Diamentowy lemat Bergmana

W matematyce , a konkretnie w dziedzinie algebry abstrakcyjnej , diamentowy lemat Bergmana (po George'u Bergmanie ) $,$ czy dany zbiór jednomianów algebry tworzy podstawę. Jest to rozszerzenie podstaw Gröbnera na nieprzemienne pierścienie . Dowód lematu prowadzi do algorytmu uzyskiwania nieprzemiennej bazy Gröbnera algebry z jej relacji definiujących. Jednak w przeciwieństwie do algorytmu Buchbergera , w przypadku nieprzemiennym algorytm ten może się nie kończyć.

Czynności wstępne

Niech będzie przemiennym $pierścieniem$ asocjacyjnym z elementem tożsamości 1 zwykle polem . Weź dowolny $zmiennych$ . W skończonym przypadku zwykle ma się ${\ Displaystyle X = \ {x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ kropki, x_ {n}\}}$ . Wtedy ${\ Displaystyle \ langle X \ rangle}$ jest swobodną półgrupą o tożsamości 1 na ${\ displaystyle X}$ . Wreszcie ${\ Displaystyle k \ langle X \ rangle}$ jest swobodnym skojarzeniem $displaystyle$ algebra nad X $X}$ . Elementy $\ Displaystyle \ langle X \ rangle}$ $słowami$ będą nazywane , ponieważ elementy można postrzegać jako litery.

Porządkowanie jednomianowe

Poniższe redukcje wymagają wyboru $.$ słów , tj. Jednomianów $Displaystyle \ langle X \ rangle}$ \ Musi to być zamówienie całkowite i spełniać następujące warunki:

dla wszystkich słów ${\ displaystyle u, u', v}$ i ${\ displaystyle w}$ mamy to, jeśli ${\ displaystyle w <v}$ to ${\ Displaystyle uwu' <uvu'}$ .
$_$ każdego $jest$ kolekcja _

Nakaz taki nazywamy dopuszczalnym . Ważnym przykładem jest porządek leksykograficzny stopnia , gdzie $; lub$ ma mniejszy stopień $\$ $displaystyle$ { $v}$ przypadku, gdy mają ten sam stopień, mówimy, $występuje$ wcześniej w porządku leksykograficznym niż $\$ . $_$ $jednomianach$ porządek na pierwsze Wtedy powyższa reguła implikuje, że jednomiany są uporządkowane w następujący sposób:

${\ Displaystyle 1 <x <y <x ^ {2}<xy <yx <y ^ {2} <x^{3}<x^{2}y<\kropki}$

Każdy element ma wiodące słowo ${\ displaystyle$ które jest największym słowem w kolejności, która pojawia się w $h \ in k \ langle X \$ $}$ -zerowy współczynnik. k ${\ Displaystyle k \ langle x, y \ rangle}$ $\ Displaystyle h = x ^ {2} + 2x ^ {2} yy ^ {2} x}$ x , to wiodące słowo w porządku leksykograficznym stopnia to $y$ ${2} x}$ .

Zmniejszenie

Załóżmy, że mamy zbiór ${\ Displaystyle \ {g_ {\ sigma} \} _ {\ sigma \ in S} \ subseteq k \ langle X \ rangle}, który generuje$ 2 $Displaystyle$ ideał k $k \ langle X \ rangle$ . Następnie możemy przeskalować każdy $współczynnik$ , aby jego wiodące słowo $1.$ sposób możemy napisać ${\ sigma}}$ ${\ displaystyle g _ {\ sigma} = w$ ${\ displaystyle v <w _ {\ sigma}}$ $sigma}}$ , gdzie jest liniową kombinacją słów taką, że ${\ displaystyle$ . Słowo nazywa $_$ zredukowanym relacji $żadnego$ _ z wiodących słów ${\ displaystyle w _ {\ sigma}}$ . w ${\ Displaystyle w = uw_ {\ sigma} v}$ ${\ Displaystyle u, v \ in \ langle X \ rangle}$ niektórych i niektórych ${\ styl wyświetlania \sigma \in S}$ . Wtedy następuje redukcja ${\ Displaystyle r_ {u \ sigma v}: k \ langle X \ rangle \ do k \ langle X \ rangle}$ , która jest endomorfizmem k $} ,$ $rangle$ ${\ Displaystyle w = uw_ {\ sigma$ wszystkie elementy oprócz i wysyła to do ${\ Displaystyle uf_ {\ sigma} v}$ . Dzięki wyborowi uporządkowania jest tylko skończenie wiele słów mniej niż jakiekolwiek dane słowo, stąd skończona kompozycja redukcji wyśle dowolną liniową kombinację ${\ Displaystyle h \ in k \ langle X \ rangle}$ zredukowane słowa.

Każdy element ma wspólną klasę równoważności modulo $zredukowaną$ formą. W ten sposób kanoniczne obrazy zredukowanych słów w tworzą zestaw obejmujący $k \ langle X \ rangle / I}$ $Displaystyle$ $słów$ nieprzemiennych baz Gröbnera jest znalezienie zestawu generatorów ${\ Displaystyle k \ langle X \ rangle / I}$ $/$ , że obrazy odpowiednich zredukowanych są na podstawie ${\ displaystyle k}$ . Diamentowy lemat Bergmana pozwala nam zweryfikować, czy zbiór generatorów $ma$ . Co więcej, w przypadku gdy nie posiada on tej własności, dowód Diamentowego Lematu Bergmana prowadzi do algorytmu rozszerzającego zbiór generatorów do takiego, który ją posiada.

Element $s_ {2}}$ jest redukcją-unikatową $Displaystyle$ ${$ redukcji s takie, że obrazy i $h)}$ ${\ Displaystyle s_ {1} (h) = s_ {2} (h)}$ zredukowanych słów, a następnie ( $s_ {1}$ . Innymi słowy, jeśli zastosujemy redukcje, aby przekształcić element w liniową kombinację zredukowanych słów na dwa różne sposoby, uzyskamy ten sam wynik.

Seria redukcji prowadzi do wspólnego wyrażenia. Kształt diamentu daje początek nazwie.

Niejasności

Podczas przeprowadzania redukcji nie zawsze może istnieć oczywisty wybór, dla której redukcji należy wykonać. Nazywa się to niejednoznacznością i mogą wystąpić dwa rodzaje. $, że$ mamy słowo $i$ słów załóżmy $displaystyle w _ {\ sigma} = tv}$ i ${\ Displaystyle w_ {\ tau} = vu}$ są wiodącymi słowami dla niektórych ${\ Displaystyle \ sigma, \ tau \ w S}$ . Nazywa się to $t \ tau 1}$ nakładania się , ponieważ istnieją dwie możliwe redukcje, a mianowicie $displaystyle r_$ r . T ${\ Displaystyle tr_ {1 \ sigma u}}$ i r $1} u}$ { \ Displaystyle r_ {t można sprowadzić do wspólnego wyrażenia za pomocą kompozycji redukcji .

Po drugie, jedno wiodące słowo może być zawarte w innym, tj. ${\ Displaystyle w _ {\ sigma} = t \ omega _ {\ tau} u}$ dla niektórych słów ${\ displaystyle t, u}$ i niektóre indeksy ${\ Displaystyle \ sigma, \ tau \ w S}$ . Mamy wtedy niejednoznaczność inkluzji . Ponownie, tę dwuznaczność można rozwiązać, jeśli ${\ Displaystyle s_ {1} \ circ r_ {1 \ sigma 1} (w) = s_ { 2} \ circ r_ {t \ tau u} (w)}$ , dla niektórych kompozycji redukcji ${\ displaystyle s_ {1}}$ i ${\ displaystyle s_ {2}}$ .

Stwierdzenie lematu

Stwierdzenie lematu jest proste, ale obejmuje terminologię zdefiniowaną powyżej. Ten lemat ma zastosowanie, o ile podstawowy pierścień jest asocjacyjny .

Niech ${\ Displaystyle \ {g _ {\ sigma} \} _ {\ sigma \ in S} \ subseteq k \ langle X \ rangle} generować$ ideał ja $\ displaystyle I k$ ⟨ ${\ Displaystyle k \ langle X \ rangle}$ sol $\ sigma} -f_ {\ sigma}}$ ${\ Displaystyle w_ {\ sigma}}$ z wiodące słowa w pewnym ustalonym dopuszczalnym porządku ${\ Displaystyle \ langle X \ rangle}$ . Wtedy następujące są równoważne:

Wszystkie niejasności nakładania się i inkluzji między ${\ displaystyle g _ {\ sigma}}$ są możliwe do rozwiązania.
$unikalne$ elementy .
Obrazy zredukowanych słów w $k$ $\ Displaystyle k \ langle X \ rangle / I}$ -basis .

Tutaj redukcje są wykonywane w odniesieniu do ustalonego zestawu generatorów ${\ Displaystyle \ {g _ {\ sigma} \} _ {\ sigma \ in S}}$ z ${\ displaystyle I}$ . $.$ $,$ powyższych jest spełnione mówimy, Gröbnera $pod$ uwagę zestaw generatorów, zwykle sprawdza się pierwszy lub drugi warunek, aby potwierdzić, że zestaw jest podstawą.

Przykłady

Rozwiązywanie niejasności

Weź ${\ Displaystyle A = k \ langle x, y, z \ rangle / (yx-pxy, zx-qxz, zy-ryz)}$ , który jest pierścieniem wielomianu kwantowego w 3 zmiennych i załóżmy, że ${\ displaystyle x <y <z}$ . Weź $} za stopień porządku leksykograficznego, a następnie$ $}$ $zx$ słowa definiujących relacji to , i ${\ displaystyle zy}$ . Jest dokładnie jedna niejednoznaczność nakładania się, która jest $.$ niejasności inkluzji Można rozwiązać $zy$ przez $ryz$ = Pierwsza opcja daje nam następujący łańcuch redukcji,

${\ Displaystyle zyx = pzxy = pqxzy = pqrxyz,}$

mając na uwadze, że druga możliwość daje,

${\ displaystyle zyx = ryzx = rqyxz = rqpxyz.}$

Ponieważ ${\ displaystyle p, q, r}$ są przemienne, powyższe są równe. W ten sposób niejednoznaczność rozwiązuje się, a Lemat implikuje, że ${\ Displaystyle \ {yx-pxy, zx-qxz, zy-ryz \}}$ jest podstawą Gröbnera z ${\ displaystyle I}$ .

Nierozwiązywalne niejasności

Niech ${\ Displaystyle A = k \ langle x, y, z \ rangle / (z^{2}-xy-yx,zx-xz,zy-yz)}$ . W $zx}$ samej kolejności, co w poprzednim przykładzie, wiodące słowa generatorów ideału to , z $displaystyle$ i $zy}$ . Istnieją $_$ $i$ , a Rozważmy ${\ displaystyle z ^ {2} x}$ . Jeśli najpierw rozwiążemy, otrzymamy, ${\ displaystyle z ^ {2}}$

${\ Displaystyle z ^ {2} x = (xy + yx) x = xyx + yx ^ {2},}$

który nie zawiera wiodących słów i dlatego jest zredukowany. Rozwiązując najpierw otrzymujemy, ${\ displaystyle zx}$

${\ Displaystyle z ^ {2} x = zxz = xz ^ {2} = x (xy + yx) = x ^ {2} y + xyx.}$

Ponieważ oba powyższe są zredukowane, ale nie równe, widzimy, że niejednoznaczność nie zostaje rozwiązana. Stąd ${\ Displaystyle \ {z ^ {2} -xy-yx, zx-xz, zy-yz \}}$ nie jest podstawę Gröbnera dla ideału, który generuje.

Algorytm

Poniższy krótki algorytm wynika z dowodu Diamentowego Lematu Bergmana. Polega na dodawaniu nowych relacji, które rozwiązują nierozwiązywalne wcześniej niejasności. Załóżmy, $niejednoznacznością$ się Następnie dla niektórych kompozycji redukcji i $\ Displaystyle$ $s_ {2}}$ mamy to $displaystyle h_ { 1} = s_ {1} \ circ r_ {1 \ sigma u} (w)}$ i ${\ Displaystyle h_ {2} = s_ {2} \ circ r_ { t\tau 1}(w)}$ są odrębnymi liniowymi kombinacjami zredukowanych słów. Dlatego otrzymujemy nową niezerową relację ${\ displaystyle h_ {1} -h_ {2} \ in ja}$ . Wiodące słowo tej relacji jest z konieczności różne od wiodących słów istniejących stosunków. Teraz skaluj tę relację za pomocą niezerowej stałej, tak aby jej wiodące słowo miało współczynnik 1 i dodaj ją do $zbioru$ . Proces jest analogiczny dla niejednoznaczności inkluzji.

Teraz nierozwiązywalna wcześniej niejednoznaczność nakładania się rozwiązuje się przez konstrukcję nowej relacji. Mogą jednak pojawić się nowe niejasności. Ten proces może zakończyć się po skończonej liczbie iteracji, tworząc podstawę Gröbnera dla ideału lub nigdy się nie zakończyć. Nieskończony zbiór relacji tworzony w przypadku, gdy algorytm nigdy się nie kończy, nadal jest podstawą Gröbnera, ale może nie być użyteczny, chyba że można znaleźć wzorzec w nowych relacjach.

Przykład

Kontynuujmy przykład z góry, gdzie ${\ Displaystyle A = k \ langle x,y,z\rangle /(z^{2}-xy-yx,zx-xz,zy-yz)}$ . Odkryliśmy $zostaje$ że niejednoznaczność nakładania się rozwiązana To daje nam ${\ Displaystyle h_ {1} = xyx + yx ^ {2}}$ i ${\ Displaystyle h_ {2} = x ^ {2}y+xyx}$ . Nowa relacja to zatem ${\ Displaystyle h_ {1} -h_ {2} = yx ^ {2} -x ^ {2} y \ in I$ } słowo wiodące to $współczynnikiem 1.$ nie musimy go skalować i możemy dodać do naszego zestawu relacji, który jest ${\ Displaystyle \ {z ^ {2} -xy-yx, zx-xz, zy-yz, yx ^ {2} -x ^ {2}y\}}$ . Poprzednia dwuznaczność teraz rozwiązuje się albo ${\ displaystyle h_ {1}}$ lub ${\ displaystyle h_ {2}}$ . $zidentyfikowaliśmy$ żadnych niejasności, więc pozostaje nam niejednoznaczność nakładania się, którą powyżej Spróbujmy rozwiązać ten problem w stosunkach, które mamy obecnie. Ponownie, rozwiązując najpierw otrzymujemy, ${\ displaystyle z ^ {2}}$

${\ Displaystyle z ^ {2} y = (xy + yx) y = xy ^ {2} + yxy.}$

Z drugiej strony rozwiązując $,$ a następnie znajdujemy, $\ displaystyle z ^ {2}}$

${\ Displaystyle z ^ {2} y = zyz = yz ^ {2} = y (xy + yx) = yxy + y ^ {2} x.}$

Zatem ${\ Displaystyle h_ {3} = xy ^ {2} + yxy}$ i ${\ Displaystyle h_ {4} = yxy + y ^ {2} x}$ , a nowa relacja to ${\ Displaystyle h_ {3} -h_ {4} = xy ^ {2} -y ^ {2} x }$ z wiodącym słowem ${\ Displaystyle y ^ {2} x}$ . Ponieważ $dodajemy$ wiodącego słowa wynosi -1, skalujemy relację, definiujących Teraz wszystkie niejasności rozwiązują się, a Diamentowy Lemat Bergmana implikuje to

${\ Displaystyle \ {z ^ {2} -xy -yx,zx-xz,zy-yz,yx^{2}-x^{2}y,y^{2}x-xy^{2}\}} jest$ bazą Gröbnera dla ideału, który definiuje.

Dalsze uogólnienia

Znaczenie lematu diamentowego można dostrzec po tym, do ilu innych struktur matematycznych został on przystosowany:

Dla algebr szeregów potęgowych .
Dla niektórych kołczanowych algebr Heckego .
Dla algebr kategorii .
Dla małych kategorii .
Do losowych oper .

Lemat został wykorzystany do udowodnienia twierdzenia Poincarégo – Birkhoffa – Witta .

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Rogalski, D. (2014-03-12). „Wprowadzenie do nieprzemiennej geometrii rzutowej”. arXiv :1403,3065 [matematyka.RA].
^ ^a ^b ^c ^d Bergman, George (1978-02-01). „Diamentowy lemat dla teorii pierścieni” . Postępy w matematyce . 29 (2): 178–218. doi : 10.1016/0001-8708(78)90010-5 . ISSN 0001-8708 .
^ Docenko, Władimir; Tamarow, Pedro (28.10.2020). „Kompleksy styczne i diamentowy lemat”. arXiv : 2010.14792 [ matematyka. RA ].
^ ^a ^b Łopatkin, Wiktor (12.10.2021). „Teoria Garside: kompozycja - punkt widzenia diamentowego lematu”. arXiv : 2109.07595 [ matematyka. RA ].
^ Reyes, A., Suárez, H. (2016-12-01) „Podstawy algebr kwantowych i skośne rozszerzenia Poincare-Birkhoff-Witt” . MOMENTO nr 54. ISSN 0121-4470
^ ^ab ^” Hellström, L (22.10.2002) „ Diamentowy lemat dla algebr szeregów potęgowych . Print & Media, Umeå universitet, Umeå. ISBN 91-7305-327-9
^ Li, Huishi (23.06.2009). „Algebry zdefiniowane przez Monic Gr \„ Obner Bases over Rings ”. arXiv : 0906,4396 [ math.RA ].
^ Eliasz, Ben (24.07.2019). „Diamentowy lemat dla algebr typu Heckego”. arXiv : 1907.10571 [ matematyka.RT ].
Bibliografia _ Chen, Yuqun; Li, Yu (2011-01-07). "Gr \" Obner-Shirshov podstawy dla kategorii ". arXiv : 1101,1563 [ math.RA ].
^ Docenko, Władimir; Choroszkin, Anton (2010-06-01). „Podstawy Gröbnera dla oper” . Dziennik matematyczny Duke'a . 153 (2): 363–396. ar Xiv : 0812.4069 . doi : 10.1215/00127094-2010-026 . ISSN 0012-7094 . S2CID 12243016 .

[:0-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Rogalski, D. (2014-03-12). „Wprowadzenie do nieprzemiennej geometrii rzutowej”. arXiv :1403,3065 [matematyka.RA].

[:1-2] Bergman, George (1978-02-01). „Diamentowy lemat dla teorii pierścieni” . Postępy w matematyce . 29 (2): 178–218. doi : 10.1016/0001-8708(78)90010-5 . ISSN 0001-8708 .

[3] Docenko, Władimir; Tamarow, Pedro (28.10.2020). „Kompleksy styczne i diamentowy lemat”. arXiv : 2010.14792 [ matematyka. RA ].

[:3-4] Łopatkin, Wiktor (12.10.2021). „Teoria Garside: kompozycja - punkt widzenia diamentowego lematu”. arXiv : 2109.07595 [ matematyka. RA ].

[5] Reyes, A., Suárez, H. (2016-12-01) „Podstawy algebr kwantowych i skośne rozszerzenia Poincare-Birkhoff-Witt” . MOMENTO nr 54. ISSN 0121-4470

[:2-6] ” Hellström, L (22.10.2002) „ Diamentowy lemat dla algebr szeregów potęgowych . Print & Media, Umeå universitet, Umeå. ISBN 91-7305-327-9

[7] Li, Huishi (23.06.2009). „Algebry zdefiniowane przez Monic Gr \„ Obner Bases over Rings ”. arXiv : 0906,4396 [ math.RA ].

[8] Eliasz, Ben (24.07.2019). „Diamentowy lemat dla algebr typu Heckego”. arXiv : 1907.10571 [ matematyka.RT ].

[9] Bibliografia _ Chen, Yuqun; Li, Yu (2011-01-07). "Gr \" Obner-Shirshov podstawy dla kategorii ". arXiv : 1101,1563 [ math.RA ].

[10] Docenko, Władimir; Choroszkin, Anton (2010-06-01). „Podstawy Gröbnera dla oper” . Dziennik matematyczny Duke'a . 153 (2): 363–396. ar Xiv : 0812.4069 . doi : 10.1215/00127094-2010-026 . ISSN 0012-7094 . S2CID 12243016 .