Zasadniczo wyjątkowy

W matematyce termin zasadniczo unikalny jest używany do opisania słabszej formy niepowtarzalności, w której obiekt spełniający właściwość jest „unikalny” tylko w tym sensie, że wszystkie obiekty spełniające tę właściwość są sobie równoważne. Pojęcie zasadniczej wyjątkowości zakłada pewną formę „identyczności”, która jest często sformalizowana za pomocą relacji równoważności .

Pojęcie pokrewne to właściwość uniwersalna , gdzie obiekt jest nie tylko zasadniczo unikalny, ale także unikalny aż do unikalnego izomorfizmu (co oznacza, że ​​​​ma trywialną grupę automorfizmów ). Ogólnie rzecz biorąc, może istnieć więcej niż jeden izomorfizm między przykładami zasadniczo unikalnego obiektu.

Przykłady

Teoria mnogości

Na najbardziej podstawowym poziomie istnieje zasadniczo unikalny zestaw o dowolnej liczności , niezależnie od tego, czy elementy są oznaczone jako ${\ Displaystyle \ {1,2,3 \}}$ lub ${\ Displaystyle \ {a, b, c \}}$ . W tym przypadku niejednoznaczność izomorfizmu (np. dopasowanie 1 do $1$ do $znajduje$ odzwierciedlenie w grupie symetrycznej .

Z drugiej strony istnieje zasadniczo unikalny uporządkowany zestaw o dowolnej skończonej liczności: jeśli pisze się i ${\ Displaystyle \ {1 <2 <3 \}}$ i ${ \ displaystyle \ {a <b <c \}}$ , to jedynym izomorfizmem zachowującym porządek jest ten, który odwzorowuje 1 na za $\ displaystyle a}$ 2 na ${\ displaystyle b}$ i 3 na do ${\ displaystyle$ .

Teoria liczb

Podstawowe twierdzenie arytmetyki stwierdza, że ​​faktoryzacja dowolnej dodatniej liczby całkowitej na liczby pierwsze jest zasadniczo jednoznaczna, tj. jednoznaczna aż do uporządkowania czynników pierwszych.

Teoria grup

W kontekście klasyfikacji grup istnieje zasadniczo unikalna grupa zawierająca dokładnie 2 elementy. Podobnie istnieje zasadniczo unikalna grupa zawierająca dokładnie 3 elementy: grupa cykliczna rzędu trzeciego. W rzeczywistości, niezależnie od tego, jak zdecydujemy się zapisać trzy elementy i oznaczyć operację grupową, można wykazać, że wszystkie takie grupy są względem siebie izomorficzne , a zatem są „takie same”.

Z drugiej strony nie istnieje zasadniczo unikalna grupa z dokładnie 4 elementami, ponieważ w tym przypadku są w sumie dwie grupy nieizomorficzne: grupa cykliczna rzędu 4 i grupa Kleina czterech .

Teoria miary

Istnieje zasadniczo unikalna miara, która jest niezmienna względem translacji , ściśle dodatnia i lokalnie skończona na linii rzeczywistej . W rzeczywistości każda taka miara musi być stałą wielokrotnością miary Lebesgue'a , określając, że miara przedziału jednostkowego powinna wynosić 1 - przed jednoznacznym określeniem rozwiązania.

Topologia

Istnieje zasadniczo unikalna, dwuwymiarowa, zwarta , po prostu połączona rozmaitość : 2-sfera . W tym przypadku jest unikalny aż do homeomorfizmu .

W dziedzinie topologii zwanej teorią węzłów istnieje odpowiednik podstawowego twierdzenia arytmetyki: rozkład węzła na sumę węzłów pierwszych jest w istocie unikalny.

Teoria kłamstwa

Maksymalnie zwarta podgrupa półprostej grupy Liego może nie być unikalna, ale jest unikalna aż do koniugacji.

Teoria kategorii

Obiekt, który jest granicą lub współgranicą na danym diagramie, jest zasadniczo wyjątkowy, ponieważ istnieje unikalny izomorfizm w stosunku do każdego innego ograniczającego / współograniczającego obiektu.

Teoria kodowania

Biorąc pod uwagę zadanie użycia 24- bitowych słów do przechowywania 12 bitów informacji w taki sposób, aby można było wykryć błędy 7-bitowe i poprawić błędy 3-bitowe, rozwiązanie jest zasadniczo unikalne: rozszerzony binarny kod Golaya .

Zobacz też

• Twierdzenie klasyfikacyjne
• Modulo , termin matematyczny odnoszący się do równoważności obiektów
• Własność uniwersalna
• Aż do