funkcja Riesza

Riesz(x) dla x od 0 do 50

W matematyce funkcja Riesza to cała funkcja zdefiniowana przez Marcela Riesza w związku z hipotezą Riemanna za pomocą szeregu potęgowego

${\ Displaystyle {\ rm {Riesz}} (x) = - \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-x) ^ {k}} {(k-1)! \ zeta (2k)}}=x\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\exp \left({\frac {-x} {n^{2}}}\prawo).}$

Jeśli ustawimy ${\ Displaystyle F (x) = {\ Frac {1} {2}} {\ rm {Riesz}} (4 \ pi ^{2}x)}$ możemy to zdefiniować za pomocą współczynników rozwoju szeregu Laurenta hiperbolicznego (lub równoważnie zwyczajnego) cotangensa wokół zera. Jeśli

${\ Displaystyle {\ Frac {x} {2}} \ coth {\ Frac {x} {2}}=\suma _{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=1+{\frac {1}{12}}x^{2}-{\frac { 1}{720}}x^{4}+\cdots}$

wówczas F można zdefiniować jako

${\ Displaystyle F (x) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {x ^ {k}} {c_ {2k} ( k-1)!}}=12x-720x^{2}+15120x^{3}-\cdots }$

Wartości ζ (2k) zbliżają się do jednego dla zwiększenia k i porównanie szeregu dla funkcji Riesza z $całą$ funkcję . Alternatywnie, F można zdefiniować jako

${\ Displaystyle F (x) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {k ^ {\ overline {k + 1}} x ^ {k}} {B_ {2k}}}. \ }$

${\ Displaystyle n ^ {\ overline {k}}}$ oznacza rosnącą siłę silni w notacji DE Knutha , a liczba B _n to liczba Bernoulliego . Szereg jest jednym z wyrazów naprzemiennych, a funkcja szybko dąży do minus nieskończoności dla coraz bardziej ujemnych wartości x . Dodatnie wartości x są bardziej interesujące i delikatne.

Kryterium Riesza

Można to pokazać

${\ Displaystyle \ operatorname {Riesz} (x) = O (x ^ {e}) \ qquad ({\ tekst {as}} x \ do \infty )}$

dla dowolnego wykładnika e większego niż 1/2, gdzie jest to duże O notacja ; przyjmując wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne. Riesz wykazał, że hipoteza Riemanna jest równoważna twierdzeniu, że powyższe jest prawdziwe dla każdego e większego niż 1/4. W tym samym artykule dodał też nieco pesymistyczną nutę: „ Je ne sais pas encore decydujący si cette condition facilitera la vérification de l'hypothèse ” („Nie wiem, jak rozstrzygnąć, czy ten warunek ułatwi weryfikację hipotezy ").

Transformata Mellina funkcji Riesza

Funkcja Riesza jest powiązana z funkcją zeta Riemanna poprzez jej transformatę Mellina . Jeśli weźmiemy

${\ Displaystyle {\ mathbf {M}} ({\ rm {Riesz}} (z)) = \int _{0}^{\infty}{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}}$

widzimy, że jeśli ${\ Displaystyle \ Re (s)> -1}$ to

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ rm {Riesz}} (z) z ^ {s} {\ Frac {dz} z}}}$

podczas gdy z warunku wzrostu mamy, że jeśli ${\ Displaystyle \ Re (s) <- {\ Frac {1} {2}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ rm {Riesz}} (z) z ^ {s} {\ Frac {dz }{z}}}$

zbiega się. $, że$ na pasku . Na tym pasku mamy (por. Twierdzenie Ramanujana ) ${\ Displaystyle {\ Frac {\ Gamma (s + 1)} {\ zeta (-2 s)}} = {\ mathbf {M}} ({\ rm {Riesz}} (z))}$

Z odwrotnej transformaty Mellina otrzymujemy teraz wyrażenie na funkcję Riesza, as

${\ Displaystyle {\ rm {Riesz}} (z) = \ int _{ci\infty}^{c+i\infty}}{\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}z^{-s}ds}$

gdzie c wynosi od minus jeden do minus pół. Jeśli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, możemy przesunąć linię integracji do dowolnej wartości mniejszej niż minus jedna czwarta, a tym samym otrzymamy równoważność między stopą wzrostu czwartego pierwiastka dla funkcji Riesza a hipotezą Riemanna.

J. garcia (patrz odnośniki) podał integralną reprezentację przy użyciu wznowienia Borela jako ${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle \ exp (-x) -1 = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (t)} {t}} \ rho ({\ sqrt {x/t}}) dt} i$ ρ $\ Displaystyle \ rho (x) = x- \ lfloor x \rfloor }$ to część ułamkowa „x”

Obliczanie funkcji Riesza

Współczynniki F szeregu Maclaurina rosną w wartości bezwzględnej, aż do osiągnięcia maksimum przy 40. wyrazie -1,753 × 10 ¹⁷ . Do 109. kadencji spadły poniżej jednego w wartości bezwzględnej. $bardzo$ pierwszych 1000 wyrazów wystarczy, aby podać dla ${\ displaystyle | z| <9}$ . Wymagałoby to jednak oceny wielomianu stopnia 1000 albo przy użyciu arytmetyki wymiernej ze współczynnikami dużego licznika lub mianownika, albo przy użyciu obliczeń zmiennoprzecinkowych obejmujących ponad 100 cyfr. Alternatywą jest użycie zdefiniowanej powyżej odwrotnej transformaty Mellina i całkowanie numeryczne. Żadne podejście nie jest łatwe obliczeniowo.

Innym podejściem jest wykorzystanie przyspieszenia konwergencji. Mamy

${\ Displaystyle {\ rm {Riesz}} (x) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k + 1} x ^ {k}} {(k -1)!\zeta (2k)}}.}$

Ponieważ ζ(2k) zbliża się do jedności wraz ze wzrostem k, wyrazy tego szeregu zbliżają się

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k + 1} x ^ {k}} {(k-1) !}}=x\exp(-x)}$ . Rzeczywiście Riesz zauważył, że: ${\ Displaystyle \ {\ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ rm {Riesz}} (x / n ^ {2}) = x \ exp (-x)}.}$

Zastosowanie metody Kummera do przyspieszenia konwergencji daje

${\ Displaystyle {\ rm {Riesz}} (x) = x \ exp (-x) - \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} \ lewo (\ zeta (2k) -1 \ prawo) \ lewo ({\frac {(-1)^{k+1}}{(k-1)!\zeta (2k)}}\right)x^{k}}$

z lepszym współczynnikiem konwergencji.

Kontynuacja tego procesu prowadzi do nowego szeregu dla funkcji Riesza o znacznie lepszych właściwościach zbieżności:

${\ Displaystyle {\ rm {Riesz}} (x) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{ k+1}x^{k}}{(k-1)!}}\left(\suma _{n=1}^{\infty}\mu (n)n^{-2k}\right)}$

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k + 1} \ lewo (x / n ^ {2}\right)^{k}}{(k-1)!}}=x\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {\mu (n)}{n^{2 }}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right).}$

Tutaj μ jest funkcją Möbiusa mu , a przegrupowanie terminów jest uzasadnione absolutną zbieżnością. Możemy teraz ponownie zastosować metodę Kummera i pisać

${\ Displaystyle {\ rm {Riesz}} ( x)=x\left({\frac {6}{\pi ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty}}{\frac {\mu (n)}{n^{ 2}}}\lewo(\exp \lewo(-{\frac {x}{n^{2}}}\prawo)-1\prawo)\prawo)}$

których warunki ostatecznie maleją jako odwrotna czwarta potęga n .

Powyższe szeregi są wszędzie bezwzględnie zbieżne, a zatem można je różniczkować termin po wyrazie, prowadząc do następującego wyrażenia na pochodną funkcji Riesza:

${\ Displaystyle {\ rm {Riesz }}'(x)={\frac {\rm {Riesz(x)}}{x}}-x\left(\sum _{n=1}^{\infty}}{\frac {\mu (n )}{n^{4}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)}$

które można przeorganizować jako

${\ Displaystyle {\ rm {Riesz}} '(x) = {\ Frac {\ rm {Riesz (x)}} {x}} + x \ lewo (- {\ Frac {90} {\ pi ^ {4 }}}+\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\left(1-\exp \left(-{\frac { x}{n^{2}}}\prawo)\prawo)\prawo).}$

Marek Wolf przyjmując Hipotezę Riemanna wykazał, że dla dużego x:

$\ Displaystyle {\ rm {Riesz}} (x) = \ operatorname {const} \times x^{1/4}\sin \left(\phi -{\frac {1}{2}}\gamma _{1}\log(x)\right)}$

gdzie $7,7750627$${\ Displaystyle \ operatorname {const} = 7,7750627 ... \ razy 10 ^ {- 5}}$ częścią pierwszego nietrywialnego zera funkcji i ${\ Displaystyle \ phi = -0,54916 ... = (-31,46447 ^ {\ circ})}$ . Zgadza się to z ogólnymi twierdzeniami o zerach funkcji Riesza udowodnionymi w 1964 roku przez Herberta Wilfa.

Wygląd funkcji Riesza

Powyżej podano wykres dla zakresu od 0 do 50. Na razie nie wskazuje to na bardzo szybki wzrost i być może dobrze wróży prawdziwości hipotezy Riemanna.

Kryterium Hardy'ego-Littlewooda

GH Hardy i JE Littlewood wykazali podobnymi metodami, że hipoteza Riemanna jest równoważna twierdzeniu, że

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-x) ^ {k}} {k! \ zeta (2k + 1)}} = O (x ^ {- 1 / 4})\qquad ({\text{as}}x\to \infty).}$

Notatki

• Titchmarsh, EC , The Theory of the Riemanna Zeta Function , wydanie drugie poprawione (Heath-Brown), Oxford University Press, 1986, [ Rozdział 14.32 ]