rozkład Wolda

Ten artykuł dotyczy ogólnego wyniku matematycznego. Aby zapoznać się z zastosowaniem do analizy szeregów czasowych, zobacz twierdzenie Wolda .

W matematyce , zwłaszcza w teorii operatorów , rozkład Wolda lub rozkład Wolda – von Neumanna , nazwany na cześć Hermana Wolda i Johna von Neumanna , jest twierdzeniem klasyfikacyjnym dla izometrycznych operatorów liniowych w danej przestrzeni Hilberta . Stwierdza, że ​​każda izometria jest bezpośrednią sumą kopii przesunięcia jednostronnego i operatora unitarnego .

W analizie szeregów czasowych twierdzenie implikuje, że dowolny stacjonarny proces stochastyczny w czasie dyskretnym można rozłożyć na parę nieskorelowanych procesów, z których jeden jest deterministyczny, a drugi jest procesem średniej ruchomej .

Detale

Niech H będzie przestrzenią Hilberta, L ( H ) będzie operatorami ograniczonymi na H , a V ∈ L ( H ) będzie izometrią. Dekompozycja Wolda stwierdza, że ​​każda izometria V ma postać

${\ Displaystyle V = (\ oplus _ {\ alfa \ w A} S) \ oplus U}$

dla pewnego zestawu indeksów A , gdzie S jest jednostronnym przesunięciem w przestrzeni Hilberta H _α , a U jest operatorem unitarnym (możliwe próżniowe). Rodzina { H _α } składa się z izomorficznych przestrzeni Hilberta.

Dowód można naszkicować w następujący sposób. Kolejne zastosowania V dają malejące sekwencje kopii H izomorficznie osadzonych w sobie:

${\ Displaystyle H = H \ supset V (H) \ supset V ^ {2} (H) \ supset \cdots =H_{0}\supset H_{1}\supset H_{2}\supset \cdots ,}$

gdzie V ( H ) oznacza zakres V . Zdefiniowane powyżej Hi ₌ V ja ( ^H ) . Jeśli ktoś definiuje

${\ Displaystyle M_ {i} = H_ {i} \ ominus H_ {i + 1} = V ^ {i }(H\ominus V(H))\quad {\text{for}}\quad i\geq 0\;,}$

Następnie

${\ Displaystyle H = (\ oplus _ {i \ geq 0} M_ {i}) \ oplus (\ cap _ {i \ geq 0} H_ {i}) = K_ {1} \ oplus K_ {2}.}$

Jest jasne, że K ₁ i K ₂ są niezmiennymi podprzestrzeniami V .

Więc V ( K ₂ ) = K ₂ . Innymi słowy, V ograniczone do K ₂ jest izometrią surjektywną, tj. operatorem unitarnym U.

Co więcej, każde M _i jest izomorficzne względem innego, przy czym V jest izomorfizmem między _{+1 M} i _a M i _{+1 :} V „ przesuwa” Mi _i do M . Załóżmy, że wymiarem każdego M _i jest jakaś liczba kardynalna α . Widzimy, że K ₁ można zapisać jako bezpośrednią sumę przestrzeni Hilberta

${\ Displaystyle K_ {1} = \ oplus H _ {\ alfa}}$

gdzie każda H _α jest niezmienną podprzestrzenią V i V ograniczona do każdej H _α jest jednostronnym przesunięciem S . Dlatego

${\ Displaystyle V = V \ vert _ {K_ {1}} \ oplus V \ vert _ {K_ {2}} = (\ oplus _ {\ alfa \ in A}S)\oplus U,}$

który jest rozkładem Wolda V .

Uwagi

Bezpośrednio z rozkładu Wolda wynika, że ​​widmem dowolnej izometrii właściwej, tj. niejednolitej, jest dysk jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej.

izometria V jest czysta , jeśli w zapisie powyższego dowodu ∩ _{i ≥0} H _i = {0}. Wielokrotność czystej izometrii V jest wymiarem jądra V* , tj . licznością zbioru indeksów A w rozkładzie Wolda V . Innymi słowy, przyjmuje formę czystą izometrię krotności N

${\ Displaystyle V = \ oplus _ {1 \ równoważnik \ alfa \ równoważnik N} S.}$

W tej terminologii rozkład Wolda wyraża izometrię jako bezpośrednią sumę czystej izometrii i operatora unitarnego.

Podprzestrzeń M jest nazywana wędrującą podprzestrzenią V , jeśli V ⁿ ( M ) ⊥ Vm ( M ) dla wszystkich n ≠ m ^. W szczególności, każda Mi zdefiniowana _powyżej jest wędrującą podprzestrzenią V.

Sekwencja izometrii

Powyższy rozkład można nieco uogólnić na sekwencję izometrii indeksowanych liczbami całkowitymi.

C*-algebra generowana przez izometrię

Rozważmy izometrię V ∈ L ( H ). Oznaczmy przez C* ( V ) algebrę C* generowaną przez V , tj. C* ( V ) jest domknięciem normy wielomianów w V i V* . Dekompozycję Wolda można zastosować do scharakteryzowania C* ( V ).

Niech C ( T ) będzie funkcjami ciągłymi na okręgu jednostkowym T . Przypomnijmy, że C*-algebra C* ( S ) generowana przez jednostronne przesunięcie S ma następującą postać

do * ( S ) = { T _fa + K. | T _f jest operatorem Toeplitza o symbolu ciągłym f ∈ C ( T ), a K jest operatorem zwartym }.

W tej identyfikacji S = T _z, gdzie z jest funkcją identyczności w C ( T ). Algebrę C* ( S ) nazywamy algebrą Toeplitza .

Twierdzenie (Coburna) C* ( V ) jest izomorficzne z algebrą Toeplitza, a V jest izomorficznym obrazem T _z .

Dowód opiera się na związkach z C ( T ) w opisie algebry Toeplitza oraz na tym, że widmo operatora unitarnego zawiera się w okręgu T .

Potrzebne będą następujące właściwości algebry Toeplitza:

1. ${\ Displaystyle T_ {f} + T_ {g} = T_ {f + g}. \,}$
2. ${\ Displaystyle T_ {f} ^ {*} = T _ {\ bar {f}}.}$
3. Półkomutator ${\ Displaystyle T_ {f} T_ {g} -T_ {fg} \,}$ jest zwarty.

Dekompozycja Wolda mówi, że V jest bezpośrednią sumą kopii T _z , a następnie jakiegoś unitarnego U :

${\ Displaystyle V = (\ oplus _ {\ alfa \ w A} T_ {z}) \ oplus U.}$

Przywołujemy więc ciągły rachunek funkcyjny f → f ( U ) i definiujemy

${\ Displaystyle \ Phi: C ^ {*} (S) \ strzałka w prawo C ^ {*} (V) \ quad {\ tekst {by}} \ quad \ Phi (T_ {f} + K) = \ oplus _ { \alpha \in A}(T_{f}+K)\oplus f(U).}$

Można teraz zweryfikować, że Φ jest izomorfizmem odwzorowującym jednostronne przesunięcie do V :

Zgodnie z właściwością 1 powyżej, Φ jest liniowe. Odwzorowanie Φ jest iniekcyjne, ponieważ T _f nie jest zwarte dla dowolnego niezerowego f ∈ C ( T ), a zatem T _f + K = 0 implikuje f = 0. Ponieważ zakres Φ jest C*-algebrą, Φ jest suriekcją przez minimalność C* ( V ). Własność 2 i ciągły rachunek funkcjonalny zapewniają, że Φ zachowuje operację *. Wreszcie właściwość półkomutatora pokazuje, że Φ jest multiplikatywna. Dlatego twierdzenie zachodzi.

• Coburn, L. (1967). „C *-algebra izometrii” . Byk. Amer. Matematyka soc. 73 (5): 722–726. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11845-7 .
•   Constantinescu, T. (1996). Parametry Schura, problemy z rozkładem na czynniki i dylatacją . Teoria operatorów, postępy i zastosowania . Tom. 82. Birkäuser. ISBN 3-7643-5285-X .
•   Douglas, RG (1972). Techniki algebry Banacha w teorii operatorów . Prasa akademicka. ISBN 0-12-221350-5 .
•   Rosenblum, Marvin; Rownak, James (1985). Klasy Hardy'ego i teoria operatorów . Oxford University Press. ISBN 0-19-503591-7 .