Dodatni wielomian

Ten artykuł dotyczy dodatnich wielomianów i twierdzeń typu positivstellensatz. Dla Krivine – Stengle Positivstellensatz, zobacz Krivine – Stengle Positivstellensatz .

W matematyce wielomian dodatni ( odpowiednio nieujemny wielomian ) w określonym zbiorze to wielomian , którego wartości są dodatnie (odpowiednio nieujemne) w tym zbiorze. Dokładnie, niech p będzie wielomianem w n zmiennych z rzeczywistymi współczynnikami i niech S będzie podzbiorem n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej ℝ n . Mówimy, że:

  • p jest dodatnie na S jeśli p ( x ) > 0 dla każdego x w S .
  • p jest nieujemne na S jeśli p ( x ) ≥ 0 dla każdego x w S .

Positivstellensatz (i nichtnegativstellensatz)

Dla pewnych zbiorów S istnieją opisy algebraiczne wszystkich wielomianów, które są dodatnie (lub nieujemne) na S. Taki opis jest positivstellensatz (odp. nichtnegativstellensatz ). Znaczenie twierdzeń Positivstellensatz w obliczeniach wynika z ich zdolności do przekształcania problemów optymalizacji wielomianowej w programowania półokreślonego , które można skutecznie rozwiązać za pomocą technik optymalizacji wypukłej .

Przykłady positivstellensatz (i nichtnegativstellensatz)

  • Globalnie dodatnie wielomiany i suma kwadratów rozkładu .
    • stopniu parzystym jest nieujemny na ℝ wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą dwóch kwadratów wielomianów rzeczywistych w jednej zmiennej. Ta równoważność nie uogólnia się dla wielomianu z więcej niż jedną zmienną: na przykład wielomian Motzkina X 4 Y 2 + X 2 Y 4 − 3 X 2 Y 2 + 1 jest nieujemny na ℝ 2 , ale nie jest sumą kwadratów elementów z ℝ[ X , Y ].
    • Rzeczywisty wielomian w n zmiennych jest nieujemny na ℝ n wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą kwadratów rzeczywistych funkcji wymiernych w n zmiennych (patrz problem siedemnasty Hilberta i rozwiązanie Artina).
    •   Załóżmy, że p ∈ ℝ[ X 1 , ..., X n ] jest jednorodne w stopniu parzystym. Jeśli jest dodatni na ℝ n \ {0}, to istnieje liczba całkowita m taka, że ​​( X 1 2 + ... + X n 2 ) m p jest sumą kwadratów elementów z ℝ[ X 1 , .. ., X n ].
  • Wielomiany dodatnie na wielotopach .
    • 0 Dla wielomianów stopnia ≤ 1 mamy następujący wariant lematu Farkasa : Jeśli f , g 1 , ..., g k mają stopień ≤ 1 i f ( x ) ≥ 0 dla każdego x ∈ ℝ n spełniającego g 1 ( x ) ≥ 0, ..., g k ( x ) ≥ 0, to istnieją nieujemne liczby rzeczywiste c , c 1 , ..., c k takie, że 0 fa = do + do 1 sol 1 + ... + do k sol k .
    •   Twierdzenie Pólyi: Jeśli p ∈ ℝ[ X 1 , ..., X n ] jest jednorodne i p jest dodatnie na zbiorze { x ∈ ℝ n | x 1 ≥ 0, ..., x n ≥ 0, x 1 + ... + x n ≠ 0}, to istnieje liczba całkowita m taka, że ​​( x 1 + ... + x n ) m p nie ma -współczynniki ujemne.
    • Twierdzenie Handelmana: Jeśli K jest zwartym wielotopem w euklidesowej przestrzeni d , zdefiniowanym przez nierówności liniowe g i ≥ 0, i jeśli f jest wielomianem w zmiennych d dodatnim na K , to f można wyrazić jako kombinację liniową z nie -ujemne współczynniki iloczynów członków { g i }.
  • Wielomiany dodatnie na zbiorach półalgebraicznych .

Uogólnienia pozytywstellensatz

Dodatnie stellensatz istnieją również dla znakomitów , wielomianów trygonometrycznych , macierzy wielomianów , wielomianów w zmiennych wolnych, wielomianów kwantowych i definiowalnych funkcji na strukturach o-minimalnych .

  •   Bochnak, Jacek; Coste, Michel; Roy, Marie-Françoise. Prawdziwa geometria algebraiczna . Przetłumaczone z francuskiego oryginału z 1987 roku. Poprawione przez autorów. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Wyniki z matematyki i dziedzin pokrewnych (3)], 36. Springer-Verlag, Berlin, 1998. x+430 s. ISBN 3-540-64663-9 .
  •     Marshalla, Murraya. „Dodatnie wielomiany i sumy kwadratów”. Mathematical Surveys and Monographs , 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 s. ISBN 978-0-8218-4402-1 , ISBN 0-8218-4402-4 .

Notatki

Zobacz też

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Positive_polynomial&oldid=1143532457 ”