tożsamość Hua

Aby zapoznać się z tożsamością Hua w algebrach Jordana , zobacz tożsamość Hua (algebra Jordana) .

W algebrze tożsamość Hua nazwana na cześć Hua Luogenga stwierdza, że ​​dla dowolnych elementów a , b w pierścieniu podziału ,

$${\ Displaystyle a- \ lewo (a ^ {- 1} + \ lewo (b ^ {- 1} -a \ prawo)^{-1}\prawo)^{-1}=aba}$$

ilekroć ${\ Displaystyle ab \ neq 0,1}$ . Zastąpienie ${\ displaystyle b}$ przez ${\ displaystyle -b ^ {- 1}}$ daje inną równoważną formę tożsamości: b {\ displaystyle b}

$${\ Displaystyle \ lewo (a + ab ^ {-1} a \ prawo) ^ {-1} + (a + b) ^ {-1} = a ^ {-1}.}$$

Twierdzenie Hua

Tożsamość jest używana w dowodzie twierdzenia Hua , które stwierdza, że ​​jeśli jest funkcją między pierścieniami podziału spełniającymi ${\ displaystyle \ sigma}$

$${\ Displaystyle \ sigma (a + b) = \ sigma (a)+\sigma (b),\quad \sigma (1)=1,\quad \sigma (a^{-1})=\sigma (a)^{-1},}$$

wtedy jest homomorfizmem lub antyhomomorfizmem . ${\ displaystyle \ sigma}$ Twierdzenie to jest połączone z fundamentalnym twierdzeniem geometrii rzutowej .

Dowód tożsamości

Jeden ma

$${\ Displaystyle (a-aba) \ lewo (a ^ {-1} + \ lewo (b ^ {-1} -a \ prawo) ^ {-1} \ prawo) = 1-ab + ab \ lewo (b ^{-1}-a\prawo)\lewo(b^{-1}-a\prawo)^{-1}=1.}$$

Dowód jest ważny w każdym pierścieniu, o ile są jednostkami za $}$ , ab-

•    Cohn, Paul M. (2003). Dalsza algebra i zastosowania (wyd. Poprawiona algebry, wyd. 2). Londyn: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6 . Zbl 1006.00001 .
•    Jacobson, Nathan (2009). Podstawowa algebra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1 . OCLC 294885194 .