Zestaw Meyera

W matematyce zbiór Meyera lub prawie krata to zbiór stosunkowo gęstych X punktów na płaszczyźnie euklidesowej lub w wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej , tak że jego różnica Minkowskiego względem siebie jest jednostajnie dyskretna . Zestawy Meyera mają kilka równoważnych charakterystyk; zostały nazwane na cześć Yvesa Meyera , który przedstawił je i zbadał w kontekście aproksymacji diofantycznej. Obecnie zbiory Meyera są najbardziej znane jako modele matematyczne kwazikryształów . Jednak praca Meyera poprzedza odkrycie kwazikryształów o ponad dekadę i była w całości motywowana pytaniami z zakresu teorii liczb.

Definicja i charakterystyka

Podzbiór X przestrzeni metrycznej jest stosunkowo gęsty, jeśli istnieje liczba r taka, że ​​wszystkie punkty X znajdują się w odległości r od X , i jest jednostajnie dyskretny, jeśli istnieje liczba ε taka, że ​​żadne dwa punkty X nie leżą w odległości ε siebie. Zbiór, który jest zarówno stosunkowo gęsty, jak i jednostajnie dyskretny, nazywany jest zbiorem Delone . Gdy X jest podzbiorem przestrzeni wektorowej , jej Różnica Minkowskiego X - X to zbiór { x - y | x , y w X } różnic par elementów X .

Przy tych definicjach zbiór Meyera można zdefiniować jako stosunkowo gęsty zbiór X , dla którego X - X jest jednostajnie dyskretny. Równoważnie jest to zbiór Delone, dla którego X - X jest Delone, lub zbiór Delone X , dla którego istnieje skończony zbiór F z X - X ⊂ X + F

Niektóre dodatkowe równoważne charakterystyki obejmują zestaw

${\ Displaystyle X ^ {\ epsilon} = \ {y \ mid | x \ cdot y-1 | \ równoważnik \ varepsilon {\ tekst {dla wszystkich}} x \ w X \}}$

zdefiniowaną dla danego X i ε , oraz aproksymującą (gdy ε dąży do zera) definicję sieci odwrotnej sieci . Stosunkowo gęsty zbiór X jest zbiorem Meyera wtedy i tylko wtedy, gdy

• Dla wszystkich ε > 0 X ^ε jest względnie gęsty lub równoważnie
• Istnieje ε z 0 < ε < 1/2, dla którego X ^ε jest względnie gęste.

Charakter addytywnie domkniętego podzbioru przestrzeni wektorowej to funkcja, która odwzorowuje zbiór na okrąg jednostkowy na płaszczyźnie liczb zespolonych , tak że suma dowolnych dwóch elementów jest odwzorowywana na iloczyn ich obrazów . Zbiór X jest zbiorem harmonijnym , jeżeli dla każdego znaku χ na addytywnym domknięciu X i każdego ε > 0 istnieje znak ciągły w całej przestrzeni, który ε -aproksymuje χ . Wtedy stosunkowo gęsty zbiór X jest zbiorem Meyera wtedy i tylko wtedy, gdy jest harmonijny.

Przykłady

Zestawy Meyera to m.in

• Punkty dowolnej sieci
• Wierzchołki dowolnej rombowej płytki Penrose'a
• Suma Minkowskiego innego zbioru Meyera z dowolnym niepustym zbiorem skończonym
• Dowolny stosunkowo gęsty podzbiór innego zbioru Meyera