Dielektryk Hopfielda

Dielektryk Hopfielda – w mechanice kwantowej model dielektryka składający się z kwantowych oscylatorów harmonicznych oddziałujących z modami kwantowego pola elektromagnetycznego . Zbiorcze oddziaływanie modów polaryzacji ładunku ze wzbudzeniami próżni, fotonami prowadzi do zaburzenia zarówno liniowej relacji dyspersji fotonów, jak i stałej dyspersji fal ładunku poprzez unikanie przecinania się dwóch linii dyspersji polarytonów . Podobnie jak w przypadku fononów akustycznych i optycznych , daleko od rezonansu jedna gałąź jest fotonowa, a druga falowa. Matematycznie dielektryk Hopfielda dla jednego trybu wzbudzenia jest równoważny pakietowi fal trojańskich w przybliżeniu harmonicznym. Model dielektryka Hopfielda przewiduje istnienie wiecznie uwięzionych zamrożonych fotonów podobnych do promieniowania Hawkinga wewnątrz materii o gęstości proporcjonalnej do siły sprzężenia pola z materią.

Teoria

Hamiltonian skwantowanego dielektryka Lorentza składającego się z oscylatorów harmonicznych oddziałujących z kwantowym polem elektromagnetycznym można zapisać w przybliżeniu dipolowym jako: ${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle H = \ suma \ limity _ {A = 1} ^ {N} {{p_ {A}} ^ {2} \ ponad 2 m} + {{m {\ omega} ^ {2}} \ ponad 2 }{x_{A}}^{2}-e{x_{A}}\cdot E(r_{A})+\sum \limits _{\lambda =1}^{2}\int d^{3 }ka_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}\hbar ck}$

Gdzie

${\ Displaystyle E (r_ {A}) = {i \ nad L ^ {3}} \ suma \ ograniczenia _ {\ lambda = 1} ^ {2} \ int d ^ {3} k [{{ck} \ ponad {2\epsilon _{0}}}]^{1 \ponad 2}[e_{\lambda }(k)a_{\lambda }(k)\exp(ikr_{A})-HC]}$

gdzie jest operatorem pola elektrycznego działającym w pozycji ${\ displaystyle r_ {A}}$ .

Wyrażając to w kategoriach operatorów kreacji i anihilacji dla oscylatorów harmonicznych, otrzymujemy

${\ Displaystyle H = \ suma \ limity _ {A = 1} ^ {N} (a_ {A} ^ {+} \ cdot a_ {A}) \ hbar \ omega - {e \ ponad {{\ sqrt {2 }}\beta }}(a_{A}+{a_{A}}^{+})\cdot E(r_{A})+\sum _{\lambda }\sum _{k}a_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}\hbar ck}$

Zakładając, że oscylatory znajdują się na jakiejś regularnej siatce stałej i stosując polarytoniczną transformatę Fouriera

${\ Displaystyle B_ {k} ^ {+} = {1 \ ponad {\ sqrt {N}}} \ suma \ granice _{A=1}^{N}\exp(ikr_{A})a_{A}^{+},}$

${\ Displaystyle B_ {k} = {1 \ ponad {\ sqrt {N}}} \ suma \ limity _ {A = 1} ^ {N} \ exp (-ikr_ {A}) a_ {A}}$

oraz zdefiniowanie rzutów fal ładunku oscylatora na kierunki polaryzacji pola elektromagnetycznego

${\ Displaystyle B _ {\ lambda k} ^ {+} = e_ {\ lambda} (k) \ cdot B_ {k} ^ {+}}$

${\ Displaystyle B _ {\ lambda k} = e _ {\ lambda} (k) \ cdot B_ {k},}$

po odrzuceniu wkładów podłużnych nieoddziałujących z polem elektromagnetycznym można otrzymać hamiltonian Hopfielda

$\ Displaystyle H = \ suma _ {\ lambda} \ suma _ {k} (B_ {\ lambda k} ^ {+}B_{\lambda k}+{1 \over 2})\hbar \omega +\hbar cka_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}+{ie\hbar \over {\sqrt {\epsilon _{0}m\omega}}}{\sqrt {N \over V}}{\sqrt {ck}}[B_{\lambda k}a_{\lambda -k}+B_{\lambda k }^{+}a_{\lambda k}-B_{\lambda k}^{+}a_{\lambda -k}^{+}-B_{\lambda k}a_{\lambda k}^{+} ]}$

Ponieważ interakcja nie polega na mieszaniu polaryzacji, można ją przekształcić do postaci normalnej za pomocą częstotliwości własnych dwóch gałęzi polarytonowych:

${\ Displaystyle H = \ suma _ {\ lambda} \ suma _ {k} \ lewo [\ Omega _ {+} (k) C_ {\ lambda + k} ^ {+} C_ {\ lambda + k} + \ Omega _{-}(k)C_{\lambda -k}^{+}C_{\lambda -k}\right]+const}$

z równaniem wartości własnej

${\ Displaystyle [C _ {\ lambda \ pm k}, H] = \ Omega _ {\ pm} (k) C _ {\ lambda \ pm k}}$

${\ Displaystyle C _ {\ lambda \ pm k} = c_ {1} a_ {\ lambda k}+c_{2}a_{\lambda -k}+c_{3}a_{\lambda k}^{+}+c_{4}a_{\lambda -k}^{+}+c_{5 }B_{\lambda k}+c_{6}B_{\lambda -k}+c_{7}B_{\lambda k}^{+}+c_{8}B_{\lambda -k}^{+} }$

Gdzie

${\ Displaystyle \ Omega _ {-} (k) ^ {2} = {\ omega ^{2}+\Omega ^{2}-{\sqrt {{(\omega ^{2}-\Omega ^{2})}^{2}+4{g}\omega ^{2}\Omega ^{2}}} \ponad 2},}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {+} (k) ^ {2} = {\ omega ^ {2} + \ Omega ^ {2} + { \sqrt {{(\omega ^{2}-\Omega ^{2})}^{2}+4{g}\omega ^{2}\Omega ^{2}}} \ponad 2}}$ ,

z

${\ Displaystyle \ Omega (k) = ck,}$

(dyspersja fotonów w próżni) i

${\ Displaystyle g = {{Ne ^ {2}} \ ponad {Vm \ epsilon _ {0} \ omega ^ {2}}}}$

$ciasno$ bezwymiarową stałą sprzężenia proporcjonalną do gęstości dielektryka z częstotliwością Lorentza $. Można$ dyspersja fali ładunku $bez materii$ wartość średniej liczby jest niezerowe w stanie podstawowym polarytonowego hamiltonianu ${\ Displaystyle C_ {k \ pm} | \ mathbf {0} > = 0}$ podobnie do promieniowania Hawkinga w sąsiedztwie czarnej dziury z powodu efektu Unruha-Daviesa . Można łatwo zauważyć, że niższa częstotliwość własna $sol$ się wyimaginowana, gdy stała sprzężenia staje się krytyczna przy . $\ displaystyle g> 1$ co sugeruje, że dielektryk Hopfielda będzie przechodził superradiantowe przejście fazowe .