grupa Schutzenbergera

W algebrze abstrakcyjnej , w teorii półgrup , grupa Schutzenbergera jest pewną grupą powiązaną z klasą Greena H półgrupy . Grupy Schutzenbergera związane z różnymi H są różne. Jednak grupy związane z dwiema różnymi H zawartymi w tej samej klasie D półgrupy są izomorficzne . Co więcej, gdyby H była grupą , grupa Schutzenbergera klasy H byłaby izomorficzna z klasą H. W rzeczywistości istnieją dwie grupy Schutzenbergera związane z daną klasą H i każda z nich jest antyizomorficzna względem drugiej.

Grupa Schutzenberger została odkryta przez Marcela-Paula Schützenbergera w 1957 roku, a terminologia została ukuta przez AH Clifforda .

Grupa Schutzenbergera

Niech S będzie półgrupą i niech S ¹ będzie półgrupą otrzymaną przez dołączenie elementu tożsamości 1 do S (jeśli S ma już element tożsamości, to S ¹ = S ). H -relacja Greena w S jest zdefiniowana następująco: Jeśli aib są w S , to

za H b ⇔ w S ¹ są takie u , v , x , y , że ua = ax = b i vb = przez = za .

Dla a w S _, zbiór wszystkich b w S taki , że a H b jest zieloną klasą H S zawierającą a , oznaczoną przez Ha .

Niech H będzie H -klasą półgrupy S . Niech T ( H ) będzie zbiorem wszystkich elementów t w S ¹ takim, że Ht jest podzbiorem samego H. Każde t w T ( H ) definiuje transformację, oznaczoną przez γ _t , H przez odwzorowanie h w H na ht w H . Zbiór wszystkich tych przekształceń H , oznaczony przez Γ( H ), jest grupą podlegającą złożeniu odwzorowań (przyjmujących funkcje jako prawe operatory). Grupa Γ( H ) to grupa Schutzenbergera związana z klasą H H .

Przykłady

Jeśli H jest maksymalną podgrupą monoidu M ( półgrupa z tożsamością), to H jest klasą H i jest naturalnie izomorficzna z własną grupą Schutzenbergera.

biorąc , można przyjąć, że liczność H i jej grupy Schutzenbergera pokrywa się dla dowolnej klasy H H .

Aplikacje

Wiadomo, że monoid ze skończenie wieloma lewymi i prawymi ideałami jest skończenie przedstawiony (lub po prostu skończenie generowany ) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego grupy Schutzenbergera są skończenie przedstawione (odpowiednio, skończenie wygenerowane). Podobnie taki monoid jest resztkowo skończony wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego grupy Schutzenbergera są resztkowo skończone.