Czysty spinor

W dziedzinie matematyki znanej jako teoria reprezentacji czyste spinory (lub proste spinory ) to spinory $V.$ ulegają anihilacji pod wpływem działania Clifforda przez maksymalną podprzestrzeń izotropową przestrzeni wektorów w odniesieniu do iloczynu skalarnego określającego Algebra Clifforda. Zostały wprowadzone przez Élie Cartana w latach trzydziestych XX wieku w celu klasyfikacji złożonych struktur . Czyste spinory były kluczowym składnikiem badań geometrii spinu oraz teoria twistorów , wprowadzona przez Rogera Penrose'a w latach sześćdziesiątych.

Definicja

Rozważmy złożoną $przestrzeń$ wektorową $i$ parzystym wymiarze $.$ lub wymiarze $_$ _ _ $Q (u, v)}$ Displaystyle na parach wektorów ${\ Displaystyle (u, v)}$ . Algebra Clifforda jest ilorazem algebry pełnego tensora przez ideał wygenerowany przez relacje $Cl (V,$ l $\ displaystyle$

${\ Displaystyle u \ otimes v + v \ otimes u = Q (u, v), \ quad \ forall \ u, v \ w V.}$

Spinory są modułami algebry $Clifforda$ , dlatego w szczególności następuje działanie elementów algebry przestrzeń spinorów. Złożona podprzestrzeń $,$$displaystyle m \ równoważnik n$ dany niezerowy spinor wymiar $\$ . Jeśli to $displaystyle m = n}$ \ $Mówi$ się, że jest to czysty spinor .

Projekcyjne czyste spinory

$anihilowany$$jest$ przez maksymalną podprzestrzeń izotropową . I odwrotnie, mając maksymalną podprzestrzeń izotropową, można wyznaczyć czysty spinor, który go unicestwia aż do pomnożenia przez liczbę zespoloną. Czyste spinory zdefiniowane aż do projekcji nazywane są czystymi spinorami rzutowymi . Dla wymiaru $displaystyle \, V \,}$ rzutowych czystych spinorów jest $\$ jednorodna przestrzeń

${\ Displaystyle SO (2n) / U (n) ~.}$

Jak pokazał Cartan, czyste spinory są jednoznacznie określone przez fakt, że spełniają zbiór jednorodnych równań kwadratowych na standardowym nieredukowalnym module spinorowym, relacje Cartana , które określają obraz maksymalnych podprzestrzeni izotropowych przestrzeni wektorowej ${\ displaystyle \ ,V\,}$ pod mapą Cartan . W 7 lub mniej wymiarach wszystkie spinory są czyste. W 8 wymiarach istnieje jedno czyste ograniczenie spinorowe. W 10 wymiarach istnieje 10 ograniczeń

${\ Displaystyle \ psi \; \ Gamma _ {\ mu} \, \ psi = 0 ~,}$

gdzie są macierzami Gamma reprezentującymi wektory w, które generują Clifforda do $Gamma _ {\ mu}$${\ Displaystyle \, \$ algebra. Cartan wykazał, że ogólnie rzecz biorąc, istnieją

${\ Displaystyle \ suma _ {0 \ równoważnik m \ równoważnik n-1 \ na szczycie m \ równoważnik n, {\ tekst {mod}} 4}{{\text{dim}}(V) \wybierz m}}$

relacje kwadratowe, oznaczające zanik form kwadratowych z wartościami w przestrzeniach zewnętrznych ${\ Displaystyle \, \ Lambda ^ {m} (V) \,$ }

${\ Displaystyle m \ odpowiednik n, {\ tekst {mod}} 4}$

odpowiadające tym skośnym symetrycznym elementom algebry Clifforda. Jednakże, ponieważ wymiar Grassmanna maksymalnych podprzestrzeni izotropowych $n$ 1 $(n-1) \,},$$\ displaystyle \, {\ tfrac {1} {2}} \,$$a mapa Cartana$ osadzeniem tego w projekcji modułu półspinora, gdy ma $.$ i nieredukowalny moduł spinorowy, jeśli ma nieparzysty wymiar, liczba niezależnych ograniczeń kwadratowych wynosi tylko ${\ displaystyle \, 2n + 1 \,}$

${\ Displaystyle 2 ^ {n-1} - {\ tfrac {1} {2}} \, n (n-1) -1}$

w $_$ i

${\ Displaystyle 2 ^ {n} - {\ tfrac {1} {2}} \, n (n-1) -1}$

w $_$ _

Czyste spinory w teorii strun

Czyste spinory zostały wprowadzone do kwantyzacji strun przez Nathana Berkovitsa . Nigel Hitchin wprowadził uogólnione rozmaitości Calabiego – Yau , w których uogólnioną złożoną strukturę definiuje czysty spinor. Przestrzenie te opisują geometrię zagęszczeń strumienia w teorii strun.

• Cartan, Élie. Lecons sur la Theorie des Spineurs, Paryż, Hermann (1937).
• Chevalley, Claude. Algebraiczna teoria spinorów i algebry Clifforda. Dzieła zebrane . Wydawnictwo Springera (1996).
• Charlton, Filip. Geometria czystych spinorów wraz z zastosowaniami , rozprawa doktorska (1997).