Podczynnik

W teorii algebr von Neumanna $.$ czynnika jest podalgebrą, która jest czynnikiem $i$ Teoria subczynników doprowadziła do odkrycia wielomianu Jonesa w teorii węzłów .

Indeks podczynnika

Zwykle przyjmuje $się,$$że$ to czynnik typu skończony ślad. W tym przypadku każdy moduł przestrzenny Hilberta $nieujemną$$który$ dim $\infty}$ liczbą rzeczywistą lub ${$ . Indeks _ ${\ Displaystyle [M: N]}$$jest$ zdefiniowany jako ${\ Displaystyle \ dim _ {N} (L ^ {2} (M) )}$ . Tutaj $jest$ reprezentacją $uzyskaną$ z GNS $M$ . _

Twierdzenie o indeksie Jonesa

$,$ że jeśli $)$ czynnikiem ${\ Displaystyle [M: N]}$ typu $,$ to jest jedną z postaci ${\ Displaystyle 4cos (\ pi / n) ^ {2}}$ dla ${\ displaystyle n = 3,4,5,...}$ lub jest co najmniej ${\ displaystyle 4}$ . Wszystkie te wartości występują.

${\ Displaystyle 4 \ cos (\ pi / n) ^ {2}}$ sałata to ${\ Displaystyle 1,2, (3 + {\ sqrt {5}}) / 2 = 2,618..., 3,3,247...,...}$

Podstawowa konstrukcja

${\ displaystyle M}$ że jest czynnikiem podrzędnym $i$ że oba są skończonymi algebrami von Neumanna. Konstrukcja GNS tworzy przestrzeń Hilberta, na którą działa wektor cykliczny. $}$$L ^ {2} (M$ \ $Displaystyle$ Niech ${\ Displaystyle e_ {N}}$ będzie rzutem na podprzestrzeń ${\ Displaystyle N \ Omega}$ . Następnie ${\ Displaystyle$ N $e_ {N}}$ generują nową algebrę von Neumanna działającą na ${\ Displaystyle L ^ {2} (M)}$$\ Displaystyle \ langle M, e_ {N} \ rangle$ , zawierający jako czynnik podrzędny ${\ Displaystyle M} .$ Przejście z włączenia do N $}$$displaystyle N$ do włączenia do $rangle}$$,$ nazywa się podstawową .

Jeśli oba czynniki $displaystyle {\ rm {II}} _ {1}}$ czynnikami typu, to $displaystyle$$\$ 1 i $N}$ ma skończony indeks w ${ \ Displaystyle M}$ wtedy jest również typu $} _ {1}}$${$ . Ponadto inkluzje mają ten sam indeks: ${\ Displaystyle [M: N] = [\ langle M, e_ {N} \ rangle: M],}$ i ${\ Displaystyle tr _ {\ langle M, e_ {N} \ rangle} (e_ {N}) = [M: N] ^ {- 1}}$ .

Wieża Jonesa

$inkluzją$ że jest $skończonym$ o Powtarzając podstawową konstrukcję, otrzymujemy wieżę inkluzji

${\ Displaystyle M_ {-1} \ podzbiór M_ {0} \ podzbiór M_ {1} \ podzbiór M_ {2} \ podzbiór \ cdots}$

gdzie ${\ Displaystyle M_ {-1} = N}$ i ${\ Displaystyle M_ {0} = M}$ i każdy ${\ displaystyle M_{n+1}=\langle M_{n},e_{n+1}\rangle }$ jest generowany przez poprzednią algebrę i projekcję. Połączenie wszystkich tych algebr ma stan śledzenia , którego ograniczenie do każdego jest ${\ displaystyle tr}$${\ Displaystyle M_ {n}}$ jest stanem śledzenia, więc zamknięcie związku jest innego typu ja ${\ displaystyle {\ rm {II}} _ {1}}$ algebry von Neumanna $styl wyświetlania M_{\infty}}$${$ .

Algebra ${\ Displaystyle e_ {1}, e_ {2}, e_ {3}, ...,}$ sekwencję $mi$ które spełniają relacje Temperleya-Lieba przy parametrze ${\ Displaystyle \ lambda = [M :N]^{-1}}$ . Co więcej, algebra wygenerowana ${\ Displaystyle e_ {n}}$ to -algebra, w której mi $Displaystyle e_ {n}}$$samosprzężone$ i takie t ${\ Displaystyle tr (xe_ {n}) = \ lambda tr (x)}$$styl wyświetlania od e_{1}}$ jest algebrze generowanej przez $\ Displaystyle x}$${$ do ${\ displaystyle e_ {n-1}}$ . Ilekroć te dodatkowe warunki są spełnione, algebra nazywana jest algebrą Temperly'ego – Lieba – Jonesa przy parametrze ${\ displaystyle \ lambda}$ . Można wykazać, że jest unikalny aż $-izomorfizmu$ . Istnieje tylko wtedy, gdy przyjmuje te specjalne wartości ${\ Displaystyle 4cos (\ pi / n) ^$${2}$ dla ${\ displaystyle n = 3,4,5,...}$ lub wartości większe niż ${\ displaystyle 4}$ .

Niezmiennik standardowy

$inkluzją$ że jest $skończonym$ o Niech wyższe względne komutanty będą ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {n, +} = N' \ cap M_ {n-1}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {n, -} = M '\ cap M_ {n}}$ .

Standardowym niezmiennikiem podczynnika jest następująca siatka: ${\ displaystyle N \ subset M}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C} = {\ mathcal {P}} _ {0, +} \ podzbiór {\ mathcal {P}}_{1,+}\subset {\mathcal {P}}_{2,+}\subset \cdots \subset {\mathcal {P}}_{n,+}\subset \cdots }$

${\ Displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ filiżanka \ \ \ \ \ \ \ \ \ filiżanka \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cup }$

${\ Displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ mathbb {C} \ = {\ mathcal {P}} _ { 0,-}\subset {\mathcal {P}}_{1,-}\subset \cdots \subset {\mathcal {P}}_{n-1,-}\subset \cdots }$

co jest całkowitym niezmiennikiem w możliwym przypadku. Diagramową aksjomatyzację niezmiennika standardowego daje pojęcie algebry planarnej .

Grafy główne

, że podczynnik indeksu skończonego jest nieredukowalny , jeśli spełniony jest jeden z następujących równoważnych warunków: ${\ displaystyle N \ subset M}$

• ${\ Displaystyle L ^ {2} (M)}$ jest nieredukowalny jako bimoduł ${\ Displaystyle (N, M)}$ ;
• względny komutant to ${\ Displaystyle N' \ cap M}$ jest ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ .

W tym przypadku ${\ Displaystyle (M, N)}$ bimoduł, jak $M$ jego koniugat $\ Displaystyle$$L ^ {2}$ bimoduł ${\ Displaystyle X ^ {\ gwiazda}}$ . Względny iloczyn tensorowy, opisany w Jones (1983) i często nazywany fuzją Connesa po wcześniejszej definicji algebr ogólnych von Neumanna Alaina Connesa , można użyć do zdefiniowania nowych bimodułów ponad ${\ Displaystyle (N, M)}$ , ${\ Displaystyle (M, N)}$ , ${\ Displaystyle (M, M)}$ i ${\ Displaystyle (N, N)}$ poprzez rozłożenie następujących iloczynów tensorowych na nieredukowalne składniki:

${\ Displaystyle X \ boxtimes X ^ {\ gwiazda} \ boxtimes \ cdots \ boxtimes X, \, \, X ^ {\ gwiazda} \ boxtimes X \ boxtimes \ cdots \ boxtimes X ^ {\ gwiazda}, \, \, X^{\star }\boxtimes X\boxtimes \cdots \boxtimes X,\,\,X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots \boxtimes X^{\star }.}$

$}$ nieredukowalne bimoduły i $Displaystyle (M,$ ) tworzą wierzchołki głównego wykresu wykresu dwudzielnego $po$ tych wykresów opisują sposób, w jaki nieredukowalny bimoduł rozkłada się po naprężeniu $z$ stronie . Podwójna zasada $}$ , M ) $,$

Ponieważ każdy bimoduł odpowiada dojeżdżającym działaniom dwóch czynników, każdy czynnik jest zawarty w komutatorze drugiego i dlatego definiuje podczynnik. Gdy bimoduł jest nieredukowalny, jego wymiar definiuje się jako pierwiastek kwadratowy indeksu tego podczynnika. Wymiar jest rozszerzony addytywnie do bezpośrednich sum nieredukowalnych bimodułów. Jest multiplikatywny w odniesieniu do fuzji Connesa.

Mówimy, że podczynnik ma skończoną głębokość , jeśli graf główny i jego dualny są skończone, tj. jeśli w tych dekompozycjach występuje tylko skończenie wiele nierozkładalnych bimodułów. W tym przypadku, jeśli i są hiperskończone, Sorin Popa $\ podzbiór M}$ , że inkluzja jest izomorficzna z modelem. $N$$Displaystyle$

${\ Displaystyle (\ mathbb {C} \ otimes \ operatorname {Koniec} \, X ^ {\ gwiazda} \ boxtimes X \ boxtimes X ^ {\ gwiazda} \ boxtimes \ cdots) ^ {\ pierwsza \ pierwsza} \ podzbiór ( \mathrm {koniec} \,X\boxtimes X^{\star }\boxtimes X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots )^{\prime \prime },}$

gdzie $czynniki$ uzyskiwane z konstrukcji GNS w odniesieniu do śladu

Wielomiany węzłów

Algebra generowana przez elementy z powyższymi relacjami nazywana jest $algebrą$ Temperleya – Jest to iloraz algebry grupowej grupy plecionek , więc reprezentacje algebry Temperleya-Lieba dają reprezentacje grupy warkoczy, które z kolei często dają niezmienniki dla węzłów.

• Jones, Vaughan FR (1983), „Indeks czynników podrzędnych” , Inventiones Mathematicae , 72 : 1–25, doi : 10.1007 / BF01389127
•   Wenzl, HG (1988), „Algebry Heckego typu An _i subczynników” , Invent. Matematyka , 92 (2): 349–383, doi : 10.1007/BF01404457 , MR 0696688
•    Jones, Vaughan FR ; Sunder, Viakalathur Shankar (1997). Wprowadzenie do podczynników . Seria notatek z wykładów London Mathematical Society. Tom. 234. Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511566219 . ISBN 0-521-58420-5 . MR 1473221 .
•   Teoria algebr operatorów III autorstwa M. Takesaki ISBN 3-540-42913-1
• Wassermann, Antoni . „Operatorzy w przestrzeni Hilberta” .