Cykl Hodge'a

W geometrii różniczkowej cykl Hodge'a lub klasa Hodge'a jest szczególnym rodzajem klasy homologii zdefiniowanej na złożonej rozmaitości algebraicznej V lub bardziej ogólnie na rozmaitości Kählera . Klasa homologii x w grupie homologii

${\ Displaystyle H_ {k} (V, \ mathbb {C}) = H}$

gdzie V jest nieosobliwą zespoloną rozmaitością algebraiczną lub rozmaitość Kählera jest cyklem Hodge'a , pod warunkiem, że spełnia dwa warunki. Po pierwsze, k jest parzystą liczbą całkowitą $sumy$ rozkładzie bezpośredniej H , jak pokazano w teorii Hodge'a , x jest czysto typu ${\ displaystyle (p, p)}$ . Po drugie x jest klasą racjonalną w tym sensie, że leży na obrazie abelowego homomorfizmu grupowego

${\ Displaystyle H_ {k} (V, \ mathbb {Q}) \ do H}$

zdefiniowane w topologii algebraicznej (jako szczególny przypadek twierdzenia o uniwersalnym współczynniku ). Dlatego konwencjonalny termin cykl Hodge'a jest nieco niedokładny, ponieważ x jest uważane za klasę ( granice modulo ); ale to normalne użytkowanie.

Znaczenie cykli Hodge'a polega przede wszystkim na hipotezie Hodge'a , zgodnie z którą cykle Hodge'a powinny być zawsze cyklami algebraicznymi , dla V całkowitą odmianą algebraiczną . Jest to nierozwiązany problem, stan na marzec 2022 r .; wiadomo, że bycie cyklem Hodge'a jest warunkiem koniecznym , aby być cyklem algebraicznym, który jest racjonalny, i znanych jest wiele szczególnych przypadków przypuszczenia.

• „Przypuszczenie Hodge'a” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]