Algebra planarna

W matematyce algebry planarne 1 po raz pierwszy _pojawiły się w pracy Vaughana Jonesa na temat standardowego niezmiennika podczynnika II . Zapewniają również odpowiednie ramy algebraiczne dla wielu niezmienników węzłów (w szczególności wielomianu Jonesa ) i zostały użyte do opisu właściwości homologii Khovanova w odniesieniu do składu splątania . Każda algebra planarna podczynnikowa zapewnia rodzinę unitarnych reprezentacji grup Thompsona . Dowolną grupę skończoną (i uogólnienie kwantowe) można zakodować jako algebrę planarną.

Definicja

Ideą algebry planarnej jest schematyczna aksjomatyzacja standardowego niezmiennika .

Planarny splot

(Zacieniowana) planarna plątanina to dane o skończonej liczbie $}$ wejściowych , jednym dysku wyjściowym , nieprzecinających się ciągach dających parzystą liczbę, powiedzmy interwały na dysk i jeden - ${\ displaystyle \ gwiazda$ oznaczony interwał na dysk.

Tutaj znak jest pokazany $jako$ . Na każdym dysku wejściowym jest on umieszczany pomiędzy dwoma sąsiednimi ciągami wychodzącymi, a na dysku wyjściowym jest umieszczany pomiędzy dwoma sąsiadującymi ciągami przychodzącymi. Splot planarny jest zdefiniowany aż do izotopii .

Kompozycja

Aby skomponować dwa płaskie sploty, włóż dysk wyjściowy jednego do wejścia drugiego, mając tyle samo przedziałów, takie samo cieniowanie oznaczonych przedziałów i tak, aby zaznaczone przedziały $pokrywały$ się Na koniec usuwamy pokrywające się okręgi. Należy zauważyć, że dwa płaskie sploty mogą mieć zero, jeden lub kilka możliwych składów.

Operada planarna

Operada planarna to zbiór wszystkich splotów planarnych (aż do izomorfizmu) o takich kompozycjach.

Algebra planarna

Algebra planarna jest reprezentacją operady planarnej; dokładniej, jest to rodzina przestrzeni wektorowych ${\ Displaystyle ({\ mathcal {P}} _ {n, \ pm}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$$}$ zwane $-box$ , na które działa planarna operada, tj. Dla dowolnej plątaniny (z jednym dyskiem wyjściowym i dyskami wejściowymi z ${\ displaystyle n$$1$${\ displaystyle 2n_ {1}, \ kropek, 2n_ {r}}$ ) istnieje mapa wieloliniowa

${\ Displaystyle Z_ {T}: {\ mathcal {P}} _ {n_ {1}, \ epsilon _ {1 }}\otimes \cdots \otimes {\mathcal {P}}_{n_{r},\epsilon _{r}}\to {\mathcal {P}}_{n_{0},\epsilon _{0 }}}$

z $\ epsilon _ {i} \ in \ {+, - \}}$$zaznaczonych$ zgodnie z cieniowaniem przedziałów i tych map (również zwane funkcjami podziału) uwzględniają skład splotu w taki sposób, że wszystkie diagramy jak poniżej są komutowane.

Przykłady

Sploty planarne

Rodzina przestrzeni wektorowych ${\ Displaystyle ({\ mathcal {T}} _ {n, \ pm}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ generowanych przez sploty planarne mając $wyjściowym$ na dysku i biały (lub czarny) $przedział$ przyznaje planarną strukturę algebry.

Temperley-Lieb

Płaska algebra Temperleya-Lieba jest generowana przez sploty planarne bez dysku wejściowego; ${\ displaystyle {\ mathcal {TL}} (\ delta)}$ jego przestrzeń -box $jest$ generowana przez $\ delta)}$

zamknięty ciąg jest zastępowany mnożeniem $.$

$Należy$ zauważyć, że wymiar to liczba katalońska. $}} _ {n, \$$displaystyle {\ Frac {1} {n+1}} {\ binom {2n} {n}}$ } Ta planarna algebra koduje pojęcie algebry Temperleya-Lieba .

Algebra Hopfa

Półprosta i kosemimple algebra Hopfa nad algebraicznie zamkniętym ciałem jest kodowana w planarnej algebrze zdefiniowanej przez generatory i relacje i „odpowiada” (aż do izomorfizmu) połączonej, nieredukowalnej, sferycznej, niezdegenerowanej algebrze planarnej o niezerowym module ${ \displaystyle \delta }$ i głębokości drugiej.

Zauważ, że połączone oznacza ${\ Displaystyle \ dim ({\ mathcal {P}} _ {0, \ pm}) = 1}$ (jak do oceny poniżej), nieredukowalne oznacza ${\ Displaystyle \ dim ({\ mathcal {P}} _ {1, +}) = 1}$ , kulisty jest zdefiniowany poniżej, a niezdegenerowany oznacza, że ​​ślady (zdefiniowane poniżej) nie są- zdegenerowany.

Algebra planarna podczynnikowa

Definicja

Podczynnik płaska algebra jest płaska ${\ Displaystyle \ gwiazda}$ -algebra ${\ Displaystyle ({\ mathcal {P}} _ {n, \ pm}) _ {n \ in \ mathbb {N} }},$ czyli:

(1) Skończenie-wymiarowe: ${\ Displaystyle \ dim ({\ mathcal {P}} _ {n, \ pm}) <\ infty}$

(2) Ocenialne: ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {0, \ pm} = \ mathbb {C}}$

(3) Sferyczny: ${\ displaystyle tr: = tr_ { r}=tr_{l}}$

(4) Dodatni: ${\ displaystyle \ langle a \ vert b \ rangle = tr (b ^ {\ gwiazda} a)}$ definiuje iloczyn wewnętrzny.

Należy zauważyć, że przy (2) i (3) dowolny zamknięty ciąg (zacieniony lub nie) liczy się dla tej $samej$ .

Akcja splotu zajmuje się łączeniem poprzez:

${\ Displaystyle Z_ {T} (a_ {1} \ otimes a_ { 2}\otimes \cdots \otimes a_{r})^{\star }=Z_{T^{\star }}(a_{1}^{\star }\otimes a_{2}^{\star }\ otimes \cdots \otimes a_{r}^{\star })}$

z ${ ja}}$ odbiciem $\$$za$$displaystyle a_ {i} ^ {\ gwiazda}$ { a_ w ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {n_ {i}, \ epsilon _ {i}}$ }

Przykłady i wyniki

Twierdzenie bez ducha $\$ Algebra planarna ma ducha (tj. elementu $\ displaystyle \lange a\vert a\rangle <0}$$a}$ | ) wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle \ delta \ in \ {2 \ cos (\ pi / n) | n = 3,4,5, ... \} \ Puchar [2, + \ infty]}$

Dla jak $powyżej$ , niech będzie ideałem zerowym (wygenerowanym przez elementy $za$$\ displaystyle a}$ z $a\vert a\rangle =0}$${\ displaystyle$ ). $.$ iloraz jest podczynnikową algebrą planarną, zwaną Jonesa ${\ Displaystyle {\ mathcal {TLJ}} (\ delta)}$ . Dowolna podczynnikowa algebra planarna ze stałą uznaje ${\ mathcal {TLJ}} (\ delta)}$$displaystyle$ jako podalgebra planarna

Algebra planarna $podczynnikową$ algebrą planarną wtedy i tylko standardowym ekstremalnego podczynnika ${\ Displaystyle N \ subseteq M}$ indeksu ${\ Displaystyle [M: N] = \ delta ^ {2}}$ , z ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {n, +} = N'\ czapka M_ {n-1}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {P }}_{n,-}=M'\cap M_{n}}$ . Skończona głębokość lub nieredukowalny $cap M$ ekstremalny $\$ na N ' )

Istnieje planarna algebra podczynnikowa kodująca dowolną skończoną grupę (i bardziej ogólnie, dowolny skończenie wymiarowy $relacje$ -algebra , algebrą Kaca), zdefiniowaną przez generatory i . A (skończenie wymiarowa) algebra Kaca „odpowiada” (aż do izomorfizmu) nieredukowalnej planarnej algebrze podczynnikowej o głębokości drugiej.

Podczynnikowa algebra planarna związana z włączeniem skończonych grup nie zawsze pamięta włączenie (bez rdzenia).

Podczynnik Bischa-Jonesa algebra planarna (czasami nazywana Fuss-katalońskim) ${\ Displaystyle {\ mathcal {BJ}} (\ delta _ {1}, \ delta _ {2})}$ zdefiniowany jak dla $\ mathcal {TLJ}} (\ delta)},$$i$ { ale dopuszczając dwa kolory sznurka z ich własną ${\ displaystyle \ delta _ {2}}$ z ${\ displaystyle \ delta _ {i}}$ jak powyżej. Jest to planarna podalgebra dowolnego podczynnika algebry planarnej z półproduktem, tak że ${\ displaystyle [K: N] = \ delta _ {1} ^ {2}}$ i ${\ Displaystyle [M: K] = \ delta _ {2} ^ {2}}$ .

Pierwsza planarna algebra podczynnika skończonej głębokości o $indeksie$ podczynnika Haagerupa . Ma indeks ${\ Displaystyle (5 + {\ sqrt {13}}) / 2 \ sim 4,303$ }

Podczynnikowe algebry planarne są całkowicie klasyfikowane według indeksu co najwyżej $i$ dalej. Klasyfikacja ta została zapoczątkowana przez Uffe Haagerupa . Wykorzystuje (między innymi) listę możliwych głównych grafów wraz z twierdzeniem o osadzaniu i algorytmem meduzy.

Podczynnik algebra planarna pamięta podczynnik (tj. jego standardowy niezmiennik jest kompletny), jeśli jest możliwy. Dopuszczalny jest nadskończony podczynnik o skończonej głębokości.

O przypadku niemożliwym do sklasyfikowania: istnieje wiele nieredukowalnych nadskończonych podczynników indeksu 6, z których wszystkie mają ten sam niezmiennik standardowy.

Transformata Fouriera i biprojekcje

Niech $podczynnikiem indeksu$ i odpowiadającym mu $.$ Załóżmy, że jest nieredukowalne (tj. $=$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1, +} = N$ . Niech $być$ pośrednim podczynnikiem. Niech projekcja Jonesa ${\ Displaystyle e_ {K} ^ {M}: L ^ {2} (M) \ do L ^ {2} (K)}$ . Zauważ, że ${\ Displaystyle e_ {K} ^ {M} \ in {\ mathcal {P}} _ {2, +}$ } Niech ${\ displaystyle id: = e_ {M} ^ {M}}$ i ${\ displaystyle e_ {1}: = e_ {N} ^ {M}$ }

Zauważ, że ${\ Displaystyle tr (e_ {1}) = \ delta ^ {-2} = [M: N] ^ {-1}}$ i ${\ Displaystyle tr (id) = 1}$ .

Niech bijektywna mapa liniowa $mp}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}: {\ mathcal {P}} _ {2, \ pm} \ do {\ mathcal {P}} _ {$ 2 $obrotem$ będzie transformatą Fouriera , zwaną także $;$ (zewnętrznej gwiazdy) lub i $a$ _ _ _ ${\ displaystyle a}$ i ${\ displaystyle b$ }

Należy zauważyć, że słowo koprodukt jest zdrobnieniem od iloczynu splotu . Jest to operacja binarna.

Współprodukt spełnia równość ${\ Displaystyle a * b = {\ mathcal {F}} ({\ mathcal {F}} ^ {-1} (a) {\ mathcal {F}} ^ {- 1} (b)).}$

$_$$dodatnich$ operatorów współprodukt również można to zobaczyć schematycznie:

Niech ${\ Displaystyle {\ overline {a}}: = {\ mathcal {F}} ({\ mathcal {F}} (a))} będzie$ przeciwstawną a $\ displaystyle a} ($$)$ także . Mapa $odpowiada$ czterem $kliknięciom$ gwiazdy, więc jest to mapa tożsamości ${\ displaystyle {\ overline {\ overline {a}}} = a}$ .

W przypadku algebry Kaca przeciwną wartością jest dokładnie antypoda, która dla skończonej grupy odpowiada odwrotności.

Dwuprojekcja to projekcja, w której $}} _ {2, +} \ setminus \ {0$$} \mathcal {F}}(b)}$ P } wielokrotność rzutu. Zauważ, że $i ja re = mi M$ M $}$ są biprojekcjami; To może być rozumiane w następujący sposób:

Rzut ${\ displaystyle b} M}$ dwuprojekcją, jeśli jest to projekcja Jonesa $N$ displaystyle $b$ , jeśli ${\ Displaystyle e_ {1} \ równoważnik b = {\ overline {b}} = \ lambda b * b, {\ tekst {z}} \ lambda ^ {- 1} = \ delta tr (b)}$ .

Korespondencja Galois : w przypadku algebry Kaca biprojekcje wynoszą 1-1 z lewymi podalgebrami współidealnymi, które dla skończonej grupy odpowiadają podgrupom.

Dla dowolnej nieredukowalnej algebry planarnej podczynnikowej zbiór biprojekcji jest skończoną siecią w postaci ${\ displaystyle [e_ {1}, id]}$ jak dla przedziału skończonych grup ${\ displaystyle [H, G]}$ .

Korzystając z biprojekcji, możemy utworzyć algebry planarne z podczynnikiem pośrednim.

Zasada nieoznaczoności rozciąga się na każdą nieredukowalną podczynnikową algebrę płaską: ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}$ }

Niech ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (x) = Tr (R (x))}$ z $Displaystyle R (x)}$ \ projekcja zakresu $x {\ displaystyle x$ nieznormalizowanego śladu (tj. $displaystyle$$Tr = \ delta ^ {n} tr}$ na ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {n, \ pm}})$ .

$_$ zasada : _ Następnie

${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (x) {\ mathcal {S}} ({\ mathcal {F}} (x)) \ geq \ delta ^{2}}$

Zakładając $, że$ i $są$$dwuprojekcją$ zachodzi wtedy i tylko wtedy . Mówiąc bardziej ogólnie, równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $dwuprojekcji$ bi -przesunięciem .