Modulo (matematyka)
W matematyce termin modulo („w odniesieniu do modułu”, łaciński ablatyw modułu , który sam w sobie oznacza „mała miara”) jest często używany do stwierdzenia, że dwa różne obiekty matematyczne można uznać za równoważne - jeśli ich różnica jest uwzględnione przez dodatkowy czynnik. Został on początkowo wprowadzony do matematyki w kontekście arytmetyki modularnej przez Carla Friedricha Gaussa w 1801 r. Od tego czasu termin ten zyskał wiele znaczeń - niektóre dokładne, a niektóre nieprecyzyjne (np. zrównanie „modulo” z „z wyjątkiem”). W większości termin ten często występuje w stwierdzeniach w formie:
- A jest tym samym co B modulo C
co znaczy
- A i B są takie same — z wyjątkiem różnic wyjaśnionych lub wyjaśnionych przez C.
Historia
Modulo to żargon matematyczny , który został wprowadzony do matematyki w książce Disquisitiones Arithmeticae Carla Friedricha Gaussa w 1801 roku. Biorąc pod uwagę liczby całkowite a , b i n , wyrażenie „ a ≡ b (mod n )”, wymawiane „ a jest przystające do b modulo n ”, oznacza, że a − b jest całkowitą wielokrotnością n lub równoważnie, aib dzielą tę samą resztę z dzielenia przez n . Jest to łaciński ablatyw od słowa moduł , co samo w sobie oznacza „mały środek”.
Termin zyskał wiele znaczeń na przestrzeni lat - niektóre dokładne, a niektóre nieprecyzyjne. Najbardziej ogólna precyzyjna definicja dotyczy po prostu relacji równoważności R , gdzie a jest równoważne (lub przystające) do b modulo R , jeśli aRb . Bardziej nieformalnie termin ten występuje w stwierdzeniach w postaci:
- A jest tym samym co B modulo C
co znaczy
- A i B są takie same — z wyjątkiem różnic wyjaśnionych lub wyjaśnionych przez C.
Stosowanie
Oryginalne zastosowanie
Gauss pierwotnie zamierzał użyć „modulo” w następujący sposób: biorąc pod uwagę liczby całkowite a , b i n , wyrażenie a ≡ b ( mod n ) (wymawiane „ a jest przystające do b modulo n ”) oznacza, że a - b jest wielokrotnością liczby całkowitej z n , lub równoważnie, aib pozostawiają tę samą resztę z dzielenia przez n . Na przykład:
- 13 jest przystające do 63 modulo 10
Oznacza to, że
- 13 - 63 jest wielokrotnością 10 (odpowiednik 13 i 63 różnią się wielokrotnością 10).
Przetwarzanie danych
W informatyce i informatyce termin ten może być używany na kilka sposobów:
- W obliczeniach jest to zwykle operacja modulo : biorąc pod uwagę dwie liczby (całkowite lub rzeczywiste), a i n , modulo n jest resztą z dzielenia liczbowego a przez n , przy pewnych ograniczeniach.
- W teorii kategorii stosowanej do programowania funkcjonalnego „działanie modulo” to specjalny żargon, który odnosi się do mapowania funktora na kategorię poprzez wyróżnianie lub definiowanie reszt.
Struktury
Termin „modulo” może być używany w różny sposób - w odniesieniu do różnych struktur matematycznych. Na przykład:
- Dwóch członków aib grupy jest przystających modulo normalnej podgrupy wtedy i tylko wtedy, gdy ab -1 jest członkiem normalnej podgrupy (więcej informacji można znaleźć w twierdzeniu o grupie ilorazowej i izomorfizmie ).
- Dwa człony pierścienia lub algebry są przystające modulo ideału , jeśli różnica między nimi jest w ideale.
- Używany jako czasownik, czynność wyodrębnienia normalnej podgrupy (lub ideału) z grupy (lub pierścienia) jest często nazywana „ modyfikacją …” lub „teraz modyfikujemy … ”.
- Dwa podzbiory zbioru nieskończonego są równymi zbiorami modulo skończonymi dokładnie wtedy, gdy ich różnica symetryczna jest skończona, to znaczy, że można usunąć skończoną część z pierwszego podzbioru, a następnie dodać do niej skończoną część i otrzymać w rezultacie drugi podzbiór.
- Krótka dokładna sekwencja map prowadzi do zdefiniowania przestrzeni ilorazowej jako jednej przestrzeni modulo innej; tak więc na przykład kohomologia to przestrzeń form zamkniętych modulo dokładnych form.
Modyfikacja
Ogólnie rzecz biorąc, modyfikowanie jest nieco nieformalnym terminem, który oznacza deklarowanie równoważności rzeczy, które w innym przypadku byłyby uważane za odrębne. Załóżmy na przykład, że sekwencja 1 4 2 8 5 7 ma być traktowana jako taka sama jak sekwencja 7 1 4 2 8 5, ponieważ każda z nich jest przesuniętą cyklicznie wersją drugiej:
W takim przypadku jednym z nich jest „modowanie przez cykliczne zmiany ”.