Przyspieszenie (szczególna teoria względności)

Przyspieszenia w szczególnej teorii względności ( SR) wynikają, podobnie jak w mechanice Newtona , z różniczkowania prędkości względem czasu . Z powodu transformacji Lorentza i dylatacji czasu pojęcia czasu i odległości stają się bardziej złożone, co prowadzi również do bardziej złożonych definicji „przyspieszenia”. SR jako teoria płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego zachowuje ważność w obecności przyspieszeń, ponieważ ogólna teoria względności (GR) jest wymagana tylko wtedy, gdy występuje zakrzywienie czasoprzestrzeni spowodowane przez tensor energii i pędu (który jest głównie określony przez masę ). Jednakże, ponieważ wielkość krzywizny czasoprzestrzeni nie jest szczególnie duża na Ziemi lub w jej pobliżu, SR zachowuje ważność dla większości praktycznych celów, takich jak eksperymenty w akceleratorach cząstek .

Można wyprowadzić wzory transformacji dla przyspieszeń zwykłych w trzech wymiarach przestrzennych (przyspieszenie trójwymiarowe lub przyspieszenie współrzędnościowe) mierzonych w zewnętrznym inercjalnym układzie odniesienia , a także dla szczególnego przypadku przyspieszenia właściwego mierzonego przez współprzemieszczający się akcelerometr . Innym użytecznym formalizmem jest czteroprzyspieszenie , ponieważ jego składowe można połączyć w różnych układach inercjalnych za pomocą transformacji Lorentza. Można również równania ruchu łączące przyspieszenie i siłę . Równania dla kilku form przyspieszenia ciał i ich zakrzywionych linii świata wynikają z tych wzorów przez całkowanie . Dobrze znanymi przypadkami specjalnymi są ruch hiperboliczny dla stałego wzdłużnego przyspieszenia właściwego lub ruch jednostajny po okręgu . Ostatecznie możliwe jest również opisanie tych zjawisk w układach przyspieszonych w kontekście szczególnej teorii względności, patrz Właściwy układ odniesienia (płaska czasoprzestrzeń) . W takich układach powstają efekty analogiczne do jednorodnych pól grawitacyjnych , które mają pewne formalne podobieństwa do rzeczywistych, niejednorodnych pól grawitacyjnych zakrzywionej czasoprzestrzeni w ogólnej teorii względności. W przypadku ruchu hiperbolicznego można użyć współrzędnych Rindlera , w przypadku ruchu jednostajnego po okręgu można użyć współrzędnych Borna .

Jeśli chodzi o rozwój historyczny, równania relatywistyczne zawierające przyspieszenia można znaleźć już we wczesnych latach teorii względności, co podsumowano we wczesnych podręcznikach Maxa von Laue (1911, 1921) lub Wolfganga Pauli (1921). Na przykład równania transformacji ruchu i przyspieszenia zostały opracowane w pracach Hendrika Antoona Lorentza (1899, 1904), Henri Poincaré (1905), Alberta Einsteina (1905), Maxa Plancka (1906) oraz czteroprzyspieszenie, przyspieszenie właściwe, ruch hiperboliczny, przyspieszające układy odniesienia, sztywność Borna , były analizowane przez Einsteina (1907), Hermanna Minkowskiego (1907, 1908), Maxa Borna (1909), Gustava Herglotza (1909), Arnolda Sommerfelda (1910), von Laue (1911) , Friedrich Kottler (1912, 1914), patrz rozdział poświęcony historii .

Trzy przyspieszenia

Zgodnie zarówno z mechaniką Newtona, jak i SR, trzy przyspieszenia lub przyspieszenia współrzędnych ${\ Displaystyle \ mathbf {a} = \ lewo (a_ {x}, \ a_ {y}, \ a_ {z} \ prawej)}$ jest pierwszą pochodną prędkości ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ lewo (u_ {x}, \ u_ {y}, \ u_ {z} \ prawej)}$ w odniesieniu do współrzędnych czasu lub drugiej pochodnej lokalizacji ${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ lewo (x, \ y, \ z \ po prawej)}$ w odniesieniu do współrzędnych czasu:

${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ Frac {d \ mathbf {u}} {dt}} = {\ Frac {d ^ {2} \ mathbf { r} }{dt^{2}}}}$ .

Jednak teorie różnią się znacznie w swoich przewidywaniach pod względem relacji między trzema przyspieszeniami mierzonymi w różnych układach inercjalnych. W mechanice Newtona czas jest bezwzględny zgodnie z transformacją Galileusza , dlatego wyprowadzone z niego trzy przyspieszenie jest równe również we wszystkich układach inercjalnych: ${\ displaystyle t'=t}$

${\ Displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {a} '}$ .

Wręcz przeciwnie, w SR zarówno, jak ${$ zależą od transformacji Lorentza, a zatem także trzy przyspieszenie $jego$ składowe różnią się w zależności od $\ displaystyle \ mathbf {r}}$ różne układy inercjalne. Kiedy względna prędkość $_$$1$ = 1 jako czynnik Lorentza , transformacja Lorentza ma postać

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | c} {\ rozpocząć {wyrównane} x '& = \ gamma _ {v} (x-vt )\\y'&=y\\z'&=z\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {v}{c^{2}}} x\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}x&=\gamma _{v}(x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'\right)\end{wyrównane}}\end{tablica}}}$

 

 

 

 

()

lub dla dowolnych prędkości ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ lewo (v_ {x}, \ v_ {y}, \ v_ {z} \ prawej)$ } wielkości ${\ Displaystyle |\ mathbf {v} |= v}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | c} {\ rozpocząć {wyrównane }\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r\cdot v} \right)}{v^{2}}} \left(\gamma _{v}-1\right)-t\gamma _{v}\right]\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac { \mathbf {r\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+\mathbf { v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r'\cdot v} \right)}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)+t' \gamma _{v}\right]\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {\mathbf {r'\cdot v}}}{c^{2}}}\right) \end{wyrównane}}\end{tablica}}}$

 

 

 

 

()

Aby znaleźć transformację trzech przyspieszeń, należy rozróżnić współrzędne przestrzenne $}}$ Lorentza względem t r $}$$\ displaystyle$ t $t '}$ , z którego transformacja trzech prędkości (zwana także dodawania prędkości ) między ${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$ i $u} '}$${\ Displaystyle \ mathbf$ { następuje i ostatecznie przez inne zróżnicowanie w odniesieniu do $\$ ′ $displaystyle t'}$ transformacja trzech przyspieszeń między $displaystyle \ mathbf {a}$${\ Displaystyle \ mathbf {a} '}$ następuje. Wychodząc od ( 1a ), ta procedura daje transformację, w której przyspieszenia są równoległe (kierunek x) lub prostopadłe (kierunek y, z) do prędkości:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | c} {\ rozpocząć {wyrównane} a_ {x} ^ {\ pierwsza} & = {\ Frac {a_ {x}} {\ gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}^{\prime }&={\frac {a_{y}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^ {2}}}+{\frac {a_{x}{\frac {u_{y}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{ \frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}^{\prime }&={\frac {a_{z}}{\ gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {a_{x} {\frac {u_{z}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2 }}}\right)^{3}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&={\frac {a_{x}^{\prime }}{\gamma _{ v}^{3}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}& ={\frac {a_{y}^{\prime}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime}v}{c^{ 2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{y}^{\prime}v}{c^{2}}} }{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\ \a_{z}&={\frac {a_{z}^{\prime}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime} v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{z}^{\prime }v}{c ^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\right)^ {3}}}\end{wyrównane}}\end{tablica}}}$

 

 

 

 

()

lub wychodząc z ( 1b ) ta procedura daje wynik dla ogólnego przypadku dowolnych kierunków prędkości i przyspieszeń:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {a} '&={\frac {\mathbf {a}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u}}}{c^{ 2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a\cdot v)v} \left(\gamma _{v}-1\right)}{v^{2} \gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{3}}}+{\frac { \mathbf {(a\cdot v)u} }{c^{2}\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{ 2}}}\right)^{3}}}\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {a} '}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{ \frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)v} \left( \gamma _{v}-1\right)}{v^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^ {2}}}\right)^{3}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)u} '}{c^{2}\gamma _{v}^{2}\ left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{wyrównane}}}$

 

 

 

 

()

Oznacza to, że jeśli istnieją dwa układy bezwładnościowe $i$ z $displaystyle$ względną , to w $S}$$\ displaystyle \ mathbf {a}}$$\$ przyspieszenie $v}}$$obiektu$ z chwilową prędkością $\$ mierzona, podczas gdy w tym samym ten sam obiekt ma przyspieszenie ${a} '}$${\ displaystyle$ i ma chwilową prędkość ${\ Displaystyle \ mathbf {u} '}$ . Podobnie jak w przypadku wzorów na dodawanie prędkości, również te przekształcenia przyspieszenia gwarantują, że wypadkowa prędkość przyspieszanego obiektu nigdy nie osiągnie ani nie przekroczy prędkości światła .

Cztery przyspieszenia

Główny artykuł: Cztery przyspieszenia

Jeśli cztery wektory są $używane$ zamiast trzech wektorów, a mianowicie $przyspieszenia$ cztery pozycje i jako prędkości , to cztery ${\ Displaystyle \ mathbf {A} = \ lewo (A_ {t}, \ A_ {x}, \ A_ {y}, \ A_ {z} \ right) = \ lewo (A_ {t}, \ \ mathbf {A} _ {r} \ right)}$ obiektu uzyskuje się przez różniczkowanie względem czasu właściwego ${\ Displaystyle \ mathbf { \tau } }$ zamiast współrzędnych czasu:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {A} & = {\ Frac {d \ mathbf {U}} {d \ tau}} = {\ Frac {d ^ {2} \ mathbf { R} }{d\tau ^{2}}}=\left(c{\frac {d^{2}t}{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2} \mathbf {r} }{d\tau ^{2}}}\right)\\&=\left(\gamma ^{4}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a}}}{ c}},\ \gamma ^{4}{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}+\gamma ^{2} \mathbf {a} \right)\end{wyrównane}}}$

 

 

 

 

()

gdzie jest trzykrotnym przyspieszeniem obiektu i $trzema$$|$ prędkościami ${\ Displaystyle |\ mathbf {u} |= u}$ z odpowiednim współczynnikiem Lorentza ${\ Displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1-u ^ {2} /c^{2}}}}$ . $x)$ tylko część przestrzenną i gdy prędkość jest skierowana w kierunku x przez lub prostopadłe (y-, -kierunek) do prędkości są brane pod uwagę, wyrażenie sprowadza się do:

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {r} = \ mathbf {a} \ lewo (\ gamma ^ {4}, \ \ gamma ^ {2}, \ \gamma ^{2}\right)}$

W przeciwieństwie do omówionego wcześniej trzech przyspieszeń, nie jest konieczne wyprowadzanie nowej transformacji dla czterech przyspieszeń, ponieważ podobnie jak w przypadku wszystkich czterech wektorów, składowe i ZA {\ displaystyle $mathbf {A} '}$ mathbf $}$$A$ w dwóch układach inercjalnych o względnej prędkości $połączone$ transformacją Lorentza analogiczną do ( 1a , 1b ). Inną właściwością czterech wektorów jest niezmienność iloczynu wewnętrznego ${\ Displaystyle \ mathbf {A} ^ {2} = - A_ {t} ^ {2} + \ mathbf { A} _{r}^{2}}$ lub jego wielkość ${\ Displaystyle |\ mathbf {A} |= {\ sqrt {\ mathbf {A} ^ {2}}}}$ , co w tym przypadku daje:

${\ Displaystyle | \ mathbf {A} '| = | \ mathbf {A} | = {\ sqrt {\ gamma ^ {4} \ lewo [ \mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right] }}}$ .

 

 

 

 

()

Właściwe przyspieszenie

Główny artykuł: Właściwe przyspieszenie

W nieskończenie małych czasach trwania zawsze istnieje jeden układ inercjalny, który chwilowo ma taką samą prędkość jak przyspieszone ciało i w którym zachodzi transformacja Lorentza. Odpowiednie trzy przyspieszenia ${\ Displaystyle \ mathbf {a} ^ {0} = \ lewo (a_ {x} ^ {0}, \ a_ {y} ^ {0 },\ a_{z}^{0}\right)}$ w tych klatkach można bezpośrednio zmierzyć akcelerometrem i nazywa się to przyspieszeniem właściwym lub przyspieszeniem spoczynkowym. Za $Displaystyle \ mathbf {a} ^ {0}}$ w chwilowym układzie inercjalnym $\ Displaystyle$ a $\ mathbf {a}} mierzony w zewnętrznym układzie inercjalnym S {\ displaystyle \ mathbf$ a $} displaystyle S}$ wynika z ( 1c , 1d ) gdzie za $\ Displaystyle \ mathbf {a} '= \ mathbf {a} ^ {0}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbf {u} '= 0 }$ , ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {v}}$ i ${\ Displaystyle \ gamma = \ gamma _ {v}}$ . Więc jeśli chodzi o ( 1c ), gdy prędkość jest skierowana w kierunku x przez ${x}}$ v_ (kierunek x) lub prostopadły (kierunek y, z) do prędkości są brane pod uwagę, co następuje:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | c | cc} {\ rozpocząć {wyrównane} a_ {x} ^ {0} i = {\ Frac {a_ {x} }{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}\\a_{y}^{0}&={\ frac {a_{y}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\a_{z}^{0}&={\frac {a_{z} }{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&=a_{x}^{0 }\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}\\a_{y}&=a_{y}^{0}\ left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)\\a_{z}&=a_{z}^{0}\left(1-{\frac { u^{2}}{c^{2}}}\right)\end{wyrównane}}&{\text{or}}&{\begin{wyrównane}\mathbf {a} ^{0}&=\ mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)\\\mathbf {a} &=\mathbf {\mathbf {a}} ^{0}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma ^{2}}},\ {\frac {1}{\gamma ^{2}}}\right)\end{wyrównane}}\end{tablica}}}$

 

 

 

 

()

$Uogólnione$ przez ( 1d ) dla kierunków wielkości ${\ Displaystyle |\ mathbf {u} |= u}$ :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane}\mathbf {a} ^{0}&=\gamma ^{2}\left[\mathbf {a} +{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf { u} }{u^{2}}}\left(\gamma -1\right)\right]\\\mathbf {a} &={\frac {1}{\gamma ^{2}}}\left [\mathbf {a} ^{0}-{\frac {(\mathbf {a} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left( 1-{\frac {1}{\gamma}}\right)\right]\end{wyrównane}}}$

$\ mathbf { ZA} _ {r} ^ {\ pierwsza} = \ mathbf {a} ^ {0}}$$displaystyle$ je określić w chwilowym układzie inercjalnym , w którym i przez ${\ Displaystyle dt'/d \ tau = 1}$ wynika ${\ Displaystyle d ^ {2} t '/ d \ tau ^ {2} = A_ {t} ^ {\ liczba pierwsza} = 0}$ :

${\ Displaystyle |\ mathbf {A} '| = {\ sqrt {0+ \ lewo. \ mathbf {a} ^ {0} \ prawo. ^ {2}}} = | \ mathbf {a} ^ {0} |}$ .

 

 

 

 

()

Zatem wielkość czterokrotnego przyspieszenia odpowiada wielkości przyspieszenia właściwego. Łącząc to z ( 2b ), alternatywną metodą określania związku między ${\ Displaystyle \ mathbf {a} ^ {0}}$ w ${\ Displaystyle S'}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {a} } }$ w $jest$ , a mianowicie

${\ Displaystyle |\ mathbf {a} ^ {0} | = | \ mathbf {A} | = {\ sqrt {\ gamma ^ {4} \left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2} \Prawidłowy]}}}$

z czego ( 3a ) następuje ponownie, gdy prędkość jest skierowana w kierunku x przez $)$ tylko przyspieszenia równoległe (kierunek x) lub prostopadłe (kierunek ) do prędkości są brane pod uwagę.

Przyspieszenie i siła

Dalsze informacje: Mechanika relatywistyczna § Siła i Masa w szczególnej teorii względności

$Zakładając$ stałą masę czterosiła jako funkcja trzech sił $}$ związana z czterema przyspieszeniami ( 2a ) $}$ przez ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {A}}$ , zatem:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} =\left(\gamma {\frac {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }{c}},\ \gamma \mathbf {f} \right)=m\mathbf {A} =m\left (\gamma ^{4}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right),\ \gamma ^{4}\left({\frac {\ mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c^{2}}}\right)\mathbf {u} +\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)}$

 

 

 

 

()

Zależność między trzema siłami i trzema przyspieszeniami dla dowolnych kierunków prędkości jest taka

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {f} &=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\ gamma \mathbf {a} \\\mathbf {a} &={\frac {1}{m\gamma }}\left(\mathbf {f} -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)\end{wyrównane}}}$

 

 

 

 

()

Gdy prędkość jest skierowana w kierunku x przez $u x {\ displaystyle u = u_ {x$ uwzględniane są tylko przyspieszenia równoległe (kierunek x) lub prostopadłe (kierunek y, z) do prędkości u

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | c | cc} {\ rozpocząć {wyrównane} f_ {x} & = {\ Frac {ma_ {x}} {\ lewo (1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}\\f_{y}&={\frac {ma_{y}}{ \sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\\f_{z}&={\frac {ma_{z}}{\sqrt {1-{ \frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&={\frac {f_{x}}{m }}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}\\a_{y}&={\frac {f_{y} }{m}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\a_{z}&={\frac {f_{z}}{m }}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{wyrównane}}&{\text{or}}&{\begin{wyrównane}\ mathbf {f} &=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma,\ \gamma \right)\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma}},\ {\frac {1}{\gamma }}\ po prawej)\end{wyrównane}}\end{tablica}}}$

 

 

 

 

()

Dlatego Newtonowska definicja masy jako stosunku trzech sił i trzech przyspieszeń jest w SR niekorzystna, ponieważ taka masa zależałaby zarówno od prędkości, jak i kierunku. W związku z tym następujące definicje mas stosowane w starszych podręcznikach nie są już używane:

${\ Displaystyle m _ {\ Vert} = {\ Frac {f_ {x}} {a_ {x}}} = m \ gamma ^ {3}}$ jako „masa podłużna” ,

${\ Displaystyle m _ {\ sprawca} = {\ Frac {f_ {y}} {a_ {y}}} = {\ Frac {f_ {z} }{a_{z}}}=m\gamma }$ jako „masę poprzeczną”.

Zależność ( 4b ) pomiędzy trzema przyspieszeniami i trzema siłami można również otrzymać z równania ruchu

${ \ Displaystyle \ mathbf {f} = {\ Frac {d \ mathbf {p} }{ dt}} = {\ frac {d (m \ gamma \ mathbf {u})} {dt}} = {\ frac {d (m\gamma)}{dt}}\mathbf {u} +m\gamma {\frac {d\mathbf {u}}}{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {( \mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} }$

 

 

 

 

()

gdzie $.$ trzema pędami $kiedy$ transformacja $trzech$ sił między $w$ _ $_$ _ prędkość względna między klatkami jest skierowana w kierunku x przez ${\ displaystyle v = v_ {x}}$ i tylko przyspieszenia równoległe (kierunek x) lub prostopadłe (kierunek y, z) do prędkości są rozważane) następuje przez podstawienie odpowiednich wzorów transformacji dla , za $\ mathbf {a$ \ $}}$ , ${\ Displaystyle m \ gamma}$ , ${\ Displaystyle d (m \ gamma) / dt}$ lub z przekształconych przez Lorentza składowych siły czterech, z wynikiem:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | c} {\ rozpocząć {wyrównane} f_ {x} ^ {\ pierwsza} & = {\ frac {f_{x}-{\frac {v}{c^{2}}}(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )}{1-{\frac {u_{x}v}{ c^{2}}}}}\\f_{y}^{\prime}&={\frac {f_{y}}{\gamma _{v}\left(1-{\frac {u_{x }v}{c^{2}}}\right)}}\\f_{z}^{\prime }&={\frac {f_{z}}{\gamma _{v}\left(1- {\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {f_{x} ^{\prime}+{\frac {v}{c^{2}}}(\mathbf {f} ^{\prime}\cdot \mathbf {u} ^{\prime})}{1+{\ frac {u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}}}\\f_{y}&={\frac {f_{y}^{\prime}}{\gamma _{ v}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\right)}}\\f_{z}&={\frac {f_{z } ^{\prime }}{\gamma _{v}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)}}\end{ wyrównane}}\end{tablica}}}$

 

 

 

 

()

$uogólnione$ dla dowolnych kierunków $a$ także z wielkością ${\ Displaystyle |\ mathbf {v} |= v}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {f} '&={\frac {{\frac {\mathbf {f}}}{\gamma _{v}}}-\left\{(\mathbf {f\cdot u} ){\frac {v^{2} }{c^{2}}}-(\mathbf {f\cdot v} )\left(1-{\frac {1}{\gamma _{v}}}\right)\right\}{\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}}{1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}}}\\\mathbf {f} & ={\frac {{\frac {\mathbf {f} '}{\gamma _{v}}}+\left\{(\mathbf {f'\cdot u} '){\frac {v^{2 }}{c^{2}}}+(\mathbf {f'\cdot v} )\left(1-{\frac {1}{\gamma _{v}}}\right)\right\}{ \frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}}{1+{\frac {\mathbf {v\cdot u'} }{c^{2}}}}}\end{wyrównane} }}$

 

 

 

 

()

Właściwe przyspieszenie i odpowiednia siła

Siłę $równowagę$ chwilowej klatce bezwładnościowej mierzoną przez poruszającą się sprężynową można nazwać siłą właściwą. Wynika to z ( 4e , 4f ) przez ustawienie ${\ Displaystyle \ mathbf {f} '= \ mathbf {f} ^ {0}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {u} '= 0}$ jak również ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {v}}$ i ${\ Displaystyle \ gamma = \ gamma _ {v}}$ . Zatem przez ( 4e ), gdzie tylko przyspieszenia równoległe (kierunek x) lub prostopadłe (kierunek y, z) do prędkości ${\ displaystyle u = u_ {x} = v = v_ { x}}$ są brane pod uwagę:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | c | cc} {\ rozpocząć {wyrównane} f_ {x}^{0}&=f_{x}\\f_{y}^{0}&={\frac {f_{y}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}} {c^{2}}}}}}\\f_{z}^{0}&={\frac {f_{z}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c ^{2}}}}}}\end{wyrównane}}&{\begin{wyrównane}f_{x}&=f_{x}^{0}\\f_{y}&=f_{y}^{ 0}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\f_{z}&=f_{z}^{0}{\sqrt {1- {\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{wyrównane}}&{\text{or}}&{\begin{wyrównane}\mathbf {f} ^{0} &=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac { 1}{\gamma}},\ {\frac {1}{\gamma}}\right)\end{wyrównane}}\end{tablica}}}$

 

 

 

 

()

$Uogólnione$ przez ( 4f ) dla dowolnych wielkości ${\ Displaystyle |\ mathbf {u} |= u}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {f } ^{0}&=\mathbf {f} \gamma -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}(\gamma -1)\\\mathbf {f} &={\frac {\mathbf {f} ^{0}}{\gamma}}+{\frac {(\mathbf {f} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma}}\right)\end{wyrównane}}}$

$A.$${\ Displaystyle \ mathbf {A} = \ lewo (0, \, \ mathbf {a} ^ {0} \ prawej)}$ cztery siły cztery , równanie ( 4a ) daje relację Newtona ${\ Displaystyle \mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}}$ , zatem ( 3a , 4c , 5a ) można podsumować

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {f} ^ {0} & = \ mathbf {f} \ lewo (1, \ \ gamma, \ \ gamma \ prawo )=m\mathbf {a} ^{0}=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)\\\ mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma}},\ {\frac {1}{\gamma}}\right)=m \mathbf {a} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma}}\right)=m\mathbf {a} \ left(\gamma ^{3},\ \gamma ,\ \gamma \right)\end{wyrównane}}}$

 

 

 

 

()

$W ten sposób$ można wyjaśnić pozorną sprzeczność w historycznych definicjach masy Einstein (1905) opisał zależność między trzema przyspieszeniami a siłą własną

${\ sprawca \ \ operatorname {Einstein}} = {\ Frac {f_ {y} ^ {0 }}{a_{y}}}={\frac {f_{z}^{0}}{a_{z}}}=m\gamma ^{2}}$ ,

podczas gdy Lorentz (1899, 1904) i Planck (1906) opisali związek między trzema przyspieszeniami a trzema siłami

$\ Displaystyle m _ {\ perp \ \ operatorname {Lorentz}} = {\ Frac {f_ {y}} {a_ {$ .

Zakrzywione linie świata

Dalsze informacje: Równania czasoprzestrzenne Freneta-Serreta , ruch hiperboliczny i sztywność Borna

Całkując równania ruchu otrzymuje się zakrzywione linie świata przyspieszonych ciał odpowiadające ciągowi chwilowych układów inercjalnych (tutaj wyrażenie „krzywy” odnosi się do postaci linii świata na diagramach Minkowskiego, których nie należy mylić z „zakrzywiona” czasoprzestrzeń ogólnej teorii względności). W związku z tym należy rozważyć tak zwaną hipotezę zegara postulatu zegara: Czas własny współporuszających się zegarów jest niezależny od przyspieszenia, to znaczy dylatacja czasu tych zegarów widziana w zewnętrznym układzie inercjalnym zależy tylko od jego prędkość względna względem tego układu. Dwa proste przypadki zakrzywionych linii świata są teraz dostarczane przez całkowanie równania ( 3a ) dla właściwego przyspieszenia:

a) Ruch hiperboliczny : stałe, wzdłużne przyspieszenie właściwe przez ( 3a ) ${\ Displaystyle \ alpha = a_ {x} ^ {0} = a_ {x} \ gamma ^ {3}}$ prowadzi do linii świata

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i t (\ tau) = {\ Frac { c}{\alpha}}\sinh {\frac {\alpha \tau}}{c}}\quad x(\tau)={\frac {c^{2}}{\alpha}}\left(\ cosh {\frac {\alpha \tau}{c}}-1\right),\quad y=0,\quad z=0,\\&\tau (t)={\frac {c}{\alpha }}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}+{\frac {\alpha t}{c}} \right),\quad x(t)={\frac {c^{2}}{\alpha}}\left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}} \right)^{2}}}-1\right)\end{aligned}}}$

 

 

 

 

()

do $^ {2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}t^{2}}$ t , od którego pochodzi nazwa ruch hiperboliczny. Równania te są często używane do obliczania różnych scenariuszy paradoksu bliźniąt lub paradoksu statku kosmicznego Bella lub w odniesieniu do podróży kosmicznych przy użyciu stałego przyspieszenia .

b) Stałe, poprzeczne przyspieszenie właściwe przez ( 3a ) można postrzegać jako przyspieszenie dośrodkowe , ${\ Displaystyle a_ {y} ^ {0} = a_ {y} \ gamma ^ {2}$ prowadząc do linii świata ciała w ruchu jednostajnym

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = r \ cos \ omega _ {0} t = r \ cos \ omega \ tau \\ y & = r \ sin \ omega _ {0} t = r \ sin \Omega \tau \\z&=z\\t&=\gamma \tau ={\frac {\tau}}{\sqrt {1-\left({\frac {r\Omega _{0}}{c}} \right)^{2}}}}=\tau {\sqrt {1+\left({\frac {r\Omega}}{c}}\right)^{2}}}\end{wyrównane}}}$

 

 

 

 

()

gdzie jest prędkością styczną $Omega$ jest promieniem orbity, prędkością kątową jako v $r$$_ {0}}$ funkcja współrzędnych czasu $kątowa$ prędkość

Klasyfikację zakrzywionych linii świata można uzyskać za pomocą geometrii różniczkowej potrójnych krzywych, które można wyrazić za pomocą czasoprzestrzennych wzorów Freneta-Serreta . W szczególności można wykazać, że ruch hiperboliczny i ruch jednostajny po okręgu są szczególnymi przypadkami ruchów o stałych krzywiznach i skrętach , spełniających warunek sztywności Borna . Ciało nazywamy urodzonym sztywnym, jeśli odległość czasoprzestrzenna między jego nieskończenie małymi liniami świata lub punktami pozostaje stała podczas przyspieszania.

Przyspieszone układy odniesienia

Główne artykuły: Właściwy układ odniesienia (płaska czasoprzestrzeń) , współrzędne Rindlera i współrzędne Borna

Zamiast układów bezwładnościowych te przyspieszone ruchy i zakrzywione linie świata można również opisać za pomocą przyspieszonych lub krzywoliniowych współrzędnych . Ustalony w ten sposób właściwy układ odniesienia jest ściśle powiązany ze współrzędnymi Fermiego . Na przykład współrzędne hiperbolicznie przyspieszonego układu odniesienia są czasami nazywane współrzędnymi Rindlera , a współrzędne jednostajnie obracającego się układu odniesienia nazywane są obrotowymi współrzędnymi cylindrycznymi (lub czasami współrzędnymi Borna ). Pod względem zasady równoważności efekty powstające w tych przyspieszonych układach są analogiczne do efektów w jednorodnym, fikcyjnym polu grawitacyjnym. W ten sposób widać, że zastosowanie ramek przyspieszających w SR daje ważne zależności matematyczne, które (po rozwinięciu) odgrywają fundamentalną rolę w opisie rzeczywistych, niejednorodnych pól grawitacyjnych w kategoriach zakrzywionej czasoprzestrzeni w ogólnej teorii względności.

Historia

Aby uzyskać więcej informacji, patrz von Laue, Pauli, Miller, Zahar, Gourgoulhon i źródła historyczne w historii szczególnej teorii względności .

1899:

Hendrik Lorentz wyprowadził prawidłowe (do pewnego współczynnika $relacje$ dla przyspieszeń, sił i mas między spoczynkowymi elektrostatycznymi układami cząstek ( w stacjonarnym eterze ) ${\ displaystyle S_ {0}$ } i wyłaniający się z niego system przez dodanie tłumaczenia, z czynnikiem Lorentza:

$}}$ , ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {k \ epsilon ^ {2}}}}$ , ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {k \ epsilon ^ {2}} }}$ dla ${\ Displaystyle \ mathbf {f} /\ mathbf {f} ^ {0}}$ przez ( 5a );

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {k ^ {3} \ epsilon}}}$ , ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {k ^ {2} \ epsilon}}}$ , ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {k ^ {2} \ epsilon}}}$ przez ( 3a) za ${\ Displaystyle \ mathbf {a} / \ mathbf {a} ^ {0}$ );

${\ Displaystyle {\ Frac {k ^ {3}} {\ epsilon}}}$ , ${\ Displaystyle {\ Frac {k} {\ epsilon}}}$ , ${\ epsilon}}}$${\ Displaystyle {\ frac {$$;$ dla o ( 4c )

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\$

$epsilon$${2}$

Lorentz wyjaśnił, że nie ma możliwości określenia wartości ${\ displaystyle \ epsilon}$ . Gdyby ustawił $,$ wyrażenia przyjęłyby dokładnie relatywistyczną

1904:

Lorentz wyprowadził poprzednie zależności w bardziej szczegółowy sposób, a mianowicie w odniesieniu do właściwości cząstek spoczywających w układzie i układzie ruchomym ${\ Displaystyle \ Sigma '$ z nowym pomocniczym $}$${\ Displaystyle l}$ równa się ${\ Displaystyle 1/\ epsilon} w porównaniu$ do tej z 1899 roku, więc:

${\ Displaystyle {\ mathfrak {F}} (\ Sigma) = \ lewo (l ^ {2}, \ {\ Frac {l ^ {2}}} {k}}, \ {\ Frac {l ^ {2} }} {k}} \ prawej) {\ mathfrak {F}} (\ Sigma ')}$ dla ${\ Displaystyle \ mathbf {f}}$ jako funkcja ${\ Displaystyle \ mathbf {f} ^ {0} }$ przez ( 5a );

${\ Displaystyle m {\ mathfrak {j}} (\ Sigma) = \ lewo (l ^ {2}, \ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right)m{\mathfrak {j}}(\Sigma ')}$ dla ${\ Displaystyle m \ mathbf {a}}$ jako funkcja ${\ Displaystyle m \ mathbf {a} ^ {0}}$ przez ( 5b );

${\ Displaystyle {\ mathfrak {j}} (\ Sigma) = \ lewo ({\ Frac {l} {k ^ {3}}},\ {\frac {l}{k^{2}}},\ {\frac {l}{k^{2}}}\right){\mathfrak {j}}(\Sigma ')}$ dla za $\ Displaystyle \ mathbf {a}}$ jako funkcja za $\ Displaystyle \ mathbf {a} ^ {0}}$ przez ( 3a );

${\ Displaystyle m (\ Sigma) = \ lewo (k ^ {3} l, \ kl, \ kl \ prawej) m ( \Sigma ')}$ dla masy podłużnej i poprzecznej w funkcji masy spoczynkowej przez ( 4c , 5b ).

Tym razem Lorentz mógł pokazać, że $.$ przybierają dokładnie relatywistyczną

$_$ e ${\ Displaystyle {\ Displaystyle {\ mathfrak {G}} = {\ Frac {e ^ {2}} {6 \ pi c ^ {2} R}} kl {\ mathfrak { w}}}},$

równanie

co odpowiada ( 4d ) gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {f} = {\ Frac {d \ mathbf {p}} {dt} } = {\ Frac {d (m \ gamma \ mathbf {u})} {dt}}}$ z ${\ Displaystyle l = 1}$ , ${\ Displaystyle {\ mathfrak {F}} = \ mathbf {f}}$ , ${\ Displaystyle {\ mathfrak {G}} = \ mathbf {p}}$ , ${\ Displaystyle {\ mathfrak {w}} = \ mathbf {u}}$ , ${\ Displaystyle k = \ gamma}$ i ${\ Displaystyle e ^ {2} / (6 \ pi c ^ {2} R) = m}$ jako reszta elektromagnetyczna masa . Ponadto argumentował, że te wzory powinny obowiązywać nie tylko dla sił i mas cząstek naładowanych elektrycznie, ale także dla innych procesów, tak aby ruch Ziemi przez eter pozostał niewykrywalny.

1905:

Henri Poincaré wprowadził transformację trzech sił ( 4e ):

$l$

${\ Displaystyle X_ {1} ^ {\ pierwsza} = {\ Frac {k} {l ^ {3}}} {\ Frac {\ rho} {\ rho ^ {\ pierwsza }}}\left(X_{1}+\epsilon \Sigma X_{1}\xi \right),\quad Y_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\ pierwsza }}}{\frac {Y_{1}}{l^{3}}},\quad Z_{1}^{\pierwsza}={\frac {\rho }{\rho ^{\pierwsza}}$

$Displaystyle {\ Frac {\ rho} {\ rho ^ {\$ = i ${\ Displaystyle k}$ jako współczynnik Lorentza, gęstość ładunku jest ${\ Displaystyle \ rho}$ . Lub we współczesnej notacji: ${\ Displaystyle \ epsilon = v}$ , ${\ Displaystyle \ xi = u_ {x}}$ , ${\ Displaystyle \ lewo (X_ {1}, \ Y_ {1}, \ Z_ {1} \ prawej) = \ mathbf {f}}$ i ${\ Displaystyle \ Sigma X_ {1} \ xi = \ mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$ . Jako Lorentz wyznaczył ${\ displaystyle l = 1}$ .

1905:

Albert Einstein wyprowadził równania ruchu na podstawie swojej szczególnej teorii względności, które przedstawiają zależność między równie ważnymi układami inercjalnymi bez działania mechanicznego eteru. Einstein doszedł do wniosku, że w chwilowym układzie inercjalnym $re$ ruchu zachowują swoją newtonowską postać

${\ Displaystyle \ mu {\ Frac {d ^ {2} \ xi} {d \ tau ^ {2}}} = \ epsilon X ', \ quad \ mu {\ Frac { d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Y',\quad \mu {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}} =\epsilon Z'}$ .

Odpowiada to ${\ Displaystyle \ mathbf {f} ^ {0} = m \ mathbf {a} ^ {0}}$ , ponieważ ${\ Displaystyle \ mu = m}$ i ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {d ^ {2} \ xi} {d \ tau ^ {2}}}, \ { \frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}\right)=\ mathbf {a} ^ {0}}$ i ${\ Displaystyle \ lewo (\ epsilon X ', \ \ epsilon Y', \ \ epsilon Z' \ prawej) =\mathbf {f} ^{0}}$ . Przekształcając go w względnie poruszający się układ, $uzyskał$ równania składowych elektrycznych i magnetycznych obserwowanych w tym układzie

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}} }={\frac {\epsilon}}{\mu}}{\frac {1}{\beta ^{3}}}X,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2} }}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\quad {\ frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu}}{\frac {1}{\beta}}\left(Z+{\frac {v }{V}}M\prawo)}$ .

Odpowiada to ( 4c ) z za $\ mathbf {a} = {\ Frac {\ mathbf {f}} {m}} \ lewo ({\ frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma}},\ {\frac {1}{\gamma}}\right)}, ponieważ$ μ $\ displaystyle \ mu = m}$ i ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^{2}}},\ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right ) = \ mathbf {a}}$ i ${\ Displaystyle \ lewo [\ epsilon X, \ \ epsilon \ lewo (Y -{\frac {v}{V}}N\right),\ \epsilon \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)\right]=\mathbf {f} }$ i ${\ Displaystyle \ beta = \ gamma}$ . W konsekwencji Einstein wyznaczył masę wzdłużną i poprzeczną, mimo że odniósł ją do siły ${\ Displaystyle \ lewo (\ epsilon X ', \ \ epsilon Y', \ \ epsilon Z '\ right) = \ mathbf {f} ^ {0}}$ w chwilowej klatce spoczynkowej mierzonej współbieżną równowagą sprężynową i do trzech przyspieszeń w układzie ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c|c}{\begin{wyrównane}\mu \beta ^{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=\epsilon X=\epsilon X'\\ \mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\ right)=\epsilon Y'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Z+{\frac { v}{V}}M\right)=\epsilon Z'\end{aligned}}&{\begin{aligned}{\frac {\mu }{\left({\sqrt {1-\left({\ frac {v}{V}}\right)^{2}}}\right)^{3}}}&\ {\text{masa wzdłużna}}\\\\{\frac {\mu}}{1- \left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}&\ {\text{masa poprzeczna}}\end{aligned}}\end{array}}} Odpowiada to$

( 5b ${3}, \ \ gamma ^ {2 },\ \gamma ^{2}\right)=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma,\ \gamma \right)=\mathbf {f} ^{0}}$ za .

1905:

Poincaré wprowadza transformację trzech przyspieszeń ( 1c ):

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ xi ^ {\ pierwsza }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\xi }{dt}}{\frac {1}{k^{3}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\eta ^{\prime}}{dt^{\prime}}}={\frac {d\eta}}{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2} }}-{\frac {d\xi}}{dt}}{\frac {\eta \epsilon}{k^{2}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\zeta ^{ \prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\zeta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d \ xi} {dt}} {\ Frac {\ zeta \ epsilon} {k ^ {2} \ mu ^ {3}}}} gdzie ( ξ , η ,$

ζ $\ xi, \ \ eta, \ \ zeta \ right) = \ mathbf {u}},$ a także ${\ Displaystyle k = \ gamma}$ i ${\ Displaystyle \ epsilon = v}$ i ${\ Displaystyle \ mu = 1 + \ xi \ epsilon = 1 + u_ {x} v}$ .

Ponadto wprowadził cztery siły w postaci:

${\ Displaystyle k_ {0} X_ {1}, \ quad k_ {0} Y_ {1}, \ quad k_ {0} Z_ {1}, \ quad k_ {0} T_ {1}}$

gdzie ${\ Displaystyle k_ {0} = \ gamma _ {0}}$ i ${\ Displaystyle \ lewo (X_ {1}, \ Y_ {1}, \ Z_ {1} \ prawej) = \ mathbf {f}}$ i ${\ styl wyświetlania T_{1}=\Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$ .

1906:

Max Planck wyprowadził równanie ruchu

${\ Displaystyle {\ Frac {m {\ ddot {x}}} {\ sqrt {1- {\ Frac {q ^ {2}} {c ^ {2}}} }}}=e{\mathfrak {E}}_{x}-{\frac {e{\dot {x}}}{c^{2}}}\left({\kropka {x}}{\ mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right) +{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y }\right)\ {\text{etc.}}}$

z

${\ Displaystyle e \ lewo ({\ kropka {x}} {\ mathfrak {E}} _ {x} + {\ kropka {y}} {\ mathfrak {E} }_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)={\frac {m\left({\dot {x}}{\ddot {x}} +{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}\right)}{\left(1-{\frac {q^{2}} {c ^ {2}}} \ prawo) ^ {3/2}}}}$ i ${\ Displaystyle e {\ mathfrak { E}}_{x}+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}} _ {y} \ prawej) = X \ {\ tekst {itp.}}}$

i

${\ Displaystyle {\ Frac {d }{dt}}\left\{{\frac {m{\kropka {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}\ prawo\}=X\ {\text{etc.}}}$

Równania odpowiadają ( 4d ) gdzie

${\ Displaystyle \ mathbf {f} = {\ Frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = {\ Frac {d (m \ gamma \ mathbf {u})} {dt} }=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\ gamma \ mathbf {a}}$ , gdzie ${\ Displaystyle X = f_ {x}}$ i ${\ Displaystyle q = v}$ i ${\ Displaystyle {\ kropka {x}} {\ ddot {x}} + {\ kropka {y}} {\ ddot {y}} + {\ kropka {z}} {\ ddot {z}} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }$ , zgodnie z podanymi przez Lorentza (1904).

1907:

Einstein przeanalizował jednostajnie przyspieszony układ odniesienia i uzyskał wzory na zależne od współrzędnych dylatację czasu i prędkość światła, analogiczne do tych podanych przez współrzędne Kottlera-Møllera-Rindlera .

1907:

Hermann Minkowski zdefiniował zależność między czterosiłą (którą nazwał siłą poruszającą) a czterema przyspieszeniami

${\ Displaystyle m {\ Frac {d} {d \ tau}} {\ Frac {dx} {d \ tau}} = R_{x},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dy}{d\tau }}=R_{y},\quad m{\frac {d}{d\ tau }}{\frac {dz}{d\tau }}=R_{z},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dt}{d\tau }}=R_ {t}}$

odpowiadające ${\ Displaystyle m \ mathbf {A} = \ mathbf {F}}$ .

Minkowski oznacza drugą pochodną w odniesieniu do czasu właściwego jako „wektor $1908$$jego$$wielkością$ w dowolnym punkcie $linii$ wynosi gdzie jest wektor skierowany od środka odpowiedniej „hiperboli krzywizny” ( $.$ . Krümmungshyperbel ) do

:

1909:

Max Born określa ruch o stałej wielkości wektora przyspieszenia Minkowskiego jako „ruch hiperboliczny” ( niem . Hyperbelbewegung ) w trakcie swoich badań nad ruchem sztywno przyspieszonym . Ustawił ${\ Displaystyle p = dx/d \ tau}$ (obecnie nazywany prędkością właściwą ) i ${\ Displaystyle q = -dt / d \ tau = {\ sqrt {1 + p ^ {2} / c ^ {2}}}}$ jako czynnik Lorentza i $właściwy$ , z równaniami transformacji

${\ Displaystyle x = - q \ xi, \ quad y = \ eta, \ quad z = \ zeta, \ quad t = {\ Frac {p} {c ^{2}}}\xi}$ .

co odpowiada ( 6a ) gdzie $\ Displaystyle \ xi = c ^ {2} / \ alfa}$ i ${\ Displaystyle p = c \ sinh (\ alfa \tau /c)}$ . Eliminacja ${\ displaystyle p}$ Urodzony wyprowadził równanie hiperboliczne ${\ Displaystyle x ^ {2} -c ^ {2} t ^ {2} = \ xi ^ {2}}$ , i zdefiniował wielkość przyspieszenia jako ${\ displaystyle b = c ^ {2}/\ xi}$ . Zauważył również, że jego transformację można wykorzystać do przekształcenia w „hiperbolicznie przyspieszony układ odniesienia” ( niem . Hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem ).

1909:

Gustav Herglotz rozszerza badanie Borna na wszystkie możliwe przypadki ruchu sztywno przyspieszonego, w tym ruchu jednostajnego.

1910:

Arnold Sommerfeld przedstawił wzory Borna dla ruchu hiperbolicznego w bardziej zwięzłej formie z wyimaginowaną zmienną czasową i

${\ Displaystyle x = r \ cos \ varphi \ quad y = y '\ quad z = z', \ quad l = r \ sin \ varphi }$

: $\ displaystyle l = ict} i$${\ displaystyle \ varphi$

Zauważył, że kiedy $są$$zmienne$ i linię świata naładowanego ciała $są$ jeśli stałe i są zmienne, oznaczają one $w$

1911:

Sommerfeld wyraźnie użył wyrażenia „właściwe przyspieszenie” ( niem . Eigenbeschleunigung ) dla ilości ${\ Displaystyle {\ kropka {v}} _ {0}}$ in ${\ Displaystyle {\ kropka {v}} = {\ kropka {v}} _ {0} \ lewo (1- \ beta ^ {2} \ prawo) ^ {3/2}} , co odpowiada$ ( 3a ), jako przyspieszenie w chwilowym układzie inercjalnym.

1911:

Herglotz wyraźnie użył wyrażenia „przyspieszenie spoczynkowe” ( niem . Ruhbeschleunigung ) zamiast właściwego przyspieszenia. Napisał to w postaci i ${\ Displaystyle \ gamma _ {l} ^ {0} = \ beta ^ {3} \ gamma _ {l}}$ i $= \ beta ^ {2} \ gamma _ {t}},$${\ displaystyle \ gamma _ {t} ^$$\ gamma _ {l}$ co odpowiada ( 3a ), gdzie jest współczynnikiem Lorentza i $displaystyle$${\$$^ {0} }$ lub to przyspieszenia spoczynkowego.

1911:

Max von Laue wyprowadził w pierwszym wydaniu swojej monografii „Das Relativitätsprinzip” transformację dla trzech przyspieszeń przez różniczkowanie dodawania prędkości

$\ Displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{ c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime}}}\right)^{3}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\ liczba pierwsza},&{\mathfrak {\kropka {q}}}_{y}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^ {2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime}}}\right)^{2}\left({\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{ \prime }-{\frac {v{\mathfrak {q}}_{y}^{\prime }{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime }}{c^{ 2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right),\end{aligned}}}$

odpowiednik ( 1c ) jak również Poincarégo (1905/6). Wyprowadził z tego transformację przyspieszenia spoczynkowego (równą 3a ), a ostatecznie wzory na ruch hiperboliczny, który odpowiada ( 6a ):

${\ Displaystyle \ pm {\ mathfrak {q}} _ {x} = \ pm {\ Frac {dx} {dt}} = {\ Frac {cbt}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}}},\quad \pm \left(x-x_{0}\right)={\frac {c} {b}}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}},}$

więc

${\ Displaystyle x ^ {2} -c ^ {2} t ^ {2} = x ^ {2} -u ^ {2} = c ^ {4} / b ^ {2}, \ quad y = \ eta , \ quad z = \ zeta }$ i

przekształcenie w hiperboliczny układ odniesienia z wyimaginowanym kątem ${\ Displaystyle \ varphi}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | c} {\ rozpocząć {wyrównane} X & = R \ cos \ varphi \\ L & = R \ sin \ varphi \ koniec {wyrównane }}&{\begin{wyrównane}R^{2}&=X^{2}+L^{2}\\\tan \varphi &={\frac {L}{X}}\end{wyrównane} }\end{tablica}}}$ .

Napisał również transformację trójsiłową jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathfrak {K}} _ {x} & = {\ Frac {{ \mathfrak {K}}_{x}^{\prime}+{\frac {v}{c^{2}}}({\mathfrak {q'K'}})}{1+{\frac { v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime}}{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{y}&={\mathfrak {K}} _{y}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime} }{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{z}&={\mathfrak {K}}_{z}^{\prime }{\frac {\sqrt {1 -\beta ^{2}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},\end{wyrównane} }}$

odpowiednik ( 4e ) jak również Poincarégo (1905).

1912–1914:

Friedrich Kottler uzyskał ogólną kowariancję równań Maxwella i użył czterowymiarowych wzorów Freneta-Serreta do analizy ruchów sztywnych Borna podanych przez Herglotza (1909). Uzyskał również odpowiednie układy odniesienia dla ruchu hiperbolicznego i ruchu jednostajnego po okręgu.

1913:

von Laue zastąpił w drugim wydaniu swojej książki transformację trzech przyspieszeń wektorem przyspieszenia Minkowskiego, dla którego ukuł nazwę „cztery przyspieszenia” ( niem . Viererbeschleunigung ), zdefiniowane przez ${\ displaystyle {\ kropka {Y}} = {\ Frac {dY} {d \ tau}}}$ z ${\ displaystyle Y}$ jako cztery prędkości. Pokazał, że wielkość czterokrotnego przyspieszenia $odpowiada$ przez

${\ Displaystyle | {\ kropka {Y|}} = {\ Frac {1} {c}} | {\ kropka {\ mathfrak {q}}} ^ {0} |} , co odpowiada$ (

3b ) . Następnie wyprowadził te same wzory, co w 1911 r., Na transformację przyspieszenia spoczynkowego i ruchu hiperbolicznego oraz hiperboliczny układ odniesienia.

Bibliografia

•   Ashtekar, A.; Pietkow, V. (2014). Springer Podręcznik czasoprzestrzeni . Skoczek. ISBN 978-3642419928 .
•   Bini, D.; Lusanna, L.; Mashhoon, B. (2005). „Ograniczenia współrzędnych radarowych”. International Journal of Modern Physics D. 14 (8): 1413–1429. arXiv : gr-qc/0409052 . Bibcode : 2005IJMPD..14.1413B . doi : 10.1142/S0218271805006961 . S2CID 17909223 .
•   Ferraro, R. (2007). Czasoprzestrzeń Einsteina: wprowadzenie do szczególnej i ogólnej teorii względności . Spektrum. ISBN 978-0387699462 .
• Fraundorf, P. (2012). „Skoncentrowane na podróżniku wprowadzenie do kinematyki” . IV B. arXiv : 1206.2877 [ fizyka.pop-ph ].
•   Francuski, AP (1968). Szczególna Teoria Względności . Prasa CRC. ISBN 1420074814 .
•   Freund, J. (2008). Szczególna teoria względności dla początkujących: podręcznik dla studentów . Świat naukowy. ISBN 978-9812771599 .
•   Gourgoulhon, E. (2013). Szczególna teoria względności w ogólnych ramach: od cząstek do astrofizyki . Skoczek. ISBN 978-3642372766 .
• von Laue, M. (1921). Die Relativitätsttheorie, Band 1 (czwarte wydanie „Das Relativitätsprinzip” red.). Wyświetleg. ; Pierwsze wydanie 1911, drugie rozszerzone wydanie 1913, trzecie rozszerzone wydanie 1919.
•   Koks, D. (2006). Poszukiwania w fizyce matematycznej . Skoczek. ISBN 0387309438 .
•   Kopejkin S.; Efroimski, M.; Kaplan, G. (2011). Relatywistyczna mechanika nieba Układu Słonecznego . John Wiley & Synowie. ISBN 978-3527408566 .
•   Miller, Arthur I. (1981). Szczególna teoria względności Alberta Einsteina. Pojawienie się (1905) i wczesna interpretacja (1905–1911) . Czytanie: Addison-Wesley. ISBN 0-201-04679-2 .
•   Misner, CW; Thorne, Karolina Północna; Wheeler, JA (1973). Grawitacja . Obywatel. ISBN 0716703440 .
• Møller, C. (1955) [1952]. Teoria względności . Oxford Clarendon Press.
•   Nikolić, H. (2000). „Skurcz relatywistyczny i powiązane efekty w układach nieinercjalnych”. Przegląd fizyczny A. 61 (3): 032109. arXiv : gr-qc/9904078 . Bibcode : 2000PhRvA..61c2109N . doi : 10.1103/PhysRevA.61.032109 . S2CID 5783649 .
• Pauli, Wolfgang (1921), "Die Relativitätstheorie" , Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539–776

W języku angielskim:   Pauli, W. (1981) [1921]. Teoria względności . Podstawowe teorie fizyki . Tom. 165. Publikacje Dover. ISBN 0-486-64152-X .

•   Pauri, M.; Vallisneri, M. (2000). „Współrzędne Märzke-Wheelera dla przyspieszonych obserwatorów w szczególnej teorii względności”. Podstawy fizyki Listy . 13 (5): 401–425. arXiv : gr-qc/0006095 . Bibcode : 2000gr.qc.....6095P . doi : 10.1023/A:1007861914639 . S2CID 15097773 .
•   Pfeffer, J.; Nir, S. (2012). Współczesna fizyka: tekst wprowadzający . Świat naukowy. ISBN 978-1908979575 .
•   Shadowitz, A. (1988). Szczególna teoria względności (przedruk z 1968 r.). Publikacje kurierskie Dover. ISBN 0-486-65743-4 .
•   Rahaman, F. (2014). Szczególna teoria względności: podejście matematyczne . Skoczek. ISBN 978-8132220800 .
•   Rebhan, E. (1999). Teoretyczna Fizyka I. Heidelberg · Berlin: Spektrum. ISBN 3-8274-0246-8 .
•   Rindler, W. (1977). Podstawowa teoria względności . Skoczek. ISBN354007970X . _
•   Synge, JL (1966). „Podobne do czasu helisy w płaskiej czasoprzestrzeni”. Postępowanie Królewskiej Akademii Irlandzkiej, sekcja A. 65 : 27–42. JSTOR 20488646 .
•   Tolman RC (1917). Teoria względności ruchu . Wydawnictwo Uniwersytetu Kalifornijskiego . OCLC 13129939 .
•   Zahar, E. (1989). Rewolucja Einsteina: studium heurystyki . Wydawnictwo Open Court. ISBN 0-8126-9067-2 .

Linki zewnętrzne

• Mathpages: Masa poprzeczna w elektrodynamice Einsteina , Przyspieszone podróże , Urodzona sztywność, przyspieszenie i bezwładność , Czy równomiernie przyspieszający ładunek promieniuje?
• Często zadawane pytania dotyczące fizyki: przyspieszenie w szczególnej teorii względności , rakieta relatywistyczna