Cztery przyspieszenia

W teorii względności czteroprzyspieszenie to czterowektor (wektor w czterowymiarowej czasoprzestrzeni ), który jest analogiczny do przyspieszenia klasycznego ( wektor trójwymiarowy, patrz trójwymiarowe przyspieszenie w szczególnej teorii względności ). Czteroprzyspieszenie ma zastosowanie w takich dziedzinach, jak anihilacja antyprotonów , rezonans dziwnych cząstek i promieniowanie przyspieszonego ładunku.

Czterokrotne przyspieszenie we współrzędnych bezwładnościowych

$teorii$ bezwładnościowych w szczególnej $.$ czteroprzyspieszenie definiuje się jako szybkość zmian czteroprędkości w odniesieniu do właściwego czasu cząstki wzdłuż jej długości linia światowa . Możemy powiedzieć:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {A} = {\ Frac {d \ mathbf {U}} {d \ tau}} & = \ lewo (\ gamma _ {u} {\ kropka {\ gamma} }_{u}c,\,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}\mathbf {u} \right )\\&=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\,\gamma _{u}^{ 2}\mathbf {a} +\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\mathbf {u} \right )\\&=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\,\gamma _{u}^{ 4}\left(\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {u} \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {a} \right)}{c^{2}}}\ w prawo)\w prawo),\end{wyrównane}}}

Gdzie

${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ Frac {d \ mathbf {u}} {dt}}}$ z trzema przyspieszeniami i ${\ Displaystyle \ mathbf {a$ $} \displaystyle \mathbf {u}}$ trzy prędkości i
${\ Displaystyle {\ kropka {\ gamma}} _ {u} = {\ Frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u}} {c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}, }$ i
${\ Displaystyle \ gamma _ {u}}$ jest współczynnikiem Lorentza dla prędkości (z $u}$ $Displaystyle | \ mathbf {u} |$ ). Kropka nad zmienną wskazuje pochodną względem czasu współrzędnych w danym układzie odniesienia, a nie czasu właściwego innymi słowy $,$ ${\ textstyle {\ kropka {\ gamma}} _ {u} = {\ frac {d \ gamma _ {u}} {dt}}})$ .

W natychmiastowo poruszającym się bezwładnościowym układzie odniesienia ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = 0}$ , ${\ Displaystyle \ gamma _ {u} = 1}$ i ${\ Displaystyle {\ kropka {\gamma }}_{u}=0}$ , czyli w takim układzie odniesienia

{\ Displaystyle \ mathbf {A} = \ lewo (0, \ mathbf {a} \ prawo).}

Z geometrycznego punktu widzenia przyspieszenie czterokrotne jest wektorem krzywizny linii świata.

Dlatego wielkość czteroprzyspieszenia (które jest skalarem niezmiennym) jest równa właściwemu przyspieszeniu , jakie poruszająca się cząstka „odczuwa” poruszając się wzdłuż linii świata. Linia świata mająca stałe cztery przyspieszenia to koło Minkowskiego, czyli hiperbola (patrz ruch hiperboliczny )

Iloczyn skalarny czterokrotnej prędkości cząstki i jej czterokrotnego przyspieszenia wynosi zawsze 0.

Nawet przy relatywistycznych prędkościach czteroprzyspieszenie jest związane z czterema siłami :

{\ Displaystyle F ^ {\ mu} = mA ^ {\ mu},}

gdzie

m

jest niezmienną masą cząstki.

Kiedy siła czterokrotności wynosi zero, tylko grawitacja wpływa na trajektorię cząstki, a czterowektorowy odpowiednik drugiego prawa Newtona powyżej sprowadza się do równania geodezyjnego . Czterokrotne przyspieszenie cząstki wykonującej ruch geodezyjny wynosi zero. Odpowiada to grawitacji, która nie jest siłą. Przyspieszenie czterokrotne różni się od tego, co rozumiemy przez przyspieszenie zdefiniowane w fizyce newtonowskiej, gdzie grawitacja jest traktowana jako siła.

Czterokrotne przyspieszenie we współrzędnych nieinercjalnych

We współrzędnych nieinercjalnych, które obejmują współrzędne przyspieszone w szczególnej teorii względności i wszystkie współrzędne w ogólnej teorii względności , czterowektor przyspieszenia jest powiązany z czterema prędkościami za pomocą bezwzględnej pochodnej względem czasu właściwego.

{\ Displaystyle A ^ {\ lambda}: = {\ Frac {DU ^ {\ lambda}} {d \ tau }}={\frac {dU ^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}

We współrzędnych bezwładnościowych $.$ symbole Christoffela jest zgodny ze wzorem podanym

W szczególnej teorii względności współrzędne są współrzędnymi prostoliniowego układu inercjalnego, więc termin symboli Christoffela znika, ale czasami, gdy autorzy używają zakrzywionych współrzędnych w celu opisania układu przyspieszonego, układ odniesienia nie jest inercjalny, nadal będą opisywać fizykę jako szczególny relatywizm, ponieważ metryka jest tylko ramową transformacją metryki przestrzeni Minkowskiego . W takim przypadku jest to wyrażenie, którego należy użyć, ponieważ symbole Christoffela nie są już zerami.

Zobacz też

Papapetrou A. (1974). Wykłady z ogólnej teorii względności . Wydawnictwo D. Reidel. ISBN 90-277-0514-3 .
Rindler, Wolfgang (1991). Wprowadzenie do szczególnej teorii względności (2.) . Oksford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5 .

Linki zewnętrzne

Wektor krzywizny na Britannica