iloraz geometryczny

W geometrii algebraicznej iloraz geometryczny rozmaitości algebraicznej X z działaniem grupy algebraicznej G jest morfizmem rozmaitości takim, że ${\ Displaystyle \ pi: X \ do Y}$

$_$ ) Dla y w Y , włókno .

(ii) Topologia Y jest topologią ilorazową : podzbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $U) }$$Displaystyle \ pi ^ {-$ jest otwarty.

(iii) Dla dowolnego podzbioru otwartego ${\ Displaystyle U \ podzbiór Y}$ , ${\ Displaystyle \ pi ^ {\ #}: k [ U]\to k[\pi ^{-1}(U)]^{G}}$ jest izomorfizmem. (Tutaj k jest polem podstawowym).

Pojęcie to pojawia się w teorii niezmienników geometrycznych . (i), (ii) powiedzmy, że Y jest przestrzenią orbity X w topologii . (iii) można również wyrazić jako izomorfizm snopów ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y} \ simeq \ pi _ {*} ({\ mathcal {O} }}_{X}^{G})}$ . W szczególności, jeśli X jest nieredukowalny, to tak samo jest z Y i ${\ Displaystyle k (Y) = k (X) ^ {G}}$ : funkcje wymierne na Y można postrzegać jako niezmienne funkcje wymierne na X (tj. niezmienniki wymierne X ).

$ilorazem$ jeśli H zamkniętą podgrupą G , to jest geometrycznym Iloraz GIT może , ale nie musi, być ilorazem geometrycznym: ale oba są ilorazami kategorycznymi, co jest unikalne; innymi słowy, nie można mieć obu rodzajów ilorazów (bez ich identyczności).

Stosunek do innych ilorazów

Iloraz geometryczny to iloraz kategoryczny . Zostało to udowodnione w teorii niezmienników geometrycznych Mumforda.

Iloraz geometryczny jest właśnie dobrym ilorazem , którego włóknami są orbity grupy.

Przykłady

• Mapa $_$ _
• Jeśli L jest $iloraz$ wiązką liniową na algebraicznej odmianie G X , to dla punktów względem L ,

${\ Displaystyle X_ {(0)} ^ {s} \ do X_ {(0)} ^ {s} / G} jest$  

ilorazem geometrycznym.