Algebra Toeplitza

W algebrach operatorów algebra Toeplitza jest algebrą C* generowaną przez jednostronne przesunięcie w przestrzeni Hilberta l ² ( N ) . Przyjmując l ² ( N ) za przestrzeń Hardy'ego H ² , algebra Toeplitza składa się z elementów postaci

${\ Displaystyle T_ {f} + K \;}$

gdzie T _f jest operatorem Toeplitza o symbolu ciągłym, a K jest operatorem zwartym .

Operatory Toeplitza z symbolami ciągłymi dojeżdżają modulo operatorów zwartych. Tak więc algebrę Toeplitza można postrzegać jako rozszerzenie C*-algebry funkcji ciągłych na okręgu przez operatorów zwartych. To rozszerzenie nazywa się rozszerzeniem Toeplitza .

Zgodnie z twierdzeniem Atkinsona element algebry Toeplitza T _f + K jest operatorem Fredholma wtedy i tylko wtedy, gdy symbol f z T _f jest odwracalny. W takim przypadku indeks Fredholma T _f + K jest dokładnie liczbą zwojów f , klasą równoważności f w podstawowej grupie koła. Jest to szczególny przypadek twierdzenia o indeksie Atiyaha-Singera .

Dekompozycja Wolda charakteryzuje właściwe izometrie działające na przestrzeń Hilberta. Z tego, wraz z właściwościami operatorów Toeplitza, można wywnioskować, że algebra Toeplitza jest uniwersalną C*-algebrą generowaną przez odpowiednią izometrię; to jest twierdzenie Coburna .