Zwartość Freunda-Rubina

Kompaktyfikacja Freunda-Rubina jest formą redukcji wymiarów , w której teoria pola w d -wymiarowej czasoprzestrzeni , zawierająca grawitację i pewne pole , którego natężenie pola jest tensorem antysymetrycznym rangi , „preferuje $”$ redukcję czasoprzestrzeń o wymiarze s lub ds .

Pochodzenie

Rozważ ogólną teorię względności w d wymiarach czasoprzestrzennych. W obecności antysymetrycznego pola tensorowego (bez źródeł zewnętrznych) równania pola Einsteina i równania ruchu dla tensora antysymetrycznego są

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R ^ {\ mu \ nu} - {\ Frac {1} {2}} Rg ^ {\ mu \ nu} = 8 \ pi T ^ {\ mu \ nu },~~~~\nabla _{\mu }F^{\mu \,\alpha _{2}...\alpha _{s}}=0\end{wyrównane}}}$

Gdzie tensor energii naprężenia przyjmuje formę

${\ mu \ nu} = F _ {\ alfa _ {1} ... \ alfa _ {s-1}} ~ ^ {\ mu} F ^ {\ alfa _ { 1}...\alpha _{s-1}\nu }-{\frac {1}{2s}}F_{\alpha _{1}...\alpha _{s}}F^{\alpha _{1}...\alpha _{s}}g^{\mu \nu }}$

Będąc tensorem antysymetrycznym rzędu s , $natężenie$ pola ma naturalny ansatz dla swojego rozwiązania, proporcjonalny do tensora Leviego-Civity na jakiejś - wymiarowej rozmaitości .

${\ Displaystyle F ^ {\ mu _ {1} ... \ mu _ {s}} = (\ epsilon ^ {\ mu _$

Tutaj indeksy przebiegają przez s wymiarów otaczającej d -wymiarowej czasoprzestrzeni, $displaystyle g_ {s}}$ \ $-$ metryki tego s $podprzestrzeń$ wymiarowa i jest pewną stałą o wymiarach masy do kwadratu (w naturalnych ).

Ponieważ natężenie pola jest niezerowe tylko w $podrozmaitości wymiarowej$ s , metryka jest naturalnie podzielona na dwie części o kształcie bloku

${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu} = {\ rozpocząć {bmatrix} g_ {mn} (x ^ {p} )&0\\0&g_{{\bar {m}}{\bar {n}}}(x^{\bar {p}})\end{bmacierz}}}$

z ${\ displaystyle m}$ , ${\ displaystyle n}$ i ${\ displaystyle p}$ rozciągającymi się na tych samych wymiarach s co natężenie pola $displaystyle$ m ${\ bar {m} }}}$ , ${\ displaystyle {\ bar {n}}}$ i ${\ displaystyle {\ bar {p}}}$ obejmujące pozostałe wymiary ds . Po podzieleniu naszej d -wymiarowej przestrzeni na iloczyn dwóch podprzestrzeni, równania pola Einsteina pozwalają nam rozwiązać krzywiznę tych dwóch podrozmaitości i znajdujemy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R_ {ds} & = {\ Frac {(s-1) (ds)} {(d-2)}} \ lambda ~ ~ R_ {s} = - {\frac {s(ds-1)}{(d-2)}}\lambda \\\lambda &=8\pi G\operatorname {sgn}(g_{s})f^{2}\end{ wyrównany}}}$

Stwierdzamy, że krzywizny Ricciego podrozmaitości wymiarowych s i (ds) mają z konieczności przeciwne znaki . Jedna musi mieć krzywiznę dodatnią , a druga krzywiznę ujemną , więc jedna z tych rozmaitości musi być zwarta . W konsekwencji, w skalach znacznie większych niż zwarta rozmaitość, wszechświat wydaje się mieć s lub (ds) , w przeciwieństwie do leżącego u jego podstaw wymiaru d .

Jako ważny przykład tego, 11D-Supergravity zawiera 3-formowy antysymetryczny tensor z 4-formowym natężeniem pola, w związku z czym preferuje kompaktowanie 7 lub 4 swoich przestrzennopodobnych wymiarów, więc wielkoskalowa czasoprzestrzeń musi wynosić albo 4 lub 7-wymiarowy, z których pierwszy jest atrakcyjny z perspektywy fenomenologicznej

Perspektywa z teorii strun

Niektóre ważne przykłady zagęszczania Freunda-Rubina pochodzą z przyjrzenia się zachowaniu bran w teorii strun . Podobnie jak sprzężenie z polem elektromagnetycznym stabilizuje elektrycznie naładowane cząstki, obecność antysymetrycznych pól tensorowych różnego rzędu w teorii strun stabilizuje bran o różnych wymiarach. Z kolei geometria czasoprzestrzeni w pobliżu stosów bran zostaje zakrzywiona w taki sposób, że realizuje się zagęszczenie Freunda-Rubina. W teorii strun typu II-B , która wymaga $D$ wymiarów czasoprzestrzennych, istnieje pięciopostaciowe natężenie pola, które na trójwymiarowe -brany i geometrię bliskiego horyzontu stosu D3 $branes$ pięciowymiarowa -de Sittera razy pięciowymiarowa kula , która zwarta w pięciu Ta geometria jest ważną częścią korespondencji AdS/CFT.

Podobnie teoria M i jej dolna granica energii supergrawitacji 11D zawierają 4-postaciowe natężenie pola, które stabilizuje membrany M2 i M5. Geometria bliskiego horyzontu stosów tych bran $razy$ 7 $\$ odpowiednio