filtr Kautza

W przetwarzaniu sygnału filtr Kautza , nazwany na cześć Williama H. ​​Kautza , jest filtrem trawersalnym o stałym biegunie , opublikowanym w 1954 roku.

Podobnie jak filtry Laguerre'a, filtry Kautza można zaimplementować za pomocą kaskady filtrów wszechprzepustowych , z jednobiegunowym filtrem dolnoprzepustowym na każdym odczepie między sekcjami wszechprzepustowymi.

Zestaw ortogonalny

Biorąc pod uwagę zbiór rzeczywistych biegunów ${\ Displaystyle \ {- \ alfa _ {1}, - \ alfa _ {2}, \ ldots, - \ alfa _ { n}\}}$ , transformata Laplace'a bazy ortonormalnej Kautza jest zdefiniowana jako iloczyn jednobiegunowego współczynnika dolnoprzepustowego z rosnącym współczynnikiem wszechprzepustowym:

${\ Displaystyle \ Phi _ {1} (s) = {\ Frac {\ sqrt {2 \ alfa _ {1}}} {(s + \ alfa _ {1})}}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {2} (s) = {\ Frac {\ sqrt {2 \ alfa _ {2}}} {(s + \ alfa _ {2})}} \ cdot {\ Frac {(s- \alpha _{1})}{(s+\alpha _{1})}}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (s) = {\ Frac {\ sqrt {2 \ alfa _ {n}}} {(s + \ alfa _ {n})}}\cdot {\frac {(s-\alfa _{1})(s-\alfa _{2})\cdots (s-\alfa _{n-1})}{(s+ \alpha _{1})(s+\alpha _{2})\cdots (s+\alpha _{n-1})}}}$ .

W dziedzinie czasu jest to równoważne

$\ Displaystyle \ phi _ {n} (t) = a_ {n1 }e^{-\alpha_{1}t}+a_{n2}e^{-\alpha_{2}t}+\cdots +a_{nn}e^{-\alpha_{n}t} }$ ,

gdzie a _ni to współczynniki częściowego rozszerzenia frakcji jako,

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (s) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {a_ {ni }}{s+\alfa _{i}}}}$

W przypadku filtrów Kautza w czasie dyskretnym stosuje się te same wzory, z zamiast s .

Związek z wielomianami Laguerre'a

Jeśli wszystkie bieguny pokrywają się w s = -a , to szereg Kautza można zapisać jako ${\ Displaystyle \ phi _{k}(t)={\sqrt {2a}}(-1)^{k-1}e^{-at}L_{k-1}(2at)} ,$ gdzie L k _oznacza wielomiany Laguerre'a .

Zobacz też

• kod Kautza