Dodana masa

W mechanice płynów dodana masa lub masa wirtualna to bezwładność dodana do układu, ponieważ ciało przyspieszające lub zwalniające musi poruszyć (lub odchylić) pewną objętość otaczającego płynu , gdy się przez niego porusza. Dodatkowa masa jest częstym problemem, ponieważ obiekt i otaczający płyn nie mogą jednocześnie zajmować tej samej przestrzeni fizycznej. Dla uproszczenia można to modelować jako pewną objętość płynu poruszającą się z obiektem, chociaż w rzeczywistości „cały” płyn będzie przyspieszany w różnym stopniu.

Bezwymiarowy współczynnik dodanej masy to dodana masa podzielona przez wypartą masę płynu – tj. podzielona przez gęstość płynu pomnożoną przez objętość ciała. Ogólnie rzecz biorąc, dodana masa jest tensorem drugiego rzędu , odnoszącym wektor przyspieszenia płynu do wynikowego wektora siły działającej na ciało.

Tło

Friedrich Wilhelm Bessel zaproponował koncepcję masy dodanej w 1828 r., Aby opisać ruch wahadła w płynie. Okres takiego wahadła zwiększył się w stosunku do jego okresu w próżni (nawet po uwzględnieniu wyporu ), co wskazuje, że otaczający płyn zwiększył efektywną masę układu.

Pojęcie masy dodanej jest prawdopodobnie pierwszym przykładem renormalizacji w fizyce. Koncepcję tę można również traktować jako odpowiednik klasycznej fizyki kwantowo-mechanicznej koncepcji kwazicząstek . Nie należy go jednak mylić z relatywistycznym wzrostem masy.

Często błędnie stwierdza się, że dodana masa jest określana przez pęd płynu. Że tak nie jest, staje się jasne, gdy rozważymy przypadek płynu w dużym pudle, w którym pęd płynu jest dokładnie zerowy w każdej chwili. Dodana masa jest w rzeczywistości określona przez quasi-pęd: dodana masa pomnożona przez przyspieszenie ciała jest równa pochodnej quasi-pędu płynu po czasie.

Wirtualna siła masowa

Siły niestacjonarne wywołane zmianą prędkości względnej ciała zanurzonego w płynie można podzielić na dwie części: efekt wirtualnej masy i siłę Basseta .

Źródłem siły jest to, że płyn uzyska energię kinetyczną kosztem pracy wykonanej przez przyspieszające zanurzone ciało.

Można wykazać, że wirtualna siła masowa kulistej cząstki zanurzonej w nielepkim, nieściśliwym płynie wynosi

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ Frac {\ rho _ {\ operatorname {c}} V _ {\ operatorname {p}} }{2}}\left({\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\ matematyczna {d} t}}\right),}

$c} }}$ pogrubione symbole oznaczają wektory, ${u}}$ $\$ płynu , to prędkość sferycznej cząstki, u { $Displaystyle \ mathbf$ to gęstość masy płynu $cząstki ,$ faza ciągła), to a D/D t oznacza pochodną materiału .

Pochodzenie pojęcia „masy wirtualnej” staje się oczywiste, gdy przyjrzymy się równaniu pędu cząstki.

{\ Displaystyle m _ {\ operatorname {p}}} {\ Frac {\ operatorname {d} \ mathbf { v} }{\mathrm {d} t}}=\sum \mathbf {F} +{\frac {\rho _{\mathrm {c}}V_{\mathrm {p}}}{2}}\left ({\frac {\mathrm {D} \mathbf {u}}} {\mathrm {D} t}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v}}} {\mathrm {d} t}} \Prawidłowy),}

gdzie jest $grawitacja$ wszystkich innych warunków siły na cząstce, takich jak , ciśnienia , opór , siła nośna , siła Basseta itp.

Przesuwając pochodną prędkości cząstki z prawej strony równania w lewo otrzymujemy

{\ Displaystyle \ lewo (m _ {\ operatorname {p}} + {\ Frac {\ rho _ {\mathrm {c}}V_{\mathrm {p}}}{2}}\right){\frac {\mathrm {d} \mathbf {v}}}{\mathrm {d} t}}=\sum \mathbf {F} +{\frac {\rho _{\mathrm {c}}V_{\mathrm {p}}}{2}}{\frac {\mathrm {D} \mathbf {u}}}{\ matematyczna {D} t}},}

więc cząstka jest przyspieszana tak, jakby miała dodatkową masę równą połowie płynu, który wypiera, a po prawej stronie działa również dodatkowa siła spowodowana przyspieszeniem płynu.

Aplikacje

Dodaną masę można uwzględnić w większości równań fizycznych, biorąc pod uwagę masę efektywną jako sumę masy i masy dodanej. Suma ta jest powszechnie znana jako „masa wirtualna”.

Proste sformułowanie masy dodanej dla ciała kulistego pozwala na zapisanie drugiego klasycznego prawa Newtona w postaci

{\ Displaystyle F = m \, a}

staje się

{\ Displaystyle F = (m + m _ {\ tekst {dodany}}) \, za.}

Można pokazać, że dodana masa kuli (o promieniu $wynosi$ 2 $\ Displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _{\text{fluid}}}$ , czyli połowa objętości kuli pomnożona przez gęstość płynu. W przypadku ogólnego ciała dodana masa staje się tensorem (nazywanym tensorem masy indukowanej), którego składowe zależą od kierunku ruchu ciała. Nie wszystkie elementy w tensorze masy dodanej będą miały masę wymiarową, niektóre będą miały masę × długość, a inne masę × długość ² .

Dodatkowa masa będzie miała wpływ na wszystkie ciała przyspieszające w płynie, ale ponieważ dodana masa zależy od gęstości płynu, efekt ten jest często pomijany w przypadku gęstych ciał spadających w znacznie mniej gęstych płynach. W sytuacjach, gdy gęstość płynu jest porównywalna lub większa niż gęstość ciała, dodana masa często może być większa niż masa ciała, a jej zaniedbanie może wprowadzić znaczne błędy w obliczeniach.

Na przykład kulisty pęcherzyk powietrza unoszący się w wodzie ma masę ${\ Displaystyle {\ tfrac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {\ tekst {powietrze} }}$ ale dodana masa ${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {\ tekst {woda}}.}$ Ponieważ woda jest około 800 razy gęstsza niż powietrze (przy RTP ), dodana masa w w tym przypadku masa bańki jest około 400 razy większa.

Architektura marynarki wojennej

Zasady te mają również zastosowanie do statków, łodzi podwodnych i platform morskich. W przemyśle morskim dodana masa jest określana jako dodana masa hydrodynamiczna. Podczas projektowania statku należy wziąć pod uwagę energię potrzebną do przyspieszenia dodanej masy podczas przeprowadzania analizy utrzymywania się na morzu. W przypadku statków dodatkowa masa może z łatwością osiągnąć jedną czwartą lub jedną trzecią masy statku, a zatem stanowi znaczną bezwładność , oprócz sił oporu tarcia i wytwarzania fal .

Dla niektórych geometrii swobodnie tonących w słupie wody, dodana masa hydrodynamiczna związana z tonącym ciałem może być znacznie większa niż masa obiektu. Taka sytuacja może wystąpić np. wtedy, gdy tonące ciało ma dużą płaską powierzchnię z wektorem normalnym skierowanym w kierunku ruchu (w dół). Znaczna ilość energii kinetycznej jest uwalniana, gdy taki obiekt gwałtownie zwalnia (np. w wyniku zderzenia z dnem morskim).

W przemyśle offshore dokładna masa hydrodynamiczna o różnej geometrii jest przedmiotem intensywnych badań. Badania te są zwykle wymagane jako dane wejściowe do oceny ryzyka związanego z upuszczanymi obiektami podmorskimi (badania koncentrujące się na ilościowym określaniu ryzyka wpływu upuszczanych obiektów na infrastrukturę podwodną). Ponieważ dodana masa hydrodynamiczna może stanowić znaczną część całkowitej masy tonącego obiektu w chwili uderzenia, znacząco wpływa ona na wytrzymałość obliczeniową rozważaną dla podwodnych konstrukcji ochronnych.

Bliskość granicy (lub innego obiektu) może wpływać na ilość dodanej masy hydrodynamicznej. Oznacza to, że dodana masa zależy zarówno od geometrii obiektu, jak i jego bliskości do granicy. W przypadku ciał pływających (np. statków/statków) oznacza to, że reakcja ciała pływającego (tj. z powodu działania fal) jest zmieniona na skończonych głębokościach wody (skutek ten praktycznie nie występuje na wodach głębokich). Konkretna głębokość (lub bliskość granicy), na której wywierany jest wpływ na dodaną masę hydrodynamiczną, zależy od geometrii ciała oraz położenia i kształtu granicy (np. doku, falochronu, grodzi lub dna morskiego).

Dodana masa hydrodynamiczna związana z swobodnie tonącym obiektem w pobliżu granicy jest podobna do masy ciała pływającego. Ogólnie rzecz biorąc, dodana masa hydrodynamiczna wzrasta wraz ze zmniejszaniem się odległości między granicą a ciałem. Ta cecha jest ważna przy planowaniu instalacji podwodnych lub przewidywaniu ruchu ciała pływającego w płytkich wodach.

Aeronautyka

W samolotach (innych niż balony i sterowce lżejsze od powietrza) zwykle nie bierze się pod uwagę dodatkowej masy, ponieważ gęstość powietrza jest tak mała.

Zobacz też

Siła Basseta do opisu wpływu historii ruchu względnego ciała na siły lepkości w przepływie Stokesa
Równanie Basseta-Boussinesqa-Oseena do opisu ruchu i sił działających na cząstkę poruszającą się w nieustalonym przepływie przy niskich liczbach Reynoldsa
Dryf Darwina dla związku między dodaną masą a objętością dryfu Darwina
Liczba Keulegana-Carpentera dla bezwymiarowego parametru podającego względne znaczenie siły oporu dla bezwładności podczas obciążenia falowego
Równanie Morisona dla empirycznego modelu siły w obciążeniu falowym, obejmujące dodatkową masę i opór
Operator amplitudy odpowiedzi do wykorzystania dodatkowej masy w projektowaniu statków

Linki zewnętrzne