Zestaw uporządkowany biologicznie

Zbiór biologicznie uporządkowany (inaczej zwany boset ) jest obiektem matematycznym występującym w opisie struktury zbioru idempotentów w półgrupie .

Zbiór idempotentów w półgrupie jest zbiorem biuporządkowanym, a każdy zbiór idempotentów jakiejś półgrupy. Zbiór regularny uporządkowany biologicznie to zbiór uporządkowany biologicznie z dodatkową właściwością. Zbiór idempotentów w regularnej półgrupie jest regularnym zbiorem o podwójnym uporządkowaniu, a każdy regularny zbiór o podwójnym uporządkowaniu jest zbiorem idempotentów jakiejś regularnej półgrupy.

Historia

Koncepcja i terminologia zostały opracowane przez KSS Nambooripad na początku lat siedemdziesiątych. W 2002 roku Patrick Jordan wprowadził termin boset jako skrót od zbioru biologicznego. Definiujące właściwości zbioru biologicznie uporządkowanego są wyrażone w postaci dwóch quasi-porządków zdefiniowanych na zbiorze i stąd nazwa zbioru biologicznie uporządkowanego.

Według Mohana S. Putchy: „Aksjomaty definiujące zbiór biologiczny są dość skomplikowane. Jednak biorąc pod uwagę ogólny charakter półgrup, jest raczej zaskakujące, że taka skończona aksjomatyzacja jest w ogóle możliwa”. Od czasu opublikowania pierwotnej definicji zbioru biologicznego przez Nambooripada zaproponowano kilka odmian tej definicji. David Easdown uprościł definicję i sformułował aksjomaty w specjalnej, wymyślonej przez siebie notacji strzałkowej.

Definicja

Czynności wstępne

Jeśli X i Y są zbiorami i ρ ⊆ X × Y , niech ρ ( y ) = { x ∈ X : x ρ y }.

Niech E będzie zbiorem , w którym zdefiniowana jest częściowa operacja binarna , wskazana przez zestawienie. Jeśli D _E jest dziedziną częściowej operacji binarnej na E , to D _E jest relacją na E i ( e , f ) jest w D _E wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ef istnieje w E . W E można zdefiniować następujące relacje :

${\ Displaystyle \ omega ^ {r} = \ {(e, f) \,: \, fe = e \}}$

${\ Displaystyle \ omega ^ {l} = \ {(e, f) \,: \, ef = e \}}$

${\ Displaystyle R = \ omega ^ {r} \ \ cap \, (\ omega ^ {r}) ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle L = \ omega ^ {l} \, \ czapka \, (\ omega ^ {l}) ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle \ omega = \ omega ^ {r} \, \ czapka \, \ omega ^ {l }}$

Jeśli T jest dowolnym stwierdzeniem o E obejmującym częściową operację binarną i powyższe relacje w E , to można zdefiniować lewy-prawy podwójny T oznaczony przez T *. Jeśli D _E jest symetryczne , to T * ma znaczenie zawsze, gdy T jest.

Definicja formalna

Zbiór E nazywamy zbiorem uporządkowanym biologicznie, jeśli następujące aksjomaty i ich liczby podwójne są spełnione dla dowolnych elementów e , f , g , itd. w E .

(B1) ω ^r i ω ^l są relacjami zwrotnymi i przechodnimi na E i D _mi = ( ω ^r ∪ ω ^l ) ∪ ( ω ^r ∪ ω ^l ) ⁻¹ .

(B21) Jeśli f jest w ω ^r ( e ), to f R fe ω e .

(B22) Jeśli g ω ^l f i jeśli f i g są w ω ^r ( e ), to ge ω ^l fe .

(B31) Jeśli g ω ^r fa i fa ω ^r mi to gf = ( ge ) fa .

(B32) Jeśli g ω ^l f i jeśli f i g są w ω ^r ( mi ), to ( fg ) e = ( fe ) ( ge ).

W M ( mi , fa ) = ω ^l ( mi ) ∩ ω ^r ( fa ) ( M -zbiór e i f w tej kolejności) zdefiniuj relację przez $displaystyle \ prec}$ \

${\ Displaystyle g \ prec h \ quad \ Longleftrightarrow \ quad np. \, \, \ omega ^ {r} \, \, eh \ ,, \ ,\,\,gf\,\,\omega ^{l}\,\,hf}$ .

Potem zestaw

${\ Displaystyle S (e, f) = \ {h \ w M (e, f):g\prec h{\text{dla wszystkich}}g\in M(e,f)\}}$

nazywamy zbiorem kanapkowym e i f w tej kolejności.

(B4) Jeśli f i g są w ω ^r ( e ), to S ( f , g ) e = S ( fe , ge ).

M -zbiory uporządkowane biologicznie i zbiory regularne uporządkowane biologicznie

Mówimy, że zbiór biologiczny E jest zbiorem M biorrzędowym - , jeśli M ( e , f ) ≠ ∅ dla wszystkich e i f w E. Również E jest nazywane regularnym zbiorem uporządkowanym biologicznie , jeśli S ( e , f ) ≠ ∅ dla wszystkich e i f w E .

W 2012 roku Roman S. Gigoń dał prosty dowód, że zbiory M -biorderowane powstają z E -odwrotnych półgrup .

Podobiekty i morfizmy

Podzbiory uporządkowane biologicznie

Podzbiór F zbioru Biordered E jest podzbiorem Biordered (subboset) E , jeśli F jest zbiorem Biordered w ramach częściowej operacji binarnej odziedziczonej z E .

Dla dowolnego e w E zbiory ω ^r ( e ), ω ^l ( e ) i ω ( e ) są uporządkowanymi podzbiorami E .

Bimorfizmy

Odwzorowanie φ : E → F między dwoma zbiorami o rzędzie biologicznym E i F jest homomorfizmem zbioru o rzędzie biologicznym (zwanym także bimorfizmem), jeśli dla wszystkich ( e , f ) w D _E mamy ( e φ ) ( f φ ) = ( ef ) φ.

Ilustrujące przykłady

Przykład przestrzeni wektorowej

Niech V będzie przestrzenią wektorową i

mi = { ( ZA , b ) | V = ZA ⊕ B }

gdzie V = A ⊕ B oznacza, że ​​A i B są podprzestrzeniami V , a V jest wewnętrzną bezpośrednią sumą A i B. Częściowa operacja binarna ⋆ na E zdefiniowana przez

( ZA , b ) ⋆ ( do , re ) = ( ZA + ( b ∩ do ), ( b + do ) ∩ re )

sprawia, że ​​E jest zbiorem biologicznie uporządkowanym. Quasiordery w E charakteryzują się następująco:

( ZA , B ) ω ^r ( do , re ) ⇔ ZA ⊇ do

( ZA , B ) ω ^l ( do , re ) ⇔ b ⊆ re

Biouporządkowany zbiór półgrupy

Zbiór E idempotentów w półgrupie S staje się zbiorem uporządkowanym biologicznie, jeśli częściowa operacja binarna jest zdefiniowana w E w następujący sposób: ef jest zdefiniowane w E wtedy i tylko wtedy, gdy ef = e lub ef = f lub fe = e lub fe = f zachodzi w S. _ Jeśli S jest regularną półgrupą, to E jest regularnym zbiorem uporządkowanym biologicznie.

Jako konkretny przykład, niech S będzie półgrupą wszystkich odwzorowań X = {1, 2, 3} na siebie. Niech symbol ( abc ) oznacza mapę , dla której 1 → a , 2 → b i 3 → c . Zbiór E idempotentów w S zawiera następujące elementy:

(111), (222), (333) (mapy stałe)

(122), (133), (121), (323), (113), (223) (

123) (mapa tożsamości)

Poniższa tabela (biorąc skład odwzorowań w kolejności na diagramie) opisuje częściową operację binarną w E . X w komórce wskazuje, że odpowiednie mnożenie nie jest zdefiniowane .

∗	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	(121)	(323)	(113)	(223)	(123)
(111)	(111)	(222)	(333)	(111)	(111)	(111)	(333)	(111)	(222)	(111)
(222)	(111)	(222)	(333)	(222)	(333)	(222)	(222)	(111)	(222)	(222)
(333)	(111)	(222)	(333)	(222)	(333)	(111)	(333)	(333)	(333)	(333)
(122)	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	(122)	X	X	X	(122)
(133)	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	X	X	(133)	X	(133)
(121)	(111)	(222)	(333)	(121)	X	(121)	(323)	X	X	(121)
(323)	(111)	(222)	(333)	X	X	(121)	(323)	X	(323)	(323)
(113)	(111)	(222)	(333)	X	(113)	X	X	(113)	(223)	(113)
(223)	(111)	(222)	(333)	X	X	X	(223)	(113)	(223)	(223)
(123)	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	(121)	(323)	(113)	(223)	(123)