Charakterystyczna mapa Frobeniusa

W matematyce , zwłaszcza w teorii reprezentacji i kombinatoryce , mapa charakterystyczna Frobeniusa jest izomorfizmem izometrycznym między pierścieniem znaków grup symetrycznych a pierścieniem funkcji symetrycznych . Buduje pomost między teorią reprezentacji grup symetrycznych a kombinatoryką algebraiczną . Ta mapa umożliwia badanie problemów reprezentacji za pomocą funkcji symetrycznych i odwrotnie. Ta mapa nosi imię niemieckiego matematyka Ferdynanda Georga Frobeniusa .

Definicja

Pierścień znaków

Niech $}}$ n będzie $}$ generowanym przez wszystkie nieredukowalne znaki $}$ { \ Displaystyle S_ {n nad do $\ Displaystyle \ mathbb {Z}} C} }$ . W szczególności ${\ Displaystyle S_ {0} = \ {1 \}}$ i dlatego ${\ Displaystyle R ^ {0} = \ mathbb {Z}}$ . Pierścień znaków jest definiowany jako suma bezpośrednia

{\ Displaystyle R = \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} R ^ {n}}

z następującym mnożeniem, aby uczynić

pierścieniem

przemiennym . Biorąc pod uwagę i produkt definiuje się jako

{\ Displaystyle f \ w R ^ {n}}

i

{\ Displaystyle g \ w R ^ {m}}

{\ Displaystyle f \ cdot g = \ operatorname {ind} _ {S_ {m} \ razy S_ {n}} ^ {S_ { m+n}}(f\razy g)}

przy założeniu, że jest osadzony w

{\ Displaystyle S_ {m} \ razy S_ {n}} i

jest osadzony w

{\ Displaystyle S_ {m + n}}

i

{\ Displaystyle \ operatorname {ind} }

oznacza znak indukowany .

Charakterystyczna mapa Frobeniusa

Dla $R n {\$ charakterystycznej mapy Frobeniusa ${\ Displaystyle \ operatorname {ch}}$ w , która jest również nazywana obrazem Frobeniusa , $Displaystyle f \ in R ^ {n$ z $zdefiniowany$ jako wielomian

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {ch} (f) = {\ Frac {1} {n!}} \ suma _ {w \ w S_ {n}} f (w) p _ {\ rho (w)} = \ suma _{\mu \vdash n}z_{\mu}^{-1}f(\mu)p_{\mu}.}

Uwagi

Tutaj $.$ liczb całkowitych określonym przez $w$ displaystyle } Na przykład, gdy ${\ Displaystyle n = 3}$ i ${\ Displaystyle w = (12) (3)}$ , ${\ Displaystyle \ rho (w)=(2,1)}$ odpowiada partycji ${\ Displaystyle 3 = 2 + 1}$ . $}$ $\$ podział ( zapisany jako $)$ klasę koniugacji w ${$ displaystyle ${\ Displaystyle S_ {n}}$ . Na przykład, biorąc pod uwagę ${\ Displaystyle \ mu = (2,1) \ vdash 3}$ , ${\ Displaystyle K _ {\ mu }=\{(12)(3),(13)(2),(23)(1)\}}$ jest klasą koniugacji. Stąd przez nadużycie notacji można użyć do oznaczenia wartości ${\ Displaystyle f (\ mu)}$ ${\ displaystyle f}$ w klasie koniugacji określonej przez ${\ displaystyle \ mu}$ . Zauważ $jest$ że to zawsze ma sens, ponieważ funkcją klasową .

Niech ${\ displaystyle \ mu}$ będzie podziałem ${\ displaystyle n}$ $to$ będzie iloczynem wielomianów sumy mocy określonych przez n ${\ displaystyle n}$ $\ displaystyle \ mu}$ zmienne. Na przykład, biorąc pod uwagę partycję , ${\ Displaystyle \ mu = ($ 3,2 $}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} p_ {\ mu} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) & = p_ {3} (x_ {1} },x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})p_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5 })\\&=(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}+x_{5}^{3 })(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2})\koniec {wyrównany}}}$

Wreszcie, ${\ displaystyle z_ {\ lambda}}$ jest zdefiniowane jako ${\ Displaystyle {\ Frac {n!} {k_ {\ lambda}}}}$ , gdzie ${\ Displaystyle k_ {\ lambda}}$ to liczność klasy koniugacji ${\ Displaystyle K_ {\ lambda} }}$ . Na przykład, gdy ${\ Displaystyle \ lambda = (2,1) \ vdash 3}$ , ${\ Displaystyle z _ {\ lambda} = {\ Frac {3!} {3}} = 2}$ . Dlatego drugą definicję można uzasadnić bezpośrednio. ${\ displaystyle \ operatorname {ch} (f)}$

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {n!}} \ suma _ {w \ w S_ {n}} f (w) p _ {\ rho (w)} = \ suma _ {\ mu \ vdash n} \frac {k_{\mu }}{n!}}f(\mu)p_{\mu}=\sum _{\mu \vdash n}z_{\mu}^{-1}f(\mu) p_{\mu}}

Nieruchomości

Iloczyn wewnętrzny i izometria

Produkt wewnętrzny hali

Iloczynem wewnętrznym pierścienia funkcji symetrycznych jest iloczyn wewnętrzny Halla. Wymagane jest, aby ${\ textstyle \ langle h_ {\ mu}, m_ {\ lambda} \ rangle = \ delta _ {\ mu \ lambda}}$ . Tutaj jest jednomianową $.$ symetryczną i iloczynem całkowicie $jednorodnych$ Dla ścisłości niech ${\ Displaystyle \ mu = (\ mu _ {1}, \ mu _ {2}, \ cdots )}$ być partycją liczby całkowitej, a następnie

{\ Displaystyle h_ {\ mu} = h_ {\ mu _ {1}} h_ {\ mu _ {2}} \ cdots.}

W szczególności, w odniesieniu do tego iloczynu wewnętrznego,

textstyle

podstawę

ortogonalną : ⟨ s_ {

} }

tworzą bazę ortonormalną :

{\ textstyle \ langle s _ {\ lambda}, _ {\ mu} \ rangle = \ delta _ {\ lambda \ mu}}, gdzie δ λ

μ

\ delta _{\lambda \mu}}

to delta Kroneckera .

Wewnętrzny produkt postaci

Niech ${\ Displaystyle f, g \ in R ^ {n}}$ , ich iloczyn wewnętrzny jest zdefiniowany jako

{\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {n} = {\ Frac {1 }{n!}}\sum _{w\in S_{n}}f(w)g(w)=\sum _{\mu \vdash n}z_{\mu }^{-1}f(\ mu )g(\mu )}

Jeśli

{\ Displaystyle f = \ suma _ {n} f_ {n}, g = \ suma _ {n} g_ {n}} ,

to

{\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ suma _ {n} \ langle f_ {n}, g_ {n} \ rangle _ {n} }

Charakterystyczna mapa Frobeniusa jako izometria

Można udowodnić, że mapa charakterystyczna Frobeniusa jest izometrią za pomocą jawnych obliczeń. Aby to pokazać, wystarczy założyć, że ${\ displaystyle f, g \ in R ^ {n}}$ :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ langle \ nazwa operatora {ch} (f), \ nazwa operatora {ch} (g) \ rangle & = \ lewo \ langle \ suma _ {\ mu \ vdash n} z _ {\ mu }^{-1}f(\mu )p_{\mu },\sum _{\lambda \vdash n}z_{\lambda }^{-1}g(\lambda )p_{\lambda }\right\ zakres \\&=\sum _{\mu ,\lambda \vdash n}z_{\mu }^{-1}z_{\lambda }^{-1}f(\mu )g(\mu )\langle p_{\mu },p_{\lambda }\rangle \\&=\sum _{\mu ,\lambda \vdash n}z_{\mu }^{-1}z_{\lambda }^{-1} f(\mu )g(\mu )z_{\mu }\delta _{\mu \lambda }\\&=\sum _{\mu \vdash n}z_{\mu }^{-1}f( \mu )g(\mu )\\&=\langle f,g\rangle \end{aligned}}}

Izomorfizm pierścienia

Mapa jest izomorfizmem między $\$ ${\ displaystyle$ mathbb { $}}$ -ring $Lambda}$ . Fakt, że ta mapa jest homomorfizmem pierścienia, można wykazać za pomocą wzajemności Frobeniusa . fa $}}$ i ${\ Displaystyle g \ w R ^ {m}}$ ,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {ch} (f \ cdot g) & = \ langle \ nazwa operatora {ind} _ {S_ {n} \ razy S_ {m}} ^ {S_ {m + n} }(f\times g),\psi \rangle _{m+n}\\&=\langle f\times g,\operatorname {res} _{S_{n}\times S_{m}}^{S_ {m+n}}\psi \rangle \\&={\frac {1}{n!m!}}\sum _{\pi \sigma \in S_{n}\times S_{m}}(f \times g)(\pi \sigma )p_{\rho (\pi \sigma )}\\&={\frac {1}{n!m!}}\sum _{\pi \in S_{n} }^{\sigma \in S_{m}}f(\pi)g(\sigma)p_{\rho (\pi)}p_{\rho (\sigma)}\\&=\left[{\frac {1}{n!}}\sum _{\pi \in S_{n}}f(\pi)\right]\left[{\frac {1}{m!}}\sum _{\sigma \ w S_{m}}g(\sigma )p_{\rho (\sigma )}\right]\\&=\operatorname {ch} (f)\operatorname {ch} (g)\end{aligned}}}

ψ ${\ Displaystyle \ psi: S_ {n} \ do \ Lambda ^ {n}}$ przez $= p_ {\ rho (w)}}$ , charakterystykę Frobeniusa można zapisać w krótszej postaci:

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {ch} (f) = \ langle f, \ psi \ rangle _ {n}, \ quad f \ w R ^ {n}.}

$W$ $reprezentacją$ jeśli $nieredukowalną$ , to wielomianem Wynika z tego $,$ $odwzorowuje$ $ortonormalną$ podstawę ortonormalną . Jest to więc izomorfizm.

Przykład

Obliczanie obrazu Frobeniusa

Niech będzie $naprzemienną$ reprezentacją $Displaystyle f (\ sigma) v =$ która jest zdefiniowana przez $($ , gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (\ sigma)}$ jest znakiem permutacji ${\ Displaystyle \ sigma}$ . Istnieją trzy klasy koniugacji , które mogą być reprezentowane przez $($ lub iloczyn trzech 1-cykli), $( 12$ $}$ (transpozycje lub iloczyny jednego 2-cyklu i jednego 1-cyklu) i $.$ cykle) Te trzy klasy koniugacji odpowiadają zatem trzem $podanym$ przez ${\ Displaystyle (1,1,1)}$ , ${\ Displaystyle (2,1)}$ , ${\ Displaystyle (3)}$ . Wartości w tych trzech klasach to $odpowiednio$ 1 $\ Displaystyle 1, -1,1}$ Dlatego: