Artinowski ideał

W algebrze abstrakcyjnej ideał Artina , nazwany na cześć Emila Artina , spotyka się w teorii pierścieni , w szczególności z pierścieniami wielomianowymi .

Biorąc pod uwagę pierścień wielomianowy R = k [ X ₁ , ... X _n ], gdzie k jest pewnym ciałem , ideał Artina jest ideałem I w R , dla którego wymiar Krulla pierścienia ilorazowego R / I wynosi 0. Również mniej dokładnie, można myśleć o ideale Artinowskim jako takim, który ma co najmniej każdy nieokreślony w R podniesiony do potęgi większej niż 0 jako generator.

Jeśli ideał nie jest artinowski, można przyjąć jego domknięcie artinowskie w następujący sposób. Najpierw weź najmniejszą wspólną wielokrotność generatorów ideału. Po drugie, dodaj do zespołu prądotwórczego ideału każdy nieokreślony LCM z jego mocą zwiększoną o 1, jeśli moc jest różna od 0 na początek. Przykład znajduje się poniżej.

Przykłady

Niech ${\ Displaystyle R = k [x, y, z]}$ i niech ${\ Displaystyle I = (x ^ {2}, y ^ {5}, z ^ {4}), \; J = (x ^ {3}, y ^ {2}, z ^ {6}, x ^ {2} yz ^ {4}, yz ^ {3})} i$ K. $\ Displaystyle \ Displaystyle { K=(x^{3},y^{4},x^{2}z^{7})}}$ . Tutaj i ${\ displaystyle \ displaystyle {$$}}$$}}$ ideałami Artina, ale nie jest tak, ponieważ w $}}$$displaystyle \ displaystyle {K$ , nieokreślony nie pojawia się sam dla potęgi jako $.$

Aby wziąć Artinowskie zamknięcie , znajdujemy LCM generatorów ${\ displaystyle \ displaystyle {K}}$ , $}$$displaystyle {\ hat {K}$ , czyli ${\ Displaystyle \ Displaystyle {x ^ {3} y ^ {4} z ^ {7}}}$ . $displaystyle \$ dodajemy generatory ${ \displaystyle \displaystyle {K}}$${z ^ {8}}$ do i zmniejsz. ${8},x^{2}z^{7})},$${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ kapelusz {K}} = (x ^ {3}, y ^ {4}, z$ ^ który jest artyński.

• Saenz-de-Cabezón Irigaray, Eduardo (2008). „Kombinatoryczna Homologia Koszula, obliczenia i zastosowania”. ar Xiv : 0803.0421 .