Ameba (matematyka)

Aby zapoznać się z amebami w teorii mnogości, zobacz kolejność ameby .

P. ${\ Displaystyle P (z, w) = w-2z-1.$

P. ${2} + 5zw + w ^ {3} + 1.}$ Zwróć uwagę na " wakuolę " pośrodku ameby.

Ameba ${\ Displaystyle P (z, w) = 1 + z + z ^ {2} + z ^ {3} + z ^ {2} w ^ {3} + 10zw + 12z ^ {2} w + 10z ^ {2 }w^{2}.}$

P. $\ Displaystyle P(z,w)=50z^{3}+83z^{2}w+24zw^{2}+w^{3}+392z^{2}+414zw+50w^{2}-28z+59w- 100.}$

Punkty w amebie ${\ Displaystyle P (x, y, z) = x + y + z-1.}$ Zauważ, że ameba ma w rzeczywistości 3 -wymiarowy, a nie powierzchniowy (nie do końca wynika to z obrazu).

W analizie zespolonej , gałęzi matematyki , ameba jest zbiorem powiązanym z wielomianem w jednej lub kilku zmiennych zespolonych . Ameby mają zastosowanie w geometrii algebraicznej , zwłaszcza w geometrii tropikalnej .

Definicja

Rozważ funkcję

${\ Displaystyle \ operatorname {Log}: {\ duży (}{\ mathbb {C}} \ setminus \ {0 \} {\ duży)} ^ {n} \ do \mathbb {R} ^{n}}$

${\ Displaystyle z = (z_ {1}, z_ {2}, \ kropki, z_ {$ n } ) } nie -zero liczb zespolonych o wartościach w przestrzeni euklidesowej ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$ podane wzorem

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Log} (z_ {1}, z_ {2}, \ kropki, z_ {n}) = {\ duży (} \ log | z_ {1} |, \ log | z_ {2} | ,\kropki ,\log |z_{n}|{\duży )}.}$

Tutaj log oznacza logarytm naturalny . Jeśli p ( z ) $jest$ wielomianem w $zespolonych$ , ameba jest definiowana jako obraz zbioru zer p Zaloguj się, więc

${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {p} = \ lewo \ {\ nazwa operatora {Log} (z): z \ w {\ duży (} \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \} {\ duży )}^{n},p(z)=0\right\}.}$

Ameby zostały wprowadzone w 1994 roku w książce Gelfanda , Kapranova i Zelevinsky'ego .

Nieruchomości

• Każda ameba jest zbiorem zamkniętym .
• Każdy połączony składnik dopełnienia jest wypukły ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus {\ mathcal {A}} _ {p$ } }
• Powierzchnia ameby nieidentycznie zerowego wielomianu w dwóch zmiennych zespolonych jest skończona.
• Dwuwymiarowa ameba ma wiele „macek”, które są nieskończenie długie i zwężają się wykładniczo w kierunku nieskończoności.

Funkcja Ronkina

Przydatnym narzędziem w badaniu ameby jest funkcja Ronkina . Dla p ( z ), wielomianu w n zmiennych zespolonych, definiuje się funkcję Ronkina

${\ Displaystyle N_ {p}: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$

według formuły

${\ Displaystyle N_ {p} (x) = {\ Frac {1} {(2 \ pi ja) ^ {n}}} \int _{\operatorname {Log} ^{-1}(x)}\log |p(z)|\,{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\wedge {\frac { dz_{2}}{z_{2}}}\klin \cdots \klin {\frac {dz_{n}}{z_{n}}},}$

gdzie ${\ displaystyle x}$ oznacza ${\ Displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {n}).}$ Równoważnie ${\ Displaystyle N_ {p}}$ jest podane przez całkę

${\ Displaystyle N_ {p} (x) = {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int _ {[0,2 \ pi ]^{n}}\log |p(z)|\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n},}$

Gdzie

${\ Displaystyle z = \ lewo (e ^ {x_ {1} + i \ teta _ {1}}, e ^ {x_ {2} + i \ teta _ {2}}, \ kropki, e ^ {x_ { n}+i\theta _{n}}\prawo).}$

Funkcja Ronkina jest wypukła i afiniczna na każdym połączonym składniku dopełnienia ameby ${\ Displaystyle p (z)}$ .

Jako przykład, funkcja Ronkina jednomianu

${\ Displaystyle p (z) = az_ {1} ^ {k_ {1}} z_ {2} ^ {k_ {2}} \ kropki z_{n}^{k_{n}}}$

gdzie $\ neq 0}$ a

${\ Displaystyle N_ {p} (x) = \ log | a | + k_ {1} x_ {1} + k_ {2} x_ {2} + \ cdots + k_ {n} x_ {n}.}$

•    Itenberg, Ilia; Michałkin, Grigorij; Shustin, Eugenii (2007). Tropikalna geometria algebraiczna . Seminaria w Oberwolfach. Tom. 35. Bazylea: Birkäuser. ISBN 978-3-7643-8309-1 . Zbl 1162.14300 .
• Viro, Oleg (2002), „Co to jest… ameba?” (PDF) , Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 49 (8): 916–917 .

Dalsza lektura

•   Theobald, Thorsten (2002). „Obliczanie ameby” . Do potęgi. matematyka _ 11 (4): 513–526. doi : 10.1080/10586458.2002.10504703 . Zbl 1100.14048 .

Linki zewnętrzne

• Ameby odmian algebraicznych