Kompletna grupa
W matematyce mówi się , że grupa G jest kompletna , jeśli każdy automorfizm G jest wewnętrzny i jest bezśrodkowy; to znaczy, że ma trywialną zewnętrzną grupę automorfizmów i trywialne centrum .
Równoważnie, grupa jest kompletna, jeśli mapa koniugacji , G → Aut( G ) (wysyłanie elementu g do koniugacji przez g ), jest izomorfizmem : iniekcja implikuje , że tylko koniugacja przez element tożsamości jest automorfizmem tożsamości, co oznacza, że grupa jest bezśrodkowy, podczas gdy suriektywność implikuje, że nie ma zewnętrznych automorfizmów.
Przykłady
Na przykład wszystkie grupy symetryczne Sn n są kompletne, z wyjątkiem sytuacji, gdy ∈ {2, 6 } . Dla przypadku n = 2 grupa ma nietrywialne centrum, natomiast dla przypadku n = 6 istnieje automorfizm zewnętrzny .
Grupa automorfizmów grupy prostej jest grupą prawie prostą ; dla nieabelowej grupy prostej G grupa automorfizmów G jest zupełna.
Nieruchomości
Kompletna grupa jest zawsze izomorficzna ze swoją grupą automorfizmów (poprzez wysłanie elementu do koniugacji przez ten element), chociaż odwrotność nie musi zachodzić: na przykład dwuścienna grupa 8 elementów jest izomorficzna ze swoją grupą automorfizmów, ale nie jest kompletna . Aby zapoznać się z dyskusją, zob. ( Robinson 1996 , sekcja 13.5).
Rozszerzenia kompletnych grup
Załóżmy, że grupa G jest rozszerzeniem grupy podanym jako krótki dokładny ciąg grup
- 1 ⟶ N ⟶ G ⟶ G ′ ⟶ 1
z jądrem , N i ilorazem, G ′ . Jeśli jądro, N , jest kompletną grupą, to rozszerzenie dzieli się: G jest izomorficzne z iloczynem bezpośrednim , N × G ′ . Dowód za pomocą homomorfizmów i ciągów dokładnych można przeprowadzić w naturalny sposób: Działanie G (przez koniugację ) na normalną podgrupę , N , daje początek homomorfizmowi grupowemu φ : G → Aut( N ) ≅ N . Ponieważ Out( N ) = 1 i N ma trywialne centrum, homomorfizm φ jest surjekcją i ma oczywisty przekrój określony przez włączenie N do G . Jądro φ jest centralizatorem C G ( N ) N w G , CG ( ) co więc G jest najmniej półprostym produktem CG ( N ) ⋊ N N , ale działanie N na jest trywialne i Więc produkt jest bezpośredni.
Można to przedstawić ponownie w kategoriach elementów i warunków wewnętrznych: jeśli N jest normalną, kompletną podgrupą grupy G , to G = C G ( N ) × N jest iloczynem bezpośrednim. Dowód wynika bezpośrednio z definicji: N jest bezśrodkowe, dając C G ( N ) ∩ N jest trywialne. Jeśli g jest elementem G , to indukuje automorfizm N przez koniugację, ale N = Aut( N ) i ta koniugacja musi być równa koniugacji przez jakiś element n z N . Wtedy koniugacja przez gn −1 jest tożsamością na N , więc gn −1 jest w C G ( N ) i każdy element, g , z G jest iloczynem ( gn −1 ) n w C G ( N ) N .
- Robinson, Derek John Scott (1996), Kurs teorii grup , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
- Rotman, Joseph J. (1994), Wprowadzenie do teorii grup , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94285-8 (rozdział 7, w szczególności twierdzenia 7.15 i 7.17).