Superradiantowe przejście fazowe

Schematyczny wykres parametru rzędu przejścia Dicke'a, który wynosi zero w fazie normalnej i skończony w fazie superradiant. Wstawka pokazuje energię swobodną w fazie normalnej i nadpromiennej

W optyce kwantowej nadpromieniste przejście fazowe to przejście fazowe , które zachodzi w zbiorze emiterów fluorescencyjnych (takich jak atomy), między stanem zawierającym niewiele wzbudzeń elektromagnetycznych (jak w próżni elektromagnetycznej ) a stanem nadpromienistym z wieloma wzbudzeniami elektromagnetycznymi uwięzionymi wewnątrz emitery. Stan nadpromienisty jest korzystny termodynamicznie dzięki silnym, spójnym interakcjom między emiterami.

Przemiana fazowa nadpromieniowania została pierwotnie przewidziana przez model nadpromieniowania Dicke'a , który zakłada, że ​​atomy mają tylko dwa poziomy energetyczne i że oddziałują one tylko z jednym trybem pola elektromagnetycznego. Przemiana fazowa zachodzi, gdy siła oddziaływania między atomami a polem jest większa niż energia nieoddziałującej części układu. (Jest to podobne do przypadku nadprzewodnictwa w ferromagnetyzmie , co prowadzi do dynamicznego oddziaływania między atomami ferromagnetyka i spontanicznego uporządkowania wzbudzeń poniżej temperatury krytycznej.) Zbiorcze przesunięcie Lamba , odnoszące się do układu atomów oddziałujących z fluktuacjami próżni , staje się porównywalne z energiami samych atomów, a fluktuacje próżni powodują spontaniczne samowzbudzenie materii.

Przejście można łatwo zrozumieć, stosując transformację Holsteina-Primakowa zastosowaną do atomu dwupoziomowego . W wyniku tej przemiany atomy stają się oscylatorami harmonicznymi Lorentza o częstotliwościach równych różnicy poziomów energii. Cały system upraszcza się następnie do układu oddziałujących oscylatorów harmonicznych atomów i pola znanego jako dielektryk Hopfielda , który dodatkowo przewiduje polarony w stanie normalnym dla fotonów lub polarytonów . Jeżeli oddziaływanie z polem jest tak silne, że układ załamuje się w przybliżeniu harmonicznym i pojawiają się złożone częstotliwości polarytonowe (mody miękkie), to układ fizyczny o nieliniowych wyrazach wyższego rzędu staje się układem o potencjale kapelusza meksykańskiego , a ulegnie przemianie fazowej podobnej do ferroelektrycznej . W tym modelu system jest matematycznie równoważny dla jednego trybu wzbudzenia pakietu fali trojańskiej , gdy natężenie pola spolaryzowanego kołowo odpowiada stałej sprzężenia elektromagnetycznego. Powyżej wartości krytycznej przechodzi w niestabilny ruch jonizacji .

Nadradiantowe przejście fazowe było przedmiotem szerokiej dyskusji, czy jest ono jedynie wynikiem uproszczonego modelu interakcji materii z polem; i czy może wystąpić dla rzeczywistych parametrów fizycznych układów fizycznych ( twierdzenie o braku wyjścia ). Jednak zarówno pierwotne wyprowadzenie, jak i późniejsze poprawki prowadzące do nieistnienia przejścia - ze względu na regułę sumy Thomasa-Reiche'a-Kuhna znoszącą dla oscylatora harmonicznego potrzebną nierówność do niemożliwej ujemności interakcji - opierały się na założeniu, że pole kwantowe operatorzy dojeżdżają do pracy, a atomy nie oddziałują ze statycznymi siłami kulombowskimi. Na ogół nie jest to prawdą, jak w przypadku Twierdzenie Bohra-van Leeuwena i klasyczny nieistnienie diamagnetyzmu Landaua . Powrót przejścia zasadniczo występuje, ponieważ interatomowe interakcje dipol-dipol nigdy nie są pomijalne w reżimie gęstości materii nadpromienistej, a jednostkowa transformacja Powera-Zienaua eliminująca potencjał wektora kwantowego w hamiltonianie o minimalnym sprzężeniu przekształca hamiltonian dokładnie do postaci używany, gdy został odkryty i bez kwadratu potencjału wektora, który później twierdzono, że temu zapobiega. Alternatywnie w ramach pełnej mechaniki kwantowej obejmującej pole elektromagnetyczne uogólnione Twierdzenie Bohra – van Leeuwena nie działa, a oddziaływań elektromagnetycznych nie można całkowicie wyeliminować, ponieważ zmieniają one jedynie sprzężenie potencjału wektora z ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {E}}$ elektrycznym $\ Displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {A}}$ i zmienić efektywne oddziaływania elektrostatyczne. Można to zaobserwować w układach modelowych, takich jak kondensaty Bosego-Einsteina i sztuczne atomy.

Teoria

Krytyczność linearyzowanego modelu Jaynesa-Cummingsa

Nadradiantowe przejście fazowe jest formalnie przewidywane przez krytyczne zachowanie rezonansowego modelu Jaynesa-Cummingsa , opisującego oddziaływanie tylko jednego atomu z jednym modem pola elektromagnetycznego. Zaczynając od dokładnego hamiltonianu modelu Jaynesa-Cummingsa w rezonansie

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} _ {\ tekst {JC}} = \ hbar \ omega {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet} {\ kapelusz {a}} + \ hbar \ omega {\ frac {{\kapelusz {\sigma}}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega}}{2}}\left({\kapelusz {a}}{\kapelusz {\sigma}} _{+}+{\kapelusz {a}}^{\sztylet}}{\kapelusz {\sigma}}_{-}+{\kapelusz {a}}{\kapelusz {\sigma}}_{-}+ {\kapelusz {a}}^{\sztylet}}{\kapelusz {\sigma}}_{+}\right),}$

Zastosowanie transformacji Holsteina-Primakoffa dla dwóch poziomów wirowania, zastąpienie operatorów podnoszenia i opuszczania wirowania operatorami dla oscylatorów harmonicznych

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ sigma}} _ {-} \ około {\ kapelusz {b}}} σ ^ + ≈$

$\ kapelusz {\ sigma}} _ {+} \ około {\ kapelusz {b}} ^ {\ sztylet}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ sigma}} _ {z} \ około 2 {\ kapelusz { b}}^{\sztylet }{\kapelusz {b}}}$

otrzymuje się hamiltonian dwóch sprzężonych oscylatorów harmonicznych:

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} _ {\ tekst {JC}} = \ hbar \ omega {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet} {\ kapelusz {a}} + \ hbar \ omega {\ kapelusz {b}}^{\sztylet}{\kapelusz {b}}+{\frac {\hbar \Omega}{2}}\left({\kapelusz {a}}{\kapelusz {b}}^{\ sztylet }+{\kapelusz {a}}^{\sztylet}}{\kapelusz {b}}+{\kapelusz {a}}{\kapelusz {b}}+{\kapelusz {a}}^{\sztylet} {\ kapelusz {b}} ^ {\ sztylet} \ w prawo),}$

które łatwo można przediagonalizować. Postulowanie jego postaci normalnej

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} _ {\ tekst {JC}} = \ Omega _ {+} {\kapelusz {A_{+}}}^{\sztylet}{\kapelusz {A_{+}}}+\Omega _{-}{\kapelusz {A_{-}}}}^{\sztylet}}{\kapelusz {A_{-}}}+C}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A_ {\ pm}}} = c_ {\ pm 1} {\kapelusz {a}}+c_{\pm 2}{\kapelusz {a}}^{\sztylet}+c_{\pm 3}{\kapelusz {b}}+c_{\pm 4}{\kapelusz {b}}^{\sztylet}}$

otrzymuje się równanie wartości własnej

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {A_ {\ pm}}}, {\ kapelusz {H}} _ {\ tekst {JC}}] = \ Omega _ { \pm }A}$

z rozwiązaniami

${\ Displaystyle \ Omega _ {\ pm} = \ omega {\ sqrt {1 \ pm {\ Frac {\ Omega} {\ omega}}}}}$

System załamuje się, gdy jedna z częstotliwości staje się urojona, tj. kiedy

${\ Displaystyle \ Omega > \ omega}$

lub gdy sprzężenie atom-pole jest silniejsze niż częstotliwość modu i oscylatorów atomowych. Chociaż w prawdziwym systemie istnieją fizycznie wyższe terminy, system w tym reżimie przejdzie zatem przemianę fazową.

Krytyczność modelu Jaynesa-Cummingsa

Uproszczony hamiltonian modelu Jaynesa-Cummingsa, pomijając wyrazy przeciwbieżne, to

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} _ {\ tekst {JC}} = \ hbar \ omega {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet} {\ kapelusz {a}} + \ hbar \ omega {\ frac {{\kapelusz {\sigma}}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega}}{2}}\left({\kapelusz {a}}{\kapelusz {\sigma}} _{+}+{\kapelusz {a}}^{\sztylet}}{\kapelusz {\sigma}}_{-}\right),}$

a energie dla przypadku przestrojenia zerowego to

${\ Displaystyle E _ {\ pm} (n) = \ hbar \ omega \ lewo (n + {\ Frac {1} 2}} \ prawej) \ pm {\ Frac {1} {2}} \ hbar \ Omega (n)}$

${\ Displaystyle \ Omega (n) = \ Omega {\ sqrt {n+1}}}$

gdzie jest częstotliwością $_$ . Można w przybliżeniu obliczyć kanoniczną funkcję podziału

${\ Displaystyle Z = \ suma _ {\ pm, n }\mathrm {e} ^{-\beta E_{\pm }(n)}\około \sum _{\pm }\int \mathrm {e} ^{-\beta E_{\pm }(n)} dn=\int \mathrm {e} ^{\Phi (n)}dn}$ ,

gdzie dyskretna suma została zastąpiona przez całkę.

Normalne podejście polega na tym, że ta ostatnia całka jest obliczana przez przybliżenie Gaussa wokół maksimum wykładnika:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ Phi (n)} {\ częściowe n}} = 0}$

${\ Displaystyle \ Phi (n) = - \ beta \ hbar \ omega \ lewo (n + {\ Frac {1} {2}} \ prawej) + \ log 2 \ cosh { \frac {\hbar \Omega (n)\beta }{2}}}$

Prowadzi to do krytycznego równania

${\ Displaystyle \ tanh {\ Frac {\ hbar \ Omega (n) \ beta} {2}} = 4 {\ Frac {\ omega}} {\ Omega }}{\sqrt {n+1}}}$

Ma to rozwiązanie tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle \ Omega > 4 \ omega}$

co oznacza, że ​​faza normalna i faza nadpromienista istnieją tylko wtedy, gdy sprzężenie pole-atom jest znacznie silniejsze niż różnica energii między poziomami atomów. Gdy warunek jest spełniony, równanie daje rozwiązanie dla parametru porządku $.$$odwrotności$ temperatury , co nieznikający uporządkowany tryb pola Podobne rozważania można przeprowadzić w prawdziwej granicy termodynamicznej nieskończonej liczby atomów.

Niestabilność klasycznego modelu elektrostatycznego

Lepszy wgląd w naturę nadpromienistego przejścia fazowego, a także w fizyczną wartość parametru krytycznego, który musi zostać przekroczony, aby nastąpiło przejście, można uzyskać badając klasyczną stabilność układu naładowanych klasycznych oscylatorów harmonicznych w przestrzeń 3D oddziałująca tylko z elektrostatycznymi siłami odpychania, na przykład między elektronami w potencjale lokalnie oscylatora harmonicznego. Pomimo pierwotnego modelu nadpromieniowania, kwantowe pole elektromagnetyczne zostało tutaj całkowicie pominięte. Można założyć, że oscylatory są umieszczone na przykład na siatce sześciennej o stałej sieci ${\ displaystyle a}$ w analogii do układu krystalicznego materii skondensowanej. Zakłada się gorszy scenariusz defektu braku dwóch elektronów stabilizujących ruch poza płaszczyzną u szóstego najbliższego sąsiedztwa wybranego elektronu, podczas gdy najpierw zakłada się, że cztery najbliższe elektrony są sztywne w przestrzeni i wytwarzanie potencjału antyharmonicznego w kierunku prostopadłym do płaszczyzny wszystkich pięciu elektronów. Warunek niestabilności ruchu wybranego elektronu jest to, że potencjał netto będący superpozycją potencjału oscylatora harmonicznego i kwadratowo rozszerzonego potencjału Coulomba z czterech elektronów jest ujemny, tj.

${\ Displaystyle {\ Frac {m \ omega ^ {2}} {2}} - {\ Frac {1} {2}} \ razy 4\razy {\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{a^{3}}}<0}$

Lub

${\ Displaystyle {\ Frac {e ^ {2}}} {\ pi \ epsilon _ {0} m \ omega ^ {2}}} {\ Frac {1} a^{3}}}>1}$

Uczynienie go sztucznie kwantowym przez pomnożenie licznika i mianownika ułamka przez jeden otrzymuje warunek ${\ displaystyle \ hbar}$

${\ Displaystyle {\ Frac {2} {\ pi}} {\ Frac {| D_ {12} | ^ {2}} {E_ {12} \ epsilon _ {0} }}\lewo({\frac {N}{V}}\prawo)>1}$

Gdzie

${\ Displaystyle | D_ {12} | ^ {2} = {\ Frac {e ^ {2} \ hbar} {2 m \ omega}}}$

jest kwadratem siły przejścia dipola między stanem podstawowym a pierwszym stanem wzbudzonym kwantowego oscylatora harmonicznego ,

${\ Displaystyle E_ {12} = \ hbar \ omega}$

jest przerwą energetyczną między kolejnymi poziomami i to też zauważono

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {a ^ {3}}} = {\ Frac {N} {V}}}$

jest gęstością przestrzenną oscylatorów. Warunek jest prawie identyczny z tym uzyskanym przy pierwotnym odkryciu superradiantowego przejścia fazowego przy zastąpieniu oscylatorów harmonicznych dwoma atomami poziomu o tej samej odległości między poziomami energii, sile przejścia dipolowego i gęstości, co oznacza, że ​​zachodzi on w reżimie gdy oddziaływania kulombowskie między elektronami dominują nad lokalnie harmonicznymi oscylacyjnymi wpływami atomów. W tym sensie gaz elektronów swobodnych $nadpromienisty$ .

Krytyczna nierówność przepisana jeszcze inaczej

${\ Displaystyle \ omega <{\ sqrt {{\ Frac {e ^ {2}} {m \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {N}{V}}}}\około {\sqrt {{\frac {e^{2}}{m\epsilon _{0}}}{\frac {N}{V}}}}}$

wyraża fakt, że nadradiantowe przejście fazowe zachodzi, gdy częstotliwość wiążących oscylatorów atomowych jest mniejsza niż tzw. częstotliwość plazmy gazu elektronowego .