Urodzona sztywność

Urodzona sztywność jest pojęciem szczególnej teorii względności . Jest to jedna z odpowiedzi na pytanie, co w szczególnej teorii względności odpowiada sztywnemu ciału nierelatywistycznej mechaniki klasycznej .

Pojęcie to zostało wprowadzone przez Maxa Borna (1909), który szczegółowo opisał przypadek stałego przyspieszenia właściwego , który nazwał ruchem hiperbolicznym . Kiedy kolejni autorzy, tacy jak Paul Ehrenfest (1909), próbowali uwzględnić również ruchy obrotowe, stało się jasne, że sztywność Borna jest bardzo restrykcyjnym poczuciem sztywności, co doprowadziło do twierdzenia Herglotza -Noethera , zgodnie z którym istnieją poważne ograniczenia dotyczące rotacyjnego Borna. sztywne ruchy. Sformułował ją Gustav Herglotz (1909, który sklasyfikował wszystkie formy ruchów obrotowych) oraz w mniej ogólny sposób Fritz Noether (1909). W rezultacie Born (1910) i inni podali alternatywne, mniej restrykcyjne definicje sztywności.

Definicja

Urodzona sztywność jest spełniona, jeśli ortogonalna odległość czasoprzestrzenna między nieskończenie małymi rozdzielonymi krzywymi lub liniami świata jest stała, lub równoważnie, jeśli długość ciała sztywnego w chwilowo poruszających się układach inercjalnych mierzona standardowymi prętami pomiarowymi (tj. długość właściwa ) jest stała i wynosi dlatego podlega skurczowi Lorentza we względnie poruszających się układach. Sztywność wrodzona to ograniczenie ruchu rozciągniętego ciała, osiągnięte przez staranne przyłożenie sił do różnych części ciała. Ciało sztywne samo w sobie naruszałoby szczególną teorię względności, ponieważ jego prędkość dźwięku byłaby nieskończona.

Klasyfikację wszystkich możliwych ruchów sztywnych Borna można uzyskać za pomocą twierdzenia Herglotza – Noethera. Twierdzenie to stwierdza, że ​​wszystkie nieobrotowe sztywne ruchy Borna ( klasa A ) składają się z hiperpłaszczyzn sztywno poruszających się w czasoprzestrzeni, podczas gdy każdy obrotowy ruch sztywny Borna ( klasa B ) musi być izometrycznym ruchem Killinga . Oznacza to, że sztywne ciało Borna ma tylko trzy stopnie swobody . Tak więc ciało można w sposób sztywny Borna wprowadzić ze stanu spoczynku w dowolny postępowy , ale nie można go w sposób sztywny Borna wprowadzić ze stanu spoczynku w ruch obrotowy.

Naprężenia i sztywność Borna

Herglotz (1911) wykazał, że relatywistyczna teoria sprężystości może opierać się na założeniu, że naprężenia powstają, gdy zostaje złamany warunek sztywności Borna.

Przykładem złamania sztywności Borna jest paradoks Ehrenfesta : mimo że stan ruchu jednostajnego po okręgu ciała należy do dozwolonych sztywnych ruchów Borna klasy B , ciała nie można wprowadzić z żadnego innego stanu ruchu w jednostajny ruch po okręgu bez zerwania stan sztywności Borna podczas fazy, w której ciało podlega różnym przyspieszeniom. Ale jeśli ta faza się skończy i przyspieszenie dośrodkowe stanie się stałe, ciało może obracać się jednostajnie zgodnie ze sztywnością Borna. Podobnie, jeśli jest teraz w ruchu jednostajnym po okręgu, tego stanu nie można zmienić bez ponownego złamania sztywności Borna ciała.

Innym przykładem jest paradoks statku kosmicznego Bella : jeśli punkty końcowe ciała są przyspieszane ze stałymi przyspieszeniami właściwymi w kierunku prostoliniowym, to wiodący punkt końcowy musi mieć mniejsze przyspieszenie właściwe, aby pozostawić stałą odpowiednią długość, aby sztywność Borna była spełniona. Będzie również wykazywać rosnący skurcz Lorentza w zewnętrznym układzie bezwładnościowym, to znaczy w układzie zewnętrznym punkty końcowe ciała nie przyspieszają jednocześnie. Jeśli jednak zostanie wybrany inny profil przyspieszenia, w którym punkty końcowe ciała są jednocześnie przyspieszane z takim samym przyspieszeniem własnym, jak widać w zewnętrznym układzie inercjalnym, jego sztywność Borna zostanie złamana, ponieważ stała długość w układzie zewnętrznym implikuje zwiększenie długości właściwej w współprzesuwająca się rama ze względu na względność jednoczesności. W takim przypadku delikatna nić rozpięta między dwiema rakietami ulegnie naprężeniom (zwanym naprężeniami Herglotza – Dewana – Berana) iw konsekwencji pęknie.

Urodzone sztywne ruchy

Klasyfikacja dozwolonych, w szczególności obrotowych, sztywnych ruchów Borna w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego została podana przez Herglotza, którą badali również Friedrich Kottler (1912, 1914), Georges Lemaître (1924), Adriaan Fokker (1940), George Salzmann i Abraham H. Tauba (1954). Herglotz zwrócił uwagę, że kontinuum porusza się jak ciało sztywne, gdy linie świata jego punktów są równoodległymi krzywymi w ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {4}}$ . Wynikająca z tego światowość można podzielić na dwie klasy:

Klasa A: Ruchy bezrotacyjne

Herglotz zdefiniował tę klasę w kategoriach równoodległych krzywych, które są ortogonalnymi trajektoriami rodziny hiperpłaszczyzn , które również można postrzegać jako rozwiązania równania Riccatiego (nazywano to „ruchem płaskim” przez Salzmanna i Tauba lub „irrotacyjnym ruchem sztywnym” przez Boyera). Doszedł do wniosku, że ruch takiego ciała jest całkowicie zdeterminowany przez ruch jednego z jego punktów.

Ogólna metryka dla tych ruchów bezrotacyjnych została podana przez Herglotza, którego pracę podsumował uproszczoną notacją Lemaître (1924). Również metryka Fermiego w postaci podanej przez Christiana Møllera (1952) dla sztywnych ram z dowolnym ruchem pochodzenia została zidentyfikowana jako „najbardziej ogólna metryka dla bezrotacyjnego ruchu sztywnego w szczególnej teorii względności”. Ogólnie wykazano, że bezrotacyjny ruch Borna odpowiada tym kongruencjom Fermiego, dla których dowolna linia świata może być użyta jako linia bazowa (jednorodna kongruencja Fermiego).

Herglotz 1909	${\ Displaystyle ds ^ {2} = da ^ {2} + \ varphi (db, dc) - \ Theta ^ {2 }d\vartheta ^{2}}$
Lemaitre 1924	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i ds ^ {2} =-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+\phi ^{2}dt^{2}\\&\quad \left(\phi =lx+mój+nz+p\ po prawej)\end{wyrównane}}}$
Moller 1952	${\ Displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ { 2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left[1+{\frac {g_{\kappa }x^{\kappa }}{c^{2}}}\right ]^{2}}$

${2}/R} {\$$b}$ R { \ $displaystyle$ to przyspieszenie właściwe, a promień kuli, w której znajduje się ciało, a zatem im większe przyspieszenie właściwe, tym mniejsze maksymalne rozciągnięcie sztywnego korpusu Szczególny przypadek ruchu postępowego ze stałym przyspieszeniem właściwym jest znany jako ruch hiperboliczny z linią świata

Urodzony 1909 r	${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane}&x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi \\&\quad \ left(p={\frac {dx}{d\tau }},\quad q=-{\frac {dt}{d\tau }}={\sqrt {1+p^{2}/c^{ 2}}}\prawo)\end{wyrównane}}}$
Herglotz 1909	${\ Displaystyle x = x ', \ quad y = y',\quad tz=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$ ${\ Displaystyle x = x_ {0}, \ quad y = y_ {0}, \ quad z = {\ sqrt {z_ {0} ^ {2} +t^{2}}}}$
Sommerfelda 1910	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i x = r \ cos \ varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi \\&\quad \left(l=ict,\quad \varphi =i\psi \right)\end {wyrównany}}}$
Kottlera 1912, 1914	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)}, \ quad x ^ {(2)} = x_ {0 }^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2 }d\tau ^{2}=b^{2}(du)^{2}\end{wyrównane}}}$ ${\ Displaystyle x = x_ {0}, \ quad y = y_ {0}, \ quad z = b \ cosh u, \quad ct=b\sinh u}$

Klasa B: Obrotowe ruchy izometryczne

Aby zapoznać się z odpowiednimi właściwymi układami odniesienia dla tych ruchów obrotowych, zobacz Właściwy układ odniesienia (płaska czasoprzestrzeń) # Właściwe układy odniesienia dla helis podobnych do czasu

Herglotz zdefiniował tę klasę w kategoriach równoodległych krzywych, które są trajektoriami jednoparametrowej grupy ruchu (został on nazwany „ruchem grupowym” przez Salzmanna i Tauba i został zidentyfikowany z izometrycznym ruchem zabijania przez Felixa Piraniego i Garetha Williamsa (1962)). Zwrócił uwagę, że składają się one z linii świata, których trzy krzywizny są stałe (znane jako krzywizna , skręcanie i hiperskręt), tworząc helisę . Linie świata o stałych krzywiznach w płaskiej czasoprzestrzeni badali także Kottler (1912), Petrův (1964), John Lighton Synge (1967, który nazwał je czasopodobnymi helisami w płaskiej czasoprzestrzeni) czy Letaw (1981, który nazwał je stacjonarnymi liniami świata) jako rozwiązania wzorów Freneta-Serreta .

Herglotz dodatkowo wyodrębnił klasę B za pomocą czterech jednoparametrowych grup przekształceń Lorentza (loksodromiczna, eliptyczna, hiperboliczna, paraboliczna) w analogii do ruchów hiperbolicznych (tj. grupa hiperboliczna z ${\ displaystyle \ alpha = 0}$ w notacji Herglotza i Kottlera, ${\ Displaystyle \ lambda = 0}$ w notacji Lemaître, ${\ displaystyle q = 0}$ w notacji Synge; patrz poniższa tabela) jest jedynym ruchem sztywnym Borna, który należy do obu klas A i B.

Grupa loksodromiczna (połączenie ruchu hiperbolicznego i rotacji jednostajnej)
Herglotz 1909	${\ Displaystyle x + iy = (x'+ iy') e ^ {i \ lambda \ vartheta}, \ quad x-iy = (x'-iy ')e^{-i\lambda \vartheta },\quad tz=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$
Kottlera 1912, 1914	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i x ^ {(1)} = a \ cos \ lambda \ left(u-u_{0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}= b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2} -a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{wyrównane}}}$
Lemaitre 1924	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ xi = x \ cos \ lambda ty \sin \lambda t,\quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\sinh t\\&ds^{2 }=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(z^{2}- \lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{wyrównane}}}$
Synge 1967	${\ Displaystyle x = q \omega ^{-1}\sin \omega s,\quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s, \quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s}$
Grupa eliptyczna (jednolity obrót)
Herglotz 1909	${\ Displaystyle x+iy=(x'+iy')e^{i\vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\vartheta },\quad z=z',\quad t=t'+\delta \vartheta }$
Kottlera 1912, 1914	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i x ^ {(1)} = a \ cos \ lambda \ lewo (u-u_ {0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=x_{0}^ {(3)},\quad x^{(4)}=iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\lewo(1-a^{2} \lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{wyrównane}}}$
de Sittera 1916	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ teta '= \ teta - \ omega ct, \ \ lewo (d \ sigma ^ {\ liczba pierwsza 2}=dr^{\liczba pierwsza 2}+r^{\liczba pierwsza 2}d\theta ^{\liczba pierwsza 2}+dz^{\liczba pierwsza 2}\right)\\&ds^{2}=-d\ sigma ^{\prime 2}-2r^{\prime 2}\omega \ d\theta 'cdt+\left(1-r^{\prime 2}\omega ^{2}\right)c^{2}dt ^{2}\end{wyrównane}}}$
Lemaitre 1924	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ xi = x \ cos \ lambda ty \ sin \ lambda t, \ quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z,\quad \tau =t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2 }d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(1-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{ 2}\end{wyrównane}}}$
Synge 1967	${\ Displaystyle x = q \ omega ^ {- 1} \ sin \ omega s, \ quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=0,\quad t=sr}$
Grupa hiperboliczna (ruch hiperboliczny plus translacja przestrzenna)
Herglotz 1909	${\ Displaystyle x = x '+ \ alpha \vartheta ,\quad y=y',\quad tz=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$
Kottlera 1912, 1914	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)} + \ alfa u, \quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu \\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-\alpha ^{2}\right)(du)^{2}\end {wyrównany}}}$
Lemaitre 1924	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & \ xi = x + \ lambda t \ quad \ eta = y \ quad \ zeta = z \ cosh t \ quad \ tau = z \ sinh t\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}-2\lambda dx\ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2} \right)dt^{2}\end{wyrównane}}}$
Synge 1967	${\ Displaystyle x = sq, \ quad y = 0, \ quad z = r \ chi ^ {-1}\cosh \chi s,\quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s}$
Grupa paraboliczna (opisująca parabolę półsześcienną )
Herglotz 1909	${\ Displaystyle x = x_ {0} + {\ Frac { 1}{2}}\delta \vartheta ^{2},\quad y=y_{0}+\beta \vartheta ,\quad z=z_{0}+x_{0}\vartheta +{\frac {1 }{6}}\delta \vartheta ^{3},\quad tz=\delta \vartheta }$
Kottlera 1912, 1914	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i x ^ {(1)}=x_{0}^{(1)}+{\frac {1}{2}}\alpha u^{2},\quad x^{(2)}=x_{0}^ {(2)},\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)}+x_{0}^{(1)}u+{\frac {1}{6}}\alpha u^{3},\quad x^{(4)}=ix^{(3)}+i\alpha u\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}= -\left(\alpha ^{2}+2x_{0}^{(1)}\right)(du)^{2}\end{wyrównane}}}$
Lemaitre 1924	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ xi = x + {\frac {1}{2}}\lambda t^{2},\quad \eta =y+\mu t,\quad \zeta =z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^ {3},\quad \tau =\lambda t+z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3}\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^ {2}-2\mu \ dy\ dt+2\lambda \ dz\ dt+\left(2\lambda x+\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)dt^{2}\end{ wyrównany}}}$
Synge 1967	${\ Displaystyle x = {\ Frac {1} {6}} b ^ {2} s^{3},\quad y=0,\quad z={\frac {1}{2}}bs^{2},\quad t=s+{\frac {1}{6}}b^{ 2}s^{3}}$

Ogólna teoria względności

Próby rozszerzenia koncepcji sztywności Borna na ogólną teorię względności podjęli Salzmann i Taub (1954), C. Beresford Rayner (1959), Pirani i Williams (1962), Robert H. Boyer (1964). Wykazano, że twierdzenie Herglotza-Noethera nie jest całkowicie spełnione, ponieważ możliwe są sztywne obracające się układy lub kongruencje, które nie reprezentują izometrycznych ruchów zabijania.

Alternatywy

Kilka słabszych substytutów zostało również zaproponowanych jako warunki sztywności, na przykład przez samego Noethera (1909) lub Borna (1910).

Nowoczesną alternatywę podali Epp, Mann & McGrath. W przeciwieństwie do zwykłej sztywnej kongruencji Borna, składającej się z „historii zbioru punktów wypełniającego objętość przestrzenną”, odzyskują sześć stopni swobody mechaniki klasycznej, używając quasilokalnej sztywnej ramy, definiując kongruencję w kategoriach „historii zbioru punktów na powierzchni ograniczających objętość przestrzenną”.

Bibliografia

• Born, Max (1909a), „Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips” [Tłumaczenie Wikiźródła: Theory of the Rigid Electron in the Kinematics of the Principle of Relativity ], Annalen der Physik , 335 (11): 1– 56, Bibcode : 1909AnP...335....1B , doi : 10.1002/andp.19093351102
• Born, Max (1909b), „Über die Dynamik des Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips” [Tłumaczenie Wikiźródła: dotyczące dynamiki elektronu w kinematyce zasady względności ], Physikalische Zeitschrift , 10 : 814–817
• Born, Max (1910), „Zur Kinematik des starren Körpers im System des Relativitätsprinzips” [Tłumaczenie Wikiźródła: O kinematyce sztywnego ciała w systemie zasady względności ], Göttinger Nachrichten , 2 : 161–179
• Ehrenfest, Paul (1909), "Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie" [Tłumaczenie Wikiźródła: Uniform Rotation of Rigid Bodies and the Theory of Relativity ], Physikalische Zeitschrift , 10 : 918, Bibcode : 1909PhyZ...10..918E
• Franklin, Jerrold (2013), „Ruch ciała sztywnego w szczególnej teorii względności”, Podstawy fizyki , 95 : 1489-1501.
• Herglotz, Gustav (1910) [1909], „Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper” [Tłumaczenie Wikiźródła: O ciałach, które mają być oznaczone jako „sztywne” z punktu widzenia zasady względności ], Annalen der Physik , 336 (2): 393–415, Bibcode : 1910AnP...336..393H , doi : 10.1002/andp.19103360208
• Herglotz, Gustav (1911), "Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie" , Annalen der Physik , 341 (13): 493–533, Bibcode : 1911AnP...341..493H , doi : 10.1002/andp. 19113411303 ; Tłumaczenie angielskie autorstwa Davida Delphenicha: O mechanice ciał odkształcalnych z punktu widzenia teorii względności .
• Noether, Fritz (1910) [1909]. „Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie” . Annalen der Physik . 336 (5): 919–944. Bibcode : 1910AnP...336..919N . doi : 10.1002/andp.19103360504 .
• Sommerfeld, Arnold (1910). „Zur Relativitätsttheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis” [Tłumaczenie Wikiźródła: O teorii względności II: czterowymiarowa analiza wektorowa ]. Annalen der Physik . 338 (14): 649–689. Bibcode : 1910AnP...338..649S . doi : 10.1002/andp.19103381402 .
• Kottler, Friedrich (1912). „Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt” [Tłumaczenie Wikiźródła: Na liniach czasoprzestrzeni świata Minkowskiego ]. Wiener Sitzungsberichte 2a . 121 : 1659-1759. hdl : 2027/mdp.39015051107277 .
• Kottler, Friedrich (1914a). „Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung” . Annalen der Physik . 349 (13): 701–748. Bibcode : 1914AnP...349..701K . doi : 10.1002/andp.19143491303 .
• Kottler, Friedrich (1914b). „Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips” . Annalen der Physik . 350 (20): 481–516. Bibcode : 1914AnP...350..481K . doi : 10.1002/andp.19143502003 .
• De Sitter, W. (1916). „O teorii grawitacji Einsteina i jej astronomicznych konsekwencjach. Drugi artykuł” . Miesięczne ogłoszenia Królewskiego Towarzystwa Astronomicznego . 77 (2): 155–184. Bibcode : 1916MNRAS..77..155D . doi : 10.1093/mnras/77.2.155 .
• Pauli, Wolfgang (1921), "Die Relativitätstheorie" , Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539–776

W języku angielskim:   Pauli, W. (1981) [1921]. Teoria względności . Podstawowe teorie fizyki . Tom. 165. Publikacje Dover. ISBN 0-486-64152-X .

• Lemaître, G. (1924), „Ruch sztywnej bryły zgodnie z zasadą względności”, Philosophical Magazine , seria 6, 48 (283): 164–176, doi : 10,1080/14786442408634478
• Fokker, AD (1949), „O geometrii czasoprzestrzennej poruszającego się ciała sztywnego”, Recenzje współczesnej fizyki , 21 (3): 406–408, Bibcode : 1949RvMP… 21..406F , doi : 10.1103/ RevModPhys.21.406
• Møller, C. (1955) [1952]. Teoria względności . Oxford Clarendon Press.
• Salzman, G. i Taub, AH (1954), „Ruch sztywny typu urodzonego w teorii względności”, Physical Review , 95 (6): 1659–1669, Bibcode : 1954PhRv... 95.1659S , doi : 10.1103/PhysRev. 95.1659 {{ cytat }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
• Rayner, CB (1959), „Sztywny korpus w ogólnych stosunkach” , Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste , 2 : 1–15
• Pirani, FAE i Williams, G. (1962), „Ruch sztywny w polu grawitacyjnym” , Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste , 5 : 1–16 {{ cytat }} : CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link )
• Petrův, V. (1964). „Die Lösung der Formeln von Frenet im Falle konstanter Krümungen” . Aplikacja matematyczna . 9 (4): 239–240.
•   Boyer, RH (1965), „Sztywne ramy w ogólnej teorii względności”, Proceedings of the Royal Society of London A , 28 (1394): 343–355, Bibcode : 1965RSPSA.283..343B , doi : 10.1098/rspa.1965.0025 , S2CID 120278621
•   Synge, JL (1967) [1966]. „Podobne do czasu helisy w płaskiej czasoprzestrzeni”. Postępowanie Królewskiej Akademii Irlandzkiej, sekcja A. 65 : 27–42. JSTOR 20488646 .
• Gron, Ø. (1981), „Kowariancyjne sformułowanie prawa Hooke'a”, American Journal of Physics , 49 (1): 28–30, Bibcode : 1981AmJPh..49...28G , doi : 10,1119/1,12623
• Letaw, JR (1981). „Stacjonarne linie świata i wzbudzenie próżniowe detektorów nieinercyjnych”. Przegląd fizyczny D. 23 (8): 1709–1714. Bibcode : 1981PhRvD..23.1709L . doi : 10.1103/PhysRevD.23.1709 .
• Bel, L. (1995) [1993], „Grupa Borna i uogólnione izometrie”, Relativity in General: Proceedings of the Relativity Meeting'93 , Atlantica Séguier Frontières: 47, arXiv : 1103,2509 , Bibcode : 2011arXiv1103.2509B
•   Giulini, Domenico (2008). „Bogata struktura przestrzeni Minkowskiego”. Czasoprzestrzeń Minkowskiego: sto lat później . Podstawowe teorie fizyki . Tom. 165. Springera. P. 83. ar Xiv : 0802.4345 . Bibcode : 2008arXiv0802.4345G . ISBN 978-90-481-3474-8 .
•   Epp, RJ, Mann, RB i McGrath, PL (2009), „Ruch sztywny ponownie: sztywne ramy quasilokalne”, Classical and Quantum Gravity , 26 (3): 035015, arXiv : 0810,0072 , Bibcode : 2009CQGra..26c5015E , doi : 10.1088/0264-9381/26/3/035015 , S2CID 118856653 {{ cytat }} : CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link )

Linki zewnętrzne

• Urodzona sztywność, przyspieszenie i bezwładność na mathpages.com
• Sztywny dysk obrotowy w teorii względności w często zadawanych pytaniach dotyczących fizyki USENET