pomocą równoległoboków

Oprócz metody „kiełkowania” istnieją inne metody konstruowania zbiorów Besicovitcha o miary zero. Na przykład Kahane używa zbiorów Cantora do skonstruowania zbioru Besicovitcha o miary zero w płaszczyźnie dwuwymiarowej.

Zestaw igieł Kakeya zbudowany z drzew Perron.

W 1941 roku HJ Van Alphen wykazał, że wewnątrz okręgu o promieniu 2 + ε (dowolne ε > 0) znajdują się dowolne małe zestawy igieł Kakeya. Po prostu połączone zestawy igieł Kakeya o mniejszej powierzchni niż mięsień naramienny znaleziono w 1965 roku. Melvin Bloom i IJ Schoenberg niezależnie zaprezentowali zestawy igieł Kakeya z obszarami zbliżającymi się do ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ pi} {24 }}(5-2{\sqrt {2}})}$ , liczba Blooma-Schoenberga . Schoenberg przypuszczał, że ta liczba jest dolną granicą dla obszaru prosto połączonych zestawów igieł Kakeya. Jednak w 1971 roku F. Cunningham wykazał, że dla danego ε > 0 istnieje prosto połączony zestaw igieł Kakeya o powierzchni mniejszej niż ε zawarty w okręgu o promieniu 1.

Chociaż istnieją zestawy igieł Kakeya o dowolnie małej dodatniej mierze i zestawy Besicovicha o mierze 0, nie ma zestawów igieł Kakeya o mierze 0.

Przypuszczenie Kakeyi

Oświadczenie

To samo pytanie, jak małe mogą być te zbiory Besicovitcha, zostało następnie postawione w wyższych wymiarach, dając początek wielu przypuszczeniom znanym zbiorczo jako przypuszczenia Kakeyi i pomogły zapoczątkować dziedzinę matematyki znaną jako teoria miary geometrycznej . W szczególności, jeśli istnieją zbiory Besicovitcha o mierze zero, czy mogą one również mieć s-wymiarową miarę Hausdorffa zero dla jakiegoś wymiaru s mniejszego niż wymiar przestrzeni, w której leżą? To pytanie rodzi następujące przypuszczenie:

Hipoteza zbioru Kakeyi : Zdefiniuj zbiór Besicovitcha w Rn jako zbiór, który zawiera segment linii jednostkowej w każdym kierunku ^. Czy to prawda, że takie zbiory koniecznie mają wymiar Hausdorffa i wymiar Minkowskiego równy n ?

Wiadomo, że jest to prawdziwe dla n = 1, 2, ale tylko częściowe wyniki są znane w wyższych wymiarach.

Funkcja maksymalna Kakeya

Współczesnym sposobem podejścia do tego problemu jest rozważenie określonego typu funkcji maksymalnej , którą konstruujemy w następujący sposób: Oznaczmy S ^{n −1} ⊂ R ⁿ jako sferę jednostkową w n -wymiarowej przestrzeni. Zdefiniuj cylinder o długości 1, promieniu δ > 0, wyśrodkowany w punkcie a $( za ) {\ Displaystyle T_ {e} ^ {\ delta} ($ R ⁿ , i którego długi bok to a równolegle do kierunku wektora jednostkowego e ∈ S ^{n -1} . Następnie dla lokalnie całkowalnej funkcji f , definiujemy maksymalną funkcję f Kakeyi jako

{\ Displaystyle f_ {*} ^ {\ delta} (e) = \ sup _ {a \ in \ mathbf {R} ^ {n}} {\ Frac {1} {m (T_ {e) }^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta}(a)}|f(y)|dm(y)}

gdzie m oznacza n -wymiarową miarę Lebesgue'a . Zauważ $,$ że dla wektorów e w S ^{n −1} .

Następnie istnieje przypuszczenie dla tych funkcji, które, jeśli jest prawdziwe, implikuje hipotezę zbioru Kakeyi dla wyższych wymiarów:

Hipoteza funkcji maksymalnej Kakeyi : Dla wszystkich ε > 0 istnieje stała C _ε > 0 taka, że dla dowolnej funkcji f i wszystkich δ > 0, (patrz zapis w przestrzeni lp )

{\ Displaystyle \ lewo \ | f_ {*} ^ {\ delta} \ prawo \ | _ {L ^ {n} (\ mathbf {S} ^ {n-1})} \ leqslant C_ {\ epsilon} \ delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}.}

Wyniki

Niektóre wyniki potwierdzające hipotezę Kakeyi są następujące:

Hipoteza Kakeyi jest prawdziwa dla n = 1 (trywialnie) i n = 2 (Davies).
W dowolnej n -wymiarowej przestrzeni Wolff wykazał, że wymiar zbioru Kakeya musi wynosić co najmniej ( n +2)/2.
W 2002 roku $Wolffa$ Tao poprawili wiązanie , n dla > 4.
W 2000 roku Katz , Łaba i Tao udowodnili, że wymiar Minkowskiego zbioru Kakeya w 3 wymiarach jest ściśle większy niż 5/2.
W 2000 roku Jean Bourgain połączył problem Kakeyi z kombinatoryką arytmetyczną , która obejmuje analizę harmoniczną i addytywną teorię liczb .
W 2017 roku $Katz$ i $.$ dolną granicę wymiaru zbiorów 3 wymiarach stałej .

Zastosowania do analizy

Co nieco zaskakujące, wykazano, że przypuszczenia te są powiązane z wieloma pytaniami z innych dziedzin, zwłaszcza z analizą harmoniczną . Na przykład w 1971 roku Charles Fefferman był w stanie użyć konstrukcji zbioru Besicovitcha, aby pokazać, że w wymiarach większych niż 1, obcięte całki Fouriera przejęte przez kule wyśrodkowane w początku z promieniami dążącymi do nieskończoności nie muszą zbiegać się w normie L p ^, gdy p ≠ 2 (kontrastuje to z przypadkiem jednowymiarowym, w którym takie całki odcięte są zbieżne).

Analogie i uogólnienia problemu Kakeya

Zestawy zawierające koła i kule

Analogie problemu Kakeya obejmują rozważanie zbiorów zawierających bardziej ogólne kształty niż linie, takie jak koła.

W 1997 i 1999 Wolff udowodnił, że zbiory zawierające kulę o każdym promieniu muszą mieć pełny wymiar, to znaczy wymiar równy wymiarowi przestrzeni, w której się znajduje, i udowodnił to, udowadniając granice kołowej funkcji maksymalnej analogicznej do funkcji maksymalnej Kakeya.

Przypuszczano, że istnieją zbiory zawierające kulę wokół każdego punktu o mierze zero. Wyniki Eliasa Steina dowiodły, że wszystkie takie zbiory muszą mieć miarę dodatnią, gdy n ≥ 3, a Marstrand udowodnił to samo dla przypadku n=2 .

Zestawy zawierające k -wymiarowe dyski

Uogólnieniem hipotezy Kakeyi jest rozważenie zbiorów, które zamiast odcinków linii w każdym kierunku zawierają, powiedzmy, części k -wymiarowych podprzestrzeni. Zdefiniuj zbiór ( n , k )-Besicovitcha K jako zbiór zwarty w R ⁿ zawierający translację każdego k -wymiarowego dysku jednostkowego, który ma miarę Lebesgue'a zero. Oznacza to, że jeśli B oznacza kulę jednostkową o środku w punkcie zero, dla każdej k -wymiarowej podprzestrzeni P istnieje x ∈ R ⁿ takie, że ( P ∩ b ) + x ⊆ K . Stąd zbiór ( n , 1)-Besicovitcha jest standardowym zbiorem Besicovitcha opisanym wcześniej.

( n , k )-Besicovitcha: Nie ma zbiorów ( n , k )-Besicovitcha dla k > 1.

W 1979 Marstrand udowodnił, że nie ma zbiorów (3, 2)-Besicovitcha. Jednak mniej więcej w tym samym czasie Falconer udowodnił, że nie ma zbiorów ( n , k )-Besicovitcha dla 2 k > n . Jak dotąd najlepsze rozwiązanie jest autorstwa Bourgaina, który udowodnił, że takie zbiory nie istnieją, gdy 2 ^{k −1} + k > n .

Zbiory Kakeya w przestrzeniach wektorowych nad polami skończonymi

W 1999 roku Wolff przedstawił analogię pola skończonego do problemu Kakeyi, mając nadzieję, że techniki rozwiązania tego przypuszczenia można będzie przenieść do przypadku euklidesowego.

Pole skończone Hipoteza Kakeyi : Niech F będzie ciałem skończonym, niech K ⊆ Fn będzie zbiorem Kakeyi, tj. dla każdego wektora y ∈ F n ^istnieje x ∈ F n ^takie , że K zawiera prostą { x + ty : t ∈ ^F }. Wtedy zbiór K ma rozmiar co najmniej c _n | F. | ⁿ gdzie c _n >0 jest stałą zależną tylko od n .

Zeev Dvir udowodnił to przypuszczenie w 2008 roku, pokazując, że stwierdzenie to zachodzi dla c _n = 1/ n !. W swoim dowodzie zauważył, że każdy wielomian w n zmiennych stopnia mniejszego niż | F. | znikanie na zbiorze Kakeya musi być identyczne zero. Z drugiej strony wielomiany w n zmiennych stopnia mniejszego niż | F. | tworzą przestrzeń wektorową wymiaru

{\ Displaystyle {|\ mathbf {F} | + n-1 \ wybierz n} \ geq {\ Frac {|\ mathbf {F} | ^ {n}} {n!}}.}

Dlatego istnieje co najmniej jeden nietrywialny wielomian stopnia mniejszego niż | F. | który znika w dowolnym zestawie z mniejszą niż ta liczba punktów. Połączenie tych dwóch obserwacji pokazuje, że zbiory Kakeya muszą mieć co najmniej | F. | ^nie / nie ! zwrotnica.

Nie jest jasne, czy techniki obejmą udowodnienie oryginalnej hipotezy Kakeyi, ale dowód ten uwiarygodnia pierwotną hipotezę, czyniąc zasadniczo algebraiczne kontrprzykłady mało prawdopodobnymi. Dvir napisał artykuł przeglądowy na temat ostatnich postępów w problemie Kakeya pola skończonego i jego związku z ekstraktorami losowości .

Zobacz też

Zestaw Nikodym

Notatki

Besicovitch, Abram (1963). „Problem Kakeya”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 70 (7): 697–706. doi : 10.2307/2312249 . JSTOR 2312249 . MR 0157266 .
Dvir, Zeew (2009). „O wielkości zbiorów Kakeya w skończonych polach”. Dziennik Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 22 (4): 1093–1097. ar Xiv : 0803.2336 . Bibcode : 2009JAMS...22.1093D . doi : 10.1090/S0894-0347-08-00607-3 . MR 2525780 . S2CID 3358826 .
Falconer, Kenneth J. (1985). Geometria zbiorów fraktalnych . Traktaty Cambridge z matematyki. Tom. 85. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1 . MR 0867284 .
Kakeya, Soichi (1917). „Niektóre problemy z maksimum i minimum dotyczące owali”. Raporty naukowe Tohoku . 6 : 71–88.
Katz, Nets Hawk ; Łaba, Izabella ; Tao, Terence (2000). „Ulepszona granica wymiaru Minkowskiego zbiorów Besicovitcha $”$ PDF ) . Roczniki matematyki . 152 (2): 383–446. doi : 10.2307/2661389 . JSTOR 2661389 . MR 1804528 . S2CID 17007027 .

Wolff, Thomas (1999). „Ostatnie prace związane z problemem Kakeya”. W Rossi, Hugo (red.). Perspektywy w matematyce: zaproszone rozmowy z okazji 250-lecia Uniwersytetu Princeton . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. s. 129–162. ISBN 978-0-8218-0975-4 . MR 1660476 .
Wolff, Thomas (2003). Łaba, Izabella ; Shubin, Carol (red.). Wykłady z analizy harmonicznej . Seria wykładów uniwersyteckich. Tom. 29. Ze wstępem Charlesa Feffermana i przedmową Izabelli Łaby. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. doi : 10.1090/ulec/029 . ISBN 0-8218-3449-5 . MR 2003254 .

Linki zewnętrzne