Automorfizmy grup symetrycznych i przemiennych

W teorii grup , gałęzi matematyki , automorfizmy i automorfizmy zewnętrzne grup symetrycznych i grup naprzemiennych są zarówno standardowymi przykładami tych automorfizmów, jak i przedmiotami badań same w sobie, zwłaszcza wyjątkowy automorfizm zewnętrzny S ₆ , grupy symetrycznej na 6 elementach.

Streszczenie

${\ displaystyle n}$	${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Aut} (\ operatorname {S} _ {n})}$	${\ Displaystyle \ operatorname {Out} (\ operatorname {S} _ {n})}$
${\ Displaystyle n \ neq 2,6}$	${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {n}}$	${\ Displaystyle \ operatorname {C} _ {1}}$
${\ displaystyle n = 2}$	${\ Displaystyle \ operatorname {C} _ {1}}$	${\ Displaystyle \ operatorname {C} _ {1}}$
${\ displaystyle n = 6}$	${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {6} \ rtimes \ operatorname {C} _ {2}}$	${\ Displaystyle \ operatorname {C} _ {2}}$

${\ displaystyle n}$	${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Aut} (\ operatorname {A} _ {n})}$	${\ Displaystyle \ operatorname {Out} (\ operatorname {A} _ {n})}$
${\ Displaystyle n \ geq 4, n \ neq 6}$	${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {n}}$	${\ Displaystyle \ operatorname {C} _ {2}}$
${\ displaystyle n = 1,2}$	${\ Displaystyle \ operatorname {C} _ {1}}$	${\ Displaystyle \ operatorname {C} _ {1}}$
${\ displaystyle n = 3}$	${\ Displaystyle \ operatorname {C} _ {2}}$	${\ Displaystyle \ operatorname {C} _ {2}}$
${\ displaystyle n = 6}$	${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {6} \ rtimes \ operatorname {C} _ {2}}$	${\ Displaystyle \ operatorname {V} = \ operatorname {C} _ {2} \ razy \ operatorname {C} _ {2}}$

Ogólny przypadek

• ${\ Displaystyle n \ neq 2,6}$ : ${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} (\ operatorname {S} _ {n}) = \ operatorname {S} _ {n}}$ , a zatem ${\ Displaystyle \ operatorname {Out} (\ operatorname {S} _ {n}) = \ operatorname {C} _ {1}}$ .

Formalnie ${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {n}}$ jest kompletna , a mapa naturalna ${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {n} \ do \ operatorname {Aut } (\mathrm {S} _{n})}$ jest izomorfizmem.

• ${\ Displaystyle n \ neq 1,2,6}$ : ${\ Displaystyle \ operatorname {Out} (\ operatorname {A} _ {n})=\mathrm {S} _{n}/\mathrm {A} _{n}=\mathrm {C} _{2}} ,$ a zewnętrznym automorfizmem jest koniugacja przez nieparzystą permutację .
• ${\ Displaystyle n \ neq 2,3,6}$ : ${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} (\ operatorname {A} _{n})=\nazwa operatora {Aut} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {S} _{n}}$

Rzeczywiście, naturalne mapy ${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {n} \ do \ operatorname {Aut} (\ operatorname {S} _ {n} )\to \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})}$ są izomorfizmami.

Wyjątkowe przypadki

• ${\ Displaystyle n = 1,2}$ : trywialne:

${\ Displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{1})=\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{1})=\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{1}) =\operatorname {Out} (\mathrm {A} _ {1})=\mathrm {C} _ {1}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} (\ operatorname {S} _ {2}) = \ operatorname {Out} (\ operatorname {S} _ {2}) = \ operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{2})=\nazwa operatora {Out} (\mathrm {A} _{2})=\namerm {C} _{1}}$

• ${\ Displaystyle n = 3}$ : ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Aut} (\ operatorname {A} _ {3 })=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{3})=\mathrm {S} _{3}/\mathrm {A} _{3}=\mathrm {C} _{2}}$
• ${\ Displaystyle n = 6}$ : ${\ Displaystyle \ operatorname {Out} (\ operatorname {S} _ {6}) = \ operatorname {C} _ {2}}$ i ${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} (\ operatorname {S} _ {6}) = \ operatorname {S} _ {6} \ rtimes \ operatorname {C} _{2}}$ jest produktem półbezpośrednim .
• ${\ Displaystyle n = 6}$ : ${\ Displaystyle \ operatorname {Out} (\ operatorname {A} _ {6}) = \ operatorname {C} _ { 2}\times \mathrm {C} _{2}}$ , i ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Aut} (\ operatorname {A} _ {6}) = \ nazwa operatora {Aut} (\ operatorname {S} _ {6}) = \ operatorname {S} _ {6} \ rtimes \ operatorname {C}_{2}.}$

Wyjątkowy automorfizm zewnętrzny S ₆

Spośród grup symetrycznych tylko S ₆ ma nietrywialny automorfizm zewnętrzny, który można nazwać wyjątkowym (analogicznie do wyjątkowych algebr Liego ) lub egzotycznym . W rzeczywistości Out(S ₆ ) = C ₂ .

Zostało to odkryte przez Otto Höldera w 1895 roku.

Specyfika automorfizmu zewnętrznego jest następująca:

• jedyna permutacja tożsamości odwzorowuje się na siebie;
• 2-cykl, taki jak (1 2) odwzorowuje iloczyn trzech 2-cykli, takich jak (1 2) (3 4) (5 6) i odwrotnie, istnieje 15 permutacji w każdą stronę;
• 3-cykl, taki jak (1 2 3) odwzorowuje iloczyn dwóch 3-cykli, takich jak (1 4 5) (2 6 3) i odwrotnie, uwzględniając 40 permutacji w każdą stronę;
• 4-cykl, taki jak (1 2 3 4) odwzorowuje inny 4-cykl, taki jak (1 6 2 4) uwzględniający 90 permutacji;
• iloczyn dwóch 2-cykli, taki jak (1 2)(3 4) odwzorowuje inny produkt dwóch 2-cykli, taki jak (3 5)(4 6), uwzględniający 45 permutacji;
• 5-cykl, taki jak (1 2 3 4 5) odwzorowuje inne 5-cykle, takie jak (1 3 6 5 2) uwzględniające 144 permutacje;
• iloczyn 2-cyklu i 3-cyklu, takiego jak (1 2 3) (4 5) odwzorowuje 6-cykl, taki jak (1 2 5 3 4 6) i odwrotnie, uwzględniając 120 permutacji w każdą stronę;
• iloczyn 2-cyklu i 4-cyklu, taki jak (1 2 3 4) (5 6), odwzorowuje inną taką permutację, taką jak (1 4 2 6) (3 5), uwzględniającą 90 pozostałych permutacji.

W ten sposób uwzględniono wszystkie 720 permutacji na 6 elementach. Zewnętrzny automorfizm ogólnie nie zachowuje struktury cykli, odwzorowując pojedyncze cykle na iloczyn dwóch cykli i odwrotnie.

Daje to również inny automorfizm zewnętrzny A ₆ , i jest to jedyny wyjątkowy automorfizm zewnętrzny skończonej grupy prostej: dla nieskończonych rodzin grup prostych istnieją wzory na liczbę automorfizmów zewnętrznych i grupę prostą rzędu 360, traktowany jako A ₆ , powinien mieć dwa zewnętrzne automorfizmy, a nie cztery. Jednak gdy A ₆ jest postrzegane jako PSL(2, 9), zewnętrzna grupa automorfizmów ma oczekiwany porządek. (Dla grup sporadycznych – tj. nienależących do nieskończonej rodziny – pojęcie wyjątkowego automorfizmu zewnętrznego jest źle zdefiniowane, ponieważ nie ma ogólnego wzoru).

Budowa

Istnieje wiele konstrukcji, wymienionych w ( Janusz & Rotman 1982 ).

Zauważ, że jako automorfizm zewnętrzny jest to klasa automorfizmów, dobrze określona tylko do automorfizmu wewnętrznego, stąd nie ma żadnego naturalnego do zapisania.

Jedna metoda to:

• Skonstruuj egzotyczną mapę (osadzenie) S ₅ → S ₆ ; patrz poniżej
• S ₆ działa przez koniugację na sześć koniugatów tej podgrupy, dając mapę S ₆ → S _X , gdzie X jest zbiorem koniugatów. Utożsamienie X z liczbami 1, ..., 6 (co zależy od wyboru numeracji koniugatów, tj. do elementu S ₆ (automorfizm wewnętrzny)) daje automorfizm zewnętrzny S ₆ → S ₆ .
• Ta mapa jest zewnętrznym automorfizmem, ponieważ transpozycja nie odwzorowuje transpozycji, ale wewnętrzne automorfizmy zachowują strukturę cyklu.

W dalszej części można pracować z akcją mnożenia na cosetach lub akcją koniugacji na koniugatach.

Aby zobaczyć, że S ₆ ma zewnętrzny automorfizm, przypomnijmy sobie, że homomorfizmy z grupy G do grupy symetrycznej Sn _są zasadniczo takie same jak działania G na zbiór n elementów, a podgrupa ustalająca punkt jest wtedy podgrupą indeksu co najwyżej n w G . I odwrotnie, jeśli mamy podgrupę o indeksie n w G , działanie na cosetach daje działanie przechodnie G na n punktach, a zatem homomorfizm do S _n .

Konstrukcja z partycji grafów

Przed bardziej rygorystycznymi matematycznie konstrukcjami pomaga zrozumieć prostą konstrukcję.

Weź pełny graf z 6 wierzchołkami, K ₆ . Ma 15 krawędzi, które można podzielić na idealne dopasowania na 15 różnych sposobów, przy czym każde idealne dopasowanie jest zbiorem trzech krawędzi, z których żadne dwie nie mają wspólnego wierzchołka. Możliwe jest znalezienie zestawu 5 doskonałych dopasowań ze zbioru 15, w którym żadne dwa dopasowania nie mają wspólnej krawędzi i które między nimi obejmują wszystkie 5 × 3 = 15 krawędzi wykresu; ten rozkład na czynniki wykresu można wykonać na 6 różnych sposobów.

Rozważ permutację 6 wierzchołków i zobacz jej wpływ na 6 różnych faktoryzacji. Otrzymujemy mapę od 720 permutacji wejściowych do 720 permutacji wyjściowych. Ta mapa jest właśnie zewnętrznym automorfizmem S ₆ .

Będąc automorfizmem, mapa musi zachowywać kolejność elementów, ale nie zachowuje struktury cyklicznej. Na przykład 2-cyklowe odwzorowanie na iloczyn trzech 2-cyklowych; łatwo zauważyć, że cykl 2 wpływa w jakiś sposób na wszystkie 6 rozkładów na czynniki grafu, a zatem nie ma punktów stałych, gdy jest postrzegany jako permutacja rozkładów na czynniki. Fakt, że w ogóle można skonstruować ten automorfizm, polega na dużej liczbie liczbowych zbieżności, które dotyczą tylko n = 6 .

Mapa egzotyczna S ₅ → S ₆

Istnieje podgrupa (w rzeczywistości 6 sprzężonych podgrup) S ₆ , która jest abstrakcyjnie izomorficzna z S ₅ , ale która działa przechodnie jako podgrupy S ₆ na zbiorze 6 elementów. (Obraz oczywistej mapy S _n → S _{n +1} ustala element, a zatem nie jest przechodni.)

Sylow 5 podgrup

Janusz i Rotman konstruują to tak:

• S ₅ działa przechodnie przez koniugację na zbiorze swoich 6 Sylow 5-podgrup , dając osadzanie S ₅ → S ₆ jako podgrupę przechodnią rzędu 120.

Wynika to z przeglądu 5-cykli: każdy 5-cykl generuje grupę rzędu 5 (a więc podgrupę Sylowa), jest 5!/5 = 120/5 = 24 5-cykli, co daje 6 podgrup (ponieważ każda podgrupa również zawiera tożsamość), a S _n działa przechodnio przez koniugację na zbiorze cykli danej klasy, a więc przechodnio przez koniugację na te podgrupy.

Alternatywnie można by użyć twierdzeń Sylowa, które ogólnie stwierdzają, że wszystkie podgrupy p Sylowa są sprzężone.

PGL(2,5)

Rzutowa grupa liniowa wymiaru dwa w polu skończonym z pięcioma elementami PGL(2, 5) oddziałuje na linię rzutową w polu z pięcioma elementami P ¹ ( F ₅ ), które ma sześć elementów. Co więcej, to działanie jest wierne i 3- przechodnie , jak zawsze ma to miejsce w przypadku działania rzutowej grupy liniowej na linii rzutowej. Daje to mapę PGL(2, 5) → S ₆ jako podgrupę przechodnią. Utożsamienie PGL(2, 5) z S ₅ i rzutowej specjalnej grupy liniowej PSL(2, 5) z A ₅ daje pożądane odwzorowania egzotyczne S ₅ → S ₆ i A ₅ → A ₆ .

Kierując się tą samą filozofią, zewnętrzny automorfizm można zrealizować jako następujące dwa równoważne działania S ₆ na zbiorze z sześcioma elementami:

• zwykła akcja jako grupa permutacji;
• sześć nierównoważnych struktur abstrakcyjnego 6-elementowego zbioru jako prosta rzutowa P ¹ ( F ₅ ) – prosta ma 6 punktów, a rzutowa grupa liniowa działa 3-przechodnio, więc ustalając 3 punkty, są 3! = 6 różnych sposobów ułożenia pozostałych 3 punktów, co daje pożądaną alternatywną akcję.

zespół Frobeniusa

Inny sposób: Aby skonstruować zewnętrzny automorfizm S ₆ , musimy skonstruować „niezwykłą” podgrupę o indeksie 6 w S ₆ , innymi słowy taką, która nie jest jedną z sześciu oczywistych podgrup S ₅ ustalających punkt (które po prostu odpowiadają do automorfizmów wewnętrznych S ₆ ).

   Grupa Frobeniusa przekształceń afinicznych F 5 ₅ $($ mapy ax + b gdzie a ≠ 0) ma rząd 20 i działa na polu z 5 elementami, stąd jest a podgrupa S ₅ . (Rzeczywiście, jest to normalizator wspomnianej powyżej grupy Sylowa 5, uważanej za grupę rzędu 5 translacji F ₅ .)

S ₅ działa przechodnio na przestrzeń coset, która jest zbiorem 120/20 = 6 elementów (lub przez koniugację, która daje powyższe działanie).

Inne konstrukcje

Ernst Witt znalazł kopię Aut(S ₆ ) w grupie Mathieu M ₁₂ (podgrupa T izomorficzna z S ₆ i element σ , który normalizuje T i działa na zasadzie zewnętrznego automorfizmu). Podobnie jak S ₆ działa na zbiór 6 elementów na 2 różne sposoby (posiada automorfizm zewnętrzny), M ₁₂ działa na zbiór 12 elementów na 2 różne sposoby (posiada automorfizm zewnętrzny), chociaż ponieważ M ₁₂ samo w sobie jest wyjątkowe, nie uważa się tego zewnętrznego automorfizmu za wyjątkowy sam w sobie.

Pełna grupa automorfizmu A ₆ pojawia się naturalnie jako maksymalna podgrupa grupy Mathieu M ₁₂ na 2 sposoby, albo jako podgrupa ustalająca podział 12 punktów na parę zestawów 6-elementowych, albo jako podgrupa ustalająca podzbiór o 2 punkty.

Innym sposobem sprawdzenia, że ​​S ₆ ma nietrywialny automorfizm zewnętrzny, jest wykorzystanie faktu, że A ₆ jest izomorficzny z PSL ₂ (9), którego grupą automorfizmów jest półliniowa rzutowa grupa PΓL ₂ (9), w której PSL ₂ (9) ma indeks 4, co daje zewnętrzną grupę automorfizmów rzędu 4. Najbardziej wizualnym sposobem zobaczenia tego automorfizmu jest podanie interpretacji za pomocą geometrii algebraicznej na polach skończonych, jak następuje. Rozważmy działanie S ₆ na afinicznej 6-przestrzeni nad ciałem k z 3 elementami. To działanie zachowuje kilka rzeczy: hiperpłaszczyznę H , na której współrzędne sumują się do 0, linię L w H , gdzie wszystkie współrzędne się pokrywają, oraz formę kwadratową q określoną przez sumę kwadratów wszystkich 6 współrzędnych. Ograniczenie q do H ma linię defektu L , więc istnieje indukowana forma kwadratowa Q na 4-wymiarowym H / L , która sprawdzana jest jako niezdegenerowana i nierozdzielona. Schemat zerowy Q w H / L definiuje gładką kwadratową powierzchnię X w powiązanej rzutowej 3-przestrzeni nad k . Na algebraicznym zamknięciu k , X jest iloczynem dwóch linii rzutowych, więc przez argument zejścia X jest ograniczeniem Weila do k linii rzutowej na kwadratowej algebrze étale K . Ponieważ Q nie jest podzielone na k , argument pomocniczy ze specjalnymi grupami ortogonalnymi na k zmusza K do bycia polem (a nie iloczynem dwóch kopii k ). Naturalne działanie S ₆ na wszystko w zasięgu wzroku definiuje mapę od S ₆ do grupy k -automorfizmów X , która jest półbezpośrednim iloczynem G z PGL ₂ ( K ) = PGL ₂ (9) względem inwolucji Galois. Ta mapa przenosi prostą grupę A ₆ nietrywialnie do (stąd na) podgrupy PSL ₂ (9) o indeksie 4 w produkcie półbezpośrednim G , więc S ₆ jest tym samym identyfikowana jako podgrupa indeksu 2 G (mianowicie podgrupa G wygenerowana przez PSL ₂ (9) i inwolucję Galois). Koniugacja przez dowolny element G poza S ₆ definiuje nietrywialny automorfizm zewnętrzny S ₆ .

Struktura automorfizmu zewnętrznego

W cyklach wymienia permutacje typu (12) z (12)(34)(56) (klasa 2 ¹ z klasą 2 ³ ) oraz typu (123) z (145)(263) (klasa 3 ¹ z klasą 3 ² ). Zewnętrzny automorfizm również wymienia permutacje typu (12)(345) z (123456) (klasa 2 ¹ 3 ¹ z klasą 6 ¹ ). Dla każdego z pozostałych typów cykli w S ₆ automorfizm zewnętrzny ustala klasę permutacji typu cyklicznego.

Na A ₆ zamienia 3-cykle (jak (123)) z elementami klasy 3 ² (jak (123)(456)).

Żadnych innych zewnętrznych automorfizmów

Aby zobaczyć, że żadna z pozostałych grup symetrycznych nie ma zewnętrznych automorfizmów, najłatwiej jest wykonać dwa kroki:

1. Najpierw pokaż, że każdy automorfizm, który zachowuje klasę koniugacji transpozycji, jest automorfizmem wewnętrznym. (Pokazuje to również, że zewnętrzny automorfizm S ₆ jest unikalny; patrz poniżej). Należy zauważyć, że automorfizm musi wysłać każdą klasę koniugacji (charakteryzującą się cykliczną strukturą , którą dzielą jej elementy) do (być może innej) klasy koniugatów.
2. Po drugie, pokaż, że każdy automorfizm (inny niż powyższy dla S ₆ ) stabilizuje klasę transpozycji.

To ostatnie można pokazać na dwa sposoby:

• Dla każdej grupy symetrycznej innej niż S ₆ nie ma innej klasy koniugacji składającej się z elementów rzędu 2, która miałaby taką samą liczbę elementów jak klasa transpozycji.
• Lub w następujący sposób:

Każda permutacja rzędu drugiego (nazywana inwolucją ) jest iloczynem k > 0 rozłącznych transpozycji, tak że ma strukturę cykliczną 2 ^k 1 ^{n −2 k} . Co jest szczególnego w klasie transpozycji ( k = 1)?

Jeśli tworzy się iloczyn dwóch różnych transpozycji τ ₁ i τ ₂ , to zawsze otrzymuje się albo cykl 3, albo permutację typu 2 ² 1 ^{n −4} , więc kolejność tworzonego elementu jest albo 2 albo 3. Na z drugiej strony, jeśli tworzy się iloczyn dwóch różnych inwolucji σ ₁ , σ ₂ typu k > 1 , to pod warunkiem, że n ≥ 7 , zawsze można wytworzyć element rzędu 6, 7 lub 4 w następujący sposób. Możemy zorganizować, aby produkt zawierał oba

• dwa cykle 2 i 3 cykle (dla k = 2 i n ≥ 7)
• a 7 cykli (dla k = 3 i n ≥ 7)
• dwa 4-cykle (dla k = 4 i n ≥ 8)

Dla k ≥ 5 dołącz do permutacji σ ₁ , σ ₂ z ostatniego przykładu redundantne 2-cykle, które się znoszą, i nadal otrzymujemy dwa 4-cykle.

Dochodzimy teraz do sprzeczności, ponieważ jeśli klasa transpozycji jest przesyłana przez automorfizm f do klasy inwolucji, która ma k > 1, to istnieją dwie transpozycje τ ₁ , τ ₂ takie, że f ( τ ₁ ) f ( τ ₂ ) ma rząd 6, 7 lub 4, ale wiemy, że τ ₁ τ ₂ ma rząd 2 lub 3.

Żadnych innych zewnętrznych automorfizmów S ₆

S ₆ ma dokładnie jedną (klasę) zewnętrznych automorfizmów: Out(S ₆ ) = C ₂ .

Aby to zobaczyć, zauważmy, że istnieją tylko dwie klasy koniugacji S ₆ o rozmiarze 15: transpozycje i klasy 2 ³ . Każdy element Aut(S ₆ ) albo zachowuje każdą z tych klas koniugacji, albo je wymienia. Każdy przedstawiciel zewnętrznego automorfizmu skonstruowanego powyżej wymienia klasy koniugacji, podczas gdy podgrupa o indeksie 2 stabilizuje transpozycje. Ale automorfizm, który stabilizuje transpozycje, jest wewnętrzny, więc automorfizmy wewnętrzne tworzą podgrupę o indeksie 2 Aut(S ₆ ), więc Out(S ₆ ) = C ₂ .

Bardziej zwięźle: automorfizm, który stabilizuje transpozycje, jest wewnętrzny i istnieją tylko dwie klasy koniugacji rzędu 15 (transpozycje i potrójne transpozycje), stąd zewnętrzna grupa automorfizmów jest co najwyżej rzędu 2.

mały n

Symetryczny

Dla n = 2, S ₂ = C ₂ = Z /2 i grupa automorfizmów jest trywialna (oczywiście, ale bardziej formalnie, ponieważ Aut( Z /2) = GL(1, Z /2) = Z /2 ^* = C ₁ ). Wewnętrzna grupa automorfizmów jest zatem również trywialna (również dlatego, że S ₂ jest abelowa).

Zmienny

Dla n = 1 i 2 A ₁ = A ₂ = C ₁ jest trywialne, więc grupa automorfizmów jest również trywialna. Dla n = 3, A ₃ = C ₃ = Z /3 jest abelowe (i cykliczne): grupa automorfizmów to GL(1, Z /3 ^* ) = C ₂ , a wewnętrzna grupa automorfizmów jest trywialna (ponieważ jest abelowa ).

Notatki

• https://web.archive.org/web/20071227060045/http://polyomino.f2s.com/david/haskell/outers6.html
• Kilka myśli o numerze 6 , autorstwa Johna Baeza: odnosi zewnętrzny automorfizm do regularnego dwudziestościanu
• „12 punktów w PG (3, 5) z 95040 samoprzekształceniami” w „The Beauty of Geometry” autorstwa Coxetera: omawia zewnętrzny automorfizm na pierwszych 2 stronach
•   Janusz, Gerald; Rotman, Joseph (czerwiec – lipiec 1982). „Automorfizmy zewnętrzne S ₆ ”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 89 (6): 407–410. doi : 10.2307/2321657 . JSTOR 2321657 .
•   Fournelle, Thomas A. (1 stycznia 1993). „Symetrie sześcianu i zewnętrzne automorfizmy S6”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 100 (4): 377–380. doi : 10.2307/2324961 . JSTOR 2324961 .
•   Lorimer, PJ (1 stycznia 1966). „Zewnętrzne automorfizmy S6”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 73 (6): 642–643. doi : 10.2307/2314806 . JSTOR 2314806 .
•   Miller, Donald W. (1 stycznia 1958). „O twierdzeniu Höldera”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 65 (4): 252–254. doi : 10.2307/2310241 . JSTOR 2310241 .