Chaos wielomianowy

Chaos wielomianowy ( PC ) , zwany także rozwinięciem chaosu wielomianowego ( PCE ) i rozwinięciem chaosu Wienera , to metoda reprezentacji zmiennej losowej za pomocą funkcji wielomianu innych zmiennych losowych. Wielomiany są wybrane tak, aby były ortogonalne w odniesieniu do łącznego rozkładu prawdopodobieństwa tych zmiennych losowych. PCE można wykorzystać np. do wyznaczenia ewolucji niepewności w układzie dynamicznym gdy występuje probabilistyczna niepewność parametrów systemu. Zauważ, że pomimo swojej nazwy, PCE nie ma bezpośrednich powiązań z teorią chaosu .

PCE został po raz pierwszy wprowadzony w 1938 roku przez Norberta Wienera przy użyciu wielomianów Hermite'a do modelowania procesów stochastycznych za pomocą zmiennych losowych Gaussa . Został wprowadzony do społeczności fizyków i inżynierów przez R. Ghanema i PD Spanosa w 1991 r. I uogólniony na inne rodziny wielomianów ortogonalnych przez D. Xiu i GE Karniadakisa w 2002 r. Matematycznie rygorystyczne dowody istnienia i zbieżności uogólnionego PCE zostały podane przez OG Ernsta i współpracowników w 2012 r.

PCE znalazł szerokie zastosowanie w inżynierii i naukach stosowanych, ponieważ umożliwia skuteczne radzenie sobie z probabilistyczną niepewnością parametrów systemu. Jest szeroko stosowany w stochastycznej analizie elementów skończonych oraz jako model zastępczy ułatwiający analizy ilościowe niepewności .

Główne zasady

Rozszerzenie chaosu wielomianowego (PCE) zapewnia sposób reprezentacji zmiennej losowej ze skończoną wariancją (tj. ${\ Displaystyle \ operatorname {Var} (Y) <\ infty}$ $($ ) jako Y { funkcja $-wymiarowego$ wektora losowego $, wykorzystująca podstawę wielomianu$ która ortogonalna do rozkładu tego wektora losowego. Prototypowy PCE można zapisać jako:

{\ Displaystyle Y = \ suma _ {i \ w \ mathbb {N}} c_ {i} \ psi _ {i} (\ mathbf {X}).}

W tym wyrażeniu $jest$ $współczynnikiem$ oznacza bazową $zależności$ od dystrybucji się różne typy PCE.

Chaos wielomianowy Hermite'a

Oryginalna formuła PCE zastosowana przez $Norberta$ Wienera była ograniczona do przypadku, w którym wektorem losowym o rozkładzie Gaussa. Biorąc pod $}$ tylko przypadek jednowymiarowy (tj. i , wielomianowa funkcja bazowa ortogonalna względem rozkładu Gaussa jest zbiorem M = $1 {\$ ${\ displaystyle i}$ -th stopień wielomiany Hermite'a ${\ displaystyle H_ {i}}$ . PCE można zatem zapisać jako: ${\ displaystyle Y}$

\ Displaystyle Y = \ suma _ {i \ in \ mathbb {N}} c_ {i} H_ {i} (X)}

.

Uogólniony chaos wielomianowy

Xiu (w swoim doktoracie pod kierunkiem Karniadakisa na Brown University) uogólnił wynik Camerona-Martina $zbieżność$ różne rozkłady ciągłe i dyskretne, używając ortogonalnych z tak zwanego schematu Askeya i wykazał w odpowiednia przestrzeń funkcjonalna Hilberta. Jest to powszechnie znane jako struktura uogólnionego chaosu wielomianowego (gPC). Ramy gPC zostały zastosowane w zastosowaniach obejmujących stochastyczną dynamikę płynów , stochastyczne elementy skończone, mechanikę ciał stałych , estymacja nieliniowa, ocena efektów skończonej długości słowa w nieliniowych stałoprzecinkowych systemach cyfrowych i probabilistyczna kontrola odporna. Wykazano, że metody oparte na gPC są obliczeniowo lepsze od Monte-Carlo w wielu zastosowaniach. Metoda ma jednak istotne ograniczenie. W przypadku dużej liczby zmiennych losowych chaos wielomianowy staje się bardzo kosztowny obliczeniowo, a metody Monte-Carlo są zwykle bardziej wykonalne ^{[ potrzebne źródło ]} .

Dowolny chaos wielomianowy

Ostatnio ekspansja chaosu została uogólniona w kierunku arbitralnej wielomianowej ekspansji chaosu (aPC), która jest tak zwanym uogólnieniem PC opartym na danych. Podobnie jak wszystkie techniki rozwinięcia chaosu wielomianowego, aPC przybliża zależność danych wyjściowych modelu symulacyjnego od parametrów modelu poprzez rozwinięcie na podstawie wielomianu ortogonalnego. APC uogólnia techniki ekspansji chaosu w kierunku dowolnych rozkładów z dowolnymi miarami prawdopodobieństwa, które mogą być dyskretne, ciągłe lub dyskretyzowane ciągłe i mogą być określone analitycznie (jako gęstość prawdopodobieństwa / dystrybucja skumulowana), numerycznie jako histogram lub jako surowe zestawy danych. APC w skończonym rzędzie ekspansji wymaga jedynie istnienia skończonej liczby momentów i nie wymaga pełnej wiedzy ani nawet istnienia funkcji gęstości prawdopodobieństwa. Pozwala to uniknąć konieczności przypisywania parametrycznych rozkładów prawdopodobieństwa, które nie są wystarczająco poparte ograniczonymi dostępnymi danymi. Alternatywnie, pozwala modelarzom na swobodny wybór z ograniczeń technicznych kształtu ich założeń statystycznych. Badania wskazują, że aPC wykazuje wykładniczy współczynnik zbieżności i zbieżność jest szybsza niż klasyczne techniki ekspansji chaosu wielomianowego. Jednak te techniki są w toku, ale ich wpływ na modele CFD jest dość imponujący.

Chaos wielomianowy i niepełne informacje statystyczne

W wielu praktycznych sytuacjach dostępna jest jedynie niekompletna i niedokładna wiedza statystyczna na temat niepewnych parametrów wejściowych. Na szczęście, aby skonstruować rozwinięcie skończonego rzędu, wymagane są tylko częściowe informacje na temat miary prawdopodobieństwa, które można po prostu przedstawić za pomocą skończonej liczby momentów statystycznych. Każda kolejność rozszerzania jest uzasadniona tylko wtedy, gdy towarzyszy jej wiarygodna informacja statystyczna na temat danych wejściowych. Zatem niekompletne informacje statystyczne ograniczają użyteczność rozwinięć chaosu wielomianowego wysokiego rzędu.

Chaos wielomianowy i przewidywanie nieliniowe

przewidywania nieliniowych funkcjonałów gaussowskich stacjonarnych procesów przyrostowych uwarunkowanych ich przeszłymi realizacjami. Konkretnie, takie przewidywanie uzyskuje się przez wyprowadzenie ekspansji chaosu funkcjonału w odniesieniu do specjalnej podstawy dla przestrzeni Gaussa Hilberta generowanej przez proces, który ma właściwość, że każdy element bazowy jest mierzalny lub niezależny w odniesieniu do danych próbek. Na przykład takie podejście prowadzi do łatwej formuły przewidywania ułamkowego ruchu Browna .

Bayesowski chaos wielomianowy

$można$ nieinwazyjnych oszacowanie współczynników rozszerzalności $problem$ danego zestawu funkcji bazowych uznać za regresji bayesowskiej poprzez model zastępczy . Takie podejście ma zalety w postaci wyrażeń analitycznych dla dowodów danych (w sensie wnioskowania bayesowskiego ) oraz niepewność współczynników rozszerzalności są dostępne. Dowody można następnie wykorzystać jako miarę do wyboru warunków ekspansji i przycinania szeregu (patrz także porównanie modeli bayesowskich ). Niepewność współczynników ekspansji można $wykorzystać$ do oceny jakości i wiarygodności PCE, a ponadto wpływu tej oceny na rzeczywistą wielkość .

Niech ${\ Displaystyle D = \ {\ mathbf {X} ^ {(j)}, Y ^ {(j)} \}}$ będzie zbiorem ${\ Displaystyle j = 1, ..., N_ {s}}$ par danych wejścia-wyjścia, które są używane do oszacowania współczynników ekspansji ${\ displaystyle c_ {i}}$ . Niech $macierzą$ danych z ${\ Displaystyle [M] _ {ij} = \ psi _ {i} (\ mathbf {X} ^ {(j)})},$ niech ${\ Displaystyle {\ vec {Y}} = (Y ^ {(1)}, ..., Y ^ {(j)}, ..., Y ^ {(N_ {s})}) ^ {T }}$ $danych$ zbiorem ${ \ Displaystyle {\ vec {c}} = (c_ {1}, ..., c_ {i}, ..., c_ {N_ {p}}) ^ {T}}$ i zbiór współczynników rozszerzalności w postaci wektorowej. Przy założeniu, że niepewność PCE jest typu Gaussa z nieznaną wariancją i niezmiennikiem skali przed , wartość oczekiwana dla współczynników ekspansji wynosi ${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle {\ vec {c}} \ rangle = (M ^ {T} \; M) ^ {- 1} \; M ^ {T}\;{\vec {Y}}}$

Z ${\ Displaystyle H = (M ^ {T} M) ^ {- 1}}$ , to kowariancja współczynników wynosi

${\ Displaystyle {\ tekst {Cov}} (c_ {m}, c_ {n}) = {\ Frac {\ chi _{\text{min}}^{2}}{N_{s}-N_{p}-2}}H_{m,n}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ chi _ {\ tekst {min}} ^ {2} = {\ vec {Y}} ^ {T} ( \ operatorname {I} -M \; H ^ {-1} M ^ {T}} \; {\ vec {Y}}}$ to minimalne niedopasowanie i ${\ displaystyle \ operatorname {I}}$ to macierz tożsamości . Niepewność oszacowania współczynnika $m$ dana przez ${\ Displaystyle {\ tekst {Var}} (c_ {m}) = {\ tekst {Cov}} (c_ {m}, c_ {m})} . Zatem$ niepewność oszacowanie współczynników rozszerzalności można uzyskać za pomocą prostego mnożenia wektorów i macierzy. Dla danej funkcji gęstości prawdopodobieństwa danych wejściowych pokazano, że drugi moment dla interesującej nas wielkości to po prostu ${\ Displaystyle p (\ mathbf {X})}$

${\ Displaystyle \ langle Y ^ {2} \ rangle = \ underbrace {\ suma _ {m, m'} \ int \ Psi _ {m} (\ mathbf {X}) \ Psi _ {m'} (\ mathbf {X} )\langle c_{m}\rangle \langle c_{m'}\rangle p(\mathbf {X} )\;dV_{\mathbf {X} }} _{=I_{1}}+\ underbrace {\sum _{m,m'}\int \Psi _{m}(\mathbf {X} )\Psi _{m'}(\mathbf {X} )\;{\text{Cov}}( c_{m},c_{m'})\;p(\mathbf {X} )\;dV_{\mathbf {X}}} _{=I_{2}}}$

To równanie sumuje powyższe mnożenia macierz-wektor plus marginalizację względem X $\ displaystyle \ mathbf {X}}$ . Pierwszy człon $określa$ pierwotną niepewność wielkości będącej $przedmiotem$ surogat. Drugi człon stanowi dodatkową niepewność inferencyjną (często $zainteresowania$ -epistemicznego) co do ilości będącej przedmiotem $skończoną$ niepewnością PCE. Jeśli dostępna jest wystarczająca $ilość danych pod$ jakości i ilości, można wykazać, że pomijalnie mały i staje się po prostu budując stosunki dwóch terminów, np . ${\ Displaystyle {\ Frac {I_ {1}} {I_ {1} + I_ {2}}}}$ Ten stosunek określa ilościowo wielkość niepewności własnej PCE w niepewności całkowitej i mieści się w przedziale. ${\ Displaystyle [0,1]$ } $_$ jeśli _ można podjąć działania mające na celu poprawę PCE lub zebrać więcej danych. Jeśli ${\ Displaystyle {\ frac {I_ {1}} {I_ {1} + I_ {2}}} \ około 1}$ , wtedy niepewność PCE jest niska i PCE można uznać za godne zaufania.

W przypadku wyboru modelu zastępczego bayesowskiego prawdopodobieństwo dla określonego modelu zastępczego, tj. określonego zestawu ${\$ ekspansji i funkcji bazowych do $displaystyle c_ {i}}$ $\ Psi _ { i}}$ , wynika z dowodów danych ${\ displaystyle Z_ {S}}$ ,

${\ Displaystyle Z_ {S} = \ Omega _ {N_ {p}} \ mid H \ mid ^ {-1/2} (\ chi _ {\ text {min}} ^ {2}) ^ {- {\ frac {N_{s}-N_{p}}{2}}}{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {N_{p}}{2}}{\big)}\Gamma {\ big (}{\frac {N_{s}-N_{p}}{2}}{\big)}}{\Gamma {\big (}{\frac {N_{s}}{2}}{\ duży )}}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ Gamma}$ jest funkcją Gamma , ${\ Displaystyle \ mid H \ mid}$ jest wyznacznikiem ${\ Displaystyle H}$ , ${\ Displaystyle N_ {s}}$ jest liczbą Γ {\ Displaystyle \ Gamma} Ω ${\ Displaystyle \ Omega _ {N_ {p}}}$ to kąt bryłowy w wymiarach, gdzie N p {\ displaystyle N_ {p}}, gdzie $p}}$ $displaystyle$ jest liczbą wyrazów w PCE.

Analogiczne wyniki można przenieść do obliczeń wskaźników wrażliwości opartych na PCE . Podobne wyniki można uzyskać dla Kriginga .

Zobacz też