kostki Sichermana

Porównanie tablic sum kostek normalnych (N) i Sichermana (S) . Jeśli zero jest dozwolone, normalne kości mają jeden wariant (N') , a kości Sichermana mają dwa (S' i S"). Każdy stół ma 1 dwójkę, 2 trójki, 3 czwórki itd.

Kości Sichermana / ˈ s ɪ k ər m ən / to para 6-ściennych kostek o niestandardowych liczbach - jedna o bokach 1, 2, 2, 3, 3, 4, a druga o bokach 1, 3, 4, 5, 6, 8. Są godne uwagi jako jedyna para 6-ściennych kości , które nie są normalnymi kostkami , zawierają tylko dodatnie liczby całkowite i mają taki sam rozkład prawdopodobieństwa dla sumy jak zwykłe kości. Zostały wynalezione w 1978 roku przez George'a Sichermana z Buffalo w stanie Nowy Jork.

Matematyka

Standardowym ćwiczeniem w elementarnej kombinatoryce jest obliczenie liczby sposobów wyrzucenia dowolnej wartości za pomocą pary uczciwych sześciościennych kostek (biorąc sumę dwóch rzutów). Tabela pokazuje liczbę takich sposobów przetaczania danej wartości: ${\ displaystyle n}$ :

N	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
# sposobów	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

Crazy dice to ćwiczenie matematyczne z zakresu elementarnej kombinatoryki , polegające na ponownym oznaczaniu ścianek pary sześciościennych kostek w celu odtworzenia tej samej częstotliwości sum, co w przypadku standardowego oznaczania. Kości Sichermana to szalone kości, które są ponownie oznaczone tylko dodatnimi liczbami całkowitymi . (Jeśli liczby całkowite nie muszą być dodatnie, aby uzyskać ten sam rozkład prawdopodobieństwa, liczbę na każdej ściance jednej kostki można zmniejszyć o k, a drugą zwiększyć o k , dla dowolnej liczby naturalnej k , dając nieskończenie wiele rozwiązań).

Poniższa tabela zawiera wszystkie możliwe sumy rzutów kośćmi standardowymi kośćmi i kośćmi Sichermana. Jedna kość Sichermana jest pokolorowana dla przejrzystości: 1 – 2 – 2 – 3 – 3 – 4 , a druga jest cała czarna, 1–3–4–5–6–8.

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Standardowe kości	1+1	1+2 2+1	1+3 2+2 3+1	1+4 2+3 3+2 4+1	1+5 2+4 3+3 4+2 5+1	1+6 2+5 3+4 4 +3 5+2 6+1	2+6 3+5 4+4 5+3 6+2	3+6 4+5 5+4 6+3	4+6 5+5 6+4	5+6 6+5	6+6
kostki Sichermana	1 +1	2 +1 2 +1	1 +3 3 +1 3 +1	1 +4 2 +3 2 +3 4 +1	1 +5 2 +4 2 +4 3 +3 3 +3	1 +6 2 +5 2 +5 3 +4 3 +4 4 +3	2 +6 2 +6 3 +5 3 +5 4 +4	1 +8 3 +6 3 +6 4 +5	2 +8 2 +8 4 +6	3 +8 3 +8	4 +8

Historia

Kostki Sichermana zostały odkryte przez George'a Sichermana z Buffalo w stanie Nowy Jork i pierwotnie opisane przez Martina Gardnera w artykule z 1978 roku w Scientific American .

Liczby można ułożyć tak, aby wszystkie pary liczb po przeciwnych stronach sumowały się do równych liczb, 5 dla pierwszej i 9 dla drugiej.

Później, w liście do Sichermana, Gardner wspomniał, że znany mu mag przewidział odkrycie Sichermana. Aby zapoznać się z uogólnieniami kości Sichermana na więcej niż dwie kości i kości niesześcienne, zobacz Broline (1979), Gallian i Rusin (1979), Brunson i Swift (1997/1998) oraz Fowler i Swift (1999).

Uzasadnienie matematyczne

Niech kanoniczną n -ścienną kostką będzie n -ścian , którego ściany są oznaczone liczbami całkowitymi [1,n] takimi, że prawdopodobieństwo wyrzucenia każdej liczby wynosi 1/ n . Rozważ kanoniczną kostkę sześcienną (sześciokątną). Funkcja generująca rzuty taką kostką to ${\ Displaystyle x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + x^{5}+x^{6}}$ . Iloczyn tego wielomianu sam w sobie daje funkcję generującą rzuty parą kostek: ${\ Displaystyle x ^ {2} + 2x ^ {3} + 3x ^ {4} + 4x ^ {5} + 5x ^ {6} + 6x ^ {7} + 5x ^ {8} + 4x ^ {9} +3x^{10}+2x^{11}+x^{12}}$ . Wiemy to z teorii wielomianów cyklotomicznych

${\ Displaystyle x ^ {n} -1 = \ prod _ {d \, \ mid \, n} \ Phi _ {d} (x).}$

gdzie d mieści się w dzielnikach n i jest d -tym wielomianem cyklotomicznym i $x)}$ (

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {n} -1} {x-1}} = \ suma _{i=0}^{n-1}x^{i}=1+x+\cdots +x^{n-1}}$ .

Dlatego wyprowadzamy funkcję generującą pojedynczej n -bocznej kanonicznej kostki jako bytu

${\ Displaystyle x + x ^ {2} + \ cdots + x ^ {n} = {\ Frac {x} x-1}}\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x)}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {1} (x) = x-1}$ i jest anulowane. Tak więc rozkład na czynniki funkcji generującej sześciobocznej kostki kanonicznej jest

${\ Displaystyle x \, \ Phi _ {2 }(x)\,\Phi _{3}(x)\,\Phi _{6}(x)=x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\; (x^{2}-x+1)}$

Funkcja generująca rzuty dwiema kośćmi jest iloczynem dwóch kopii każdego z tych czynników. Jak możemy je podzielić, aby utworzyć dwie legalne kości, których oczka nie są ułożone tradycyjnie? Tutaj legalne oznacza, że ​​współczynniki są nieujemne i sumują się do sześciu, tak że każda kostka ma sześć boków, a każda ściana ma co najmniej jedno pole. (Oznacza to, że funkcją generującą każdej matrycy musi być wielomian p(x) o dodatnich współczynnikach oraz p(0) = 0 i p(1) = 6.) Istnieje tylko jeden taki podział:

${\ Displaystyle x \; (x + 1) \; (x ^ {2} + x + 1 )=x+2x^{2}+2x^{3}+x^{4}}$

I

${\ Displaystyle x \; (x + 1 )\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)^{2}=x+x^{3}+x^{4}+x^{5 }+x^{6}+x^{8}}$

Daje nam to rozkład plamek na ściankach pary kostek Sichermana jako {1,2,2,3,3,4} i {1,3,4,5,6,8}, jak powyżej.

Technikę tę można rozszerzyć na kości o dowolnej liczbie boków.

•   Broline, D. (1979), „Przenumerowanie ścian kości”, Mathematics Magazine , Mathematics Magazine, tom. 52, nr 5, 52 (5): 312–315, doi : 10.2307/2689786 , JSTOR 2689786

• Brunson, BW; Swift, Randall J. (1998), „równie prawdopodobne sumy”, Mathematical Spectrum , 30 (2): 34–36

• Fowler, Brian C.; Swift, Randall J. (1999), „Ponowne oznaczanie kości”, College Mathematics Journal , The College Mathematics Journal, tom. 30, nr 3, 30   (3): 204–208, doi : 10.2307/2687599 , JSTOR 2687599

•   Gallian, JA; Rusin, DJ (1979), „Wielomiany cyklotomiczne i niestandardowe kości”, Matematyka dyskretna , 27 (3): 245–259, doi : 10,1016 / 0012-365X (79) 90161-4 , MR 0541471

• Gardner, Martin (1978), „Gry matematyczne”, Scientific American , 238 (2): 19–32, doi : 10.1038/scientificamerican0278-19

•   Newman, Donald J. (1998). Analityczna teoria liczb . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98308-2 .

Zobacz też

• Kalendarz z dwoma kostkami

Linki zewnętrzne

• Strona informacyjna Mathworld

Ten artykuł zawiera materiał z Crazy dice na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .