Twierdzenie Wolda

Ten artykuł dotyczy twierdzenia stosowanego w analizie szeregów czasowych. Aby zapoznać się z abstrakcyjnym stwierdzeniem matematycznym, zobacz rozkład Wolda .

W statystyce rozkład Wolda lub twierdzenie o reprezentacji Wolda (nie mylić z twierdzeniem Wolda, które jest analogiem twierdzenia Wienera-Khinchina w czasie dyskretnym ), nazwane na cześć Hermana Wolda , mówi, że każdy kowariancyjno -stacjonarny szereg czasowy ${ \displaystyle Y_{t}}$ można zapisać jako sumę dwóch szeregów czasowych, jednego deterministycznego i jednego stochastycznego .

Formalnie

${\ Displaystyle Y_ {t} = \ suma _ {j = 0} ^ {\ infty} b_ {j} \ varepsilon _ {tj} + \ eta _{t},}$

Gdzie:

• ${\ displaystyle Y_ {t}}$ to rozważany szereg czasowy ,

• to nieskorelowana sekwencja, która jest procesem innowacji z procesem. $Y$$}} }$ - to znaczy proces białego szumu, który jest wprowadzany do filtra liniowego. ${\ Displaystyle \ {b_ {j} \}}$ .

• ${\ displaystyle b}$ jest możliwe nieskończony wektor ruchomych średnich wag (współczynników lub parametrów)

• $deterministycznym$ szeregiem czasowym, na przykład reprezentowanym przez falę sinusoidalną

Współczynniki średniej ruchomej mają następujące właściwości:

1. Stabilny, czyli sumowalny do kwadratu ${\ Displaystyle \ suma _ {j = 1} ^ {\ infty} | b_ {j} | ^ {2}} <$ ∞ $\ Displaystyle \ infty}$
2. Przyczynowy (tj. nie ma terminów z j < 0)
3. Minimalne opóźnienie
4. Stała ( ${\ displaystyle b_ {j}}$ niezależna od t )
5. Definiowanie jest konwencjonalne ${\ displaystyle b_ {0} = 1}$

Twierdzenie to można uznać za twierdzenie o istnieniu: każdy proces stacjonarny ma tę pozornie specjalną reprezentację. Nie tylko istnienie tak prostej liniowej i dokładnej reprezentacji jest niezwykłe, ale jeszcze bardziej szczególna natura modelu średniej ruchomej. Wyobraź sobie tworzenie procesu, który jest średnią ruchomą, ale nie spełnia tych właściwości 1–4. Na przykład współczynniki model $.$ i nieminimalnego opóźnienia Niemniej jednak twierdzenie zapewnia istnienie związku przyczynowego minimalna średnia ruchoma opóźnienia , która dokładnie reprezentuje ten proces. Jak to wszystko działa w przypadku przyczynowości i właściwości minimalnego opóźnienia, omówiono w Scargle (1981), gdzie omówiono rozszerzenie rozkładu Wolda.

Przydatność twierdzenia Wolda polega na tym, że umożliwia ono $dynamicznej$ ewolucji zmiennej za pomocą modelu . Jeśli innowacje $jest$ niezależne , $to model$ liniowy jedyną możliwą reprezentacją odnoszącą obserwowaną wartość ewolucji. Jednak gdy jest tylko an. ${\ displaystyle \ varepsilon _ {t}}$ nieskorelowany , ale nie niezależny, to model liniowy istnieje, ale nie jest jedyną reprezentacją dynamicznej zależności szeregu. W tym drugim przypadku możliwe jest, że model liniowy może nie $użyteczny$ i istniałby model nieliniowy odnoszący obserwowaną wartość jego wcześniejszej ewolucji. Jednak w praktycznej analizie szeregów czasowych często bierze się pod uwagę tylko predyktory liniowe, częściowo ze względu na prostotę, w którym to przypadku rozkład Wolda ma bezpośrednie znaczenie.

Reprezentacja Wolda zależy od nieskończonej liczby parametrów, chociaż w praktyce zwykle zanikają one szybko. Model autoregresyjny jest alternatywą, która może mieć tylko kilka współczynników, jeśli odpowiednia średnia ruchoma ma wiele. Te dwa modele można połączyć w model autoregresyjnej średniej ruchomej (ARMA) lub model autoregresyjnej zintegrowanej średniej ruchomej (ARIMA), jeśli w grę wchodzi niestacjonarność. Zobacz szkarłat (1981) i tam odniesienia; ponadto niniejszy artykuł przedstawia rozszerzenie twierdzenia Wolda, które pozwala na większą ogólność średniej ruchomej (niekoniecznie stabilnej, przyczynowej lub minimalnego opóźnienia), której towarzyszy ostrzejsza charakterystyka innowacji (identycznie i niezależnie rozłożona, a nie tylko nieskorelowana). To rozszerzenie pozwala na modele, które są bardziej wierne procesom fizycznym lub astrofizycznym, aw szczególności mogą wyczuwać „strzałkę czasu ”.

• Anderson, TW (1971). Analiza statystyczna szeregów czasowych . Wileya.
•   Nerlove, M .; Grether, David M.; Carvalho, José L. (1995). Analiza ekonomicznych szeregów czasowych (poprawiona red.). San Diego: prasa akademicka. s. 30–36 . ISBN 0-12-515751-7 .
• Szkarłat, JD (1981). Badania z zakresu astronomicznej analizy szeregów czasowych. I – Modelowanie procesów losowych w dziedzinie czasu . Seria suplementów do czasopism astrofizycznych. Tom. 45. s. 1–71.
• Wold, H. (1954) Studium w analizie stacjonarnych szeregów czasowych , wydanie drugie poprawione, z dodatkiem „Ostatnie zmiany w analizie szeregów czasowych” autorstwa Petera Whittle'a . Almqvist and Wiksell Book Co., Uppsala.