Krivine-Stengle Positivstellensatz

W rzeczywistej geometrii algebraicznej Krivine – Stengle Positivstellensatz (niem. „ twierdzenie o miejscu dodatnim ”) charakteryzuje wielomiany , które są dodatnie w zbiorze półalgebraicznym , który jest zdefiniowany przez układy nierówności wielomianów o rzeczywistych współczynnikach lub, bardziej ogólnie, współczynniki z dowolnego naprawdę zamknięte pole .

Można go traktować jako prawdziwy analog Nullstellensatz Hilberta (który dotyczy zespolonych zer wielomianowych ideałów) i ta analogia jest źródłem jego nazwy. Udowodnił to francuski matematyk Jean-Louis Krivine [ fr ; de ] , a następnie ponownie odkryte przez Kanadyjczyka Gilberta Stengle'a [ Wikidata ] .

Oświadczenie

Niech R będzie rzeczywistym ciałem zamkniętym , a F = { f ₁ , f ₂ , ..., f _m_} i G = { g ₁ , g ₂ , ..., gr } skończonymi zbiorami wielomianów nad R w n zmienne. Niech W będzie zbiorem semialgebraicznym

{\ Displaystyle W = \ {x \ w R ^ {n} \ mid \ forall f \ in fa, \, f (x) \ geq 0; \, \ forall g\w G,\,g(x)=0\},}

i zdefiniuj zamówienie wstępne powiązane z W jako zestaw

{\ Displaystyle P (F, G) = \ lewo \ {\ suma _ {\ alfa \ w \ {0,1 \} ^ {m}} \ sigma _{\alpha}f_{1}^{\alpha_{1}}\cdots f_{m}^{\alpha _{m}}+\sum _{\ell =1}^{r}\varphi _ {\ell}g_{\ell}:\sigma _{\alpha}\in \Sigma ^{2}[X_{1},\ldots,X_{n}];\\varphi _{\ell}\in R[X_{1},\ldkropki,X_{n}]\prawo\}}

gdzie Σ ² [ X ₁ ,..., X _n ] jest zbiorem wielomianów o sumie kwadratów . Innymi słowy , P ( F , G ) ₌ C + I , gdzie C jest stożkiem generowanym _przez F ( tj . _ _ _ _ jest ideał wygenerowany przez G.

Niech p ∈ R [ X ₁ ,..., X _n ] będzie wielomianem. Krivine-Stengle Positivstellensatz stwierdza, że

(i)

{\ Displaystyle \ forall x \ in W \; p (x) \ geq 0}

wtedy i tylko wtedy, gdy

{\ displaystyle \ istnieje q_ {1}, q_ {2} \ w P (F, G)}

i

{\ Displaystyle s \ w \ mathbb {Z}}

takie, że

{\ displaystyle q_ {1} p = p ^ {2s} + q_ {2}}

.

(ii)

{\ Displaystyle \ forall x \ in W \; p (x)> 0}

wtedy i tylko wtedy, gdy

{\ Displaystyle \istnieje q_ {1}, q_ {2} \ w P (F, G)}

takie, że

{\ Displaystyle q_ {1} p = 1 + q_ {2}}

.

Słaby Positivstellensatz . jest następującym wariantem Positivstellensatz Niech R będzie rzeczywistym ciałem zamkniętym, a F , G i H skończonymi podzbiorami R [ X ₁ ,..., X _n ]. Niech C będzie stożkiem generowanym przez F , a I ideałem generowanym przez G . Następnie

{\ Displaystyle \ {x \ w R ^ {n }\mid \forall f\in F\,f(x)\geq 0\land \forall g\in G\,g(x)=0\land \forall h\in H\,h(x)\neq 0\}=\pustyzbiór }

wtedy i tylko wtedy gdy

, g \ w ja, n \ w \ mathbb {N} \; f+g+\left(\prod H\right)^{\!2n}=0.}

(W przeciwieństwie do Nullstellensatz , forma „słaba” w rzeczywistości obejmuje formę „mocną” jako przypadek szczególny, więc terminologia jest błędna.)

Warianty

Krivine-Stengle Positivstellensatz ma również następujące udoskonalenia w ramach dodatkowych założeń. Należy zauważyć, że Positivstellensatz Schmüdgena ma słabsze założenie niż Positivstellensatz Putinara, ale konkluzja jest również słabsza.

Positivstellensatz Schmüdgena

Załóżmy, że ${\ displaystyle R = \ mathbb {R}}$ . ${x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid \ forall f \ in F ,\,f(x)\geq 0\}}$ fa jest zwarty , to każdy wielomian ${\ Displaystyle p \ w \ mathbb {R} [X_ {1}, \ kropki, X_ {n}]}, który jest$ ściśle dodatni na ${\ Displaystyle W}$ można zapisać jako wielomian w funkcjach definiujących ${\ Displaystyle W}$ ze współczynnikami sumy kwadratów, tj. ${\ Displaystyle p \ w P (F, \ pusty zestaw)}$ . Tutaj mówi się, że ściśle dodatnie, $x$ jeśli ${\ Displaystyle p (x)> 0}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ w W}$ . Zauważ $,$ że Positivstellensatz Schmüdgena jest określone dla dla dowolnych rzeczywistych pól zamkniętych.

Positivstellensatz Putinara

Zdefiniuj moduł kwadratowy powiązany z W jako zbiór

{\ Displaystyle Q (F, G) = \ lewo \ {\ sigma _ {0} + \ suma _ {j = 1} ^ {m} \ sigma _ {j} f_ {j} + \sum _{\ell =1}^{r}\varphi _{\ell }g_{\ell }:\sigma _{j}\in \Sigma ^{2}[X_{1},\ldots ,X_ {n}];\ \varphi _{\ell}\w \mathbb {R} [X_{1},\ldots,X_{n}]\right\}}

Załóżmy, że istnieje L > 0 takie, że wielomian ${\ Displaystyle L - \ suma _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2} \ w Q (F, G).} Jeśli p ( x ) > {\$ Displaystyle $0 }$ dla $Q$ a następnie p ∈ ( fa , G ).

Zobacz też

Dodatni wielomian dla innych twierdzeń positivstellensatz.

Notatki

^ Schmüdgen, Konrad [w języku niemieckim] (1991). „Problem K-moment dla zwartych zbiorów półalgebraicznych”. Mathematische Annalen . 289 (1): 203–206. doi : 10.1007/bf01446568 . ISSN 0025-5831 .
^ Stengle, Gilbert (1996). „Szacunki złożoności dla Schmüdgen Positivstellensatz” . Dziennik złożoności . 12 (2): 167–174. doi : 10.1006/jcom.1996.0011 .
^ Putinar, Mihai (1993). „Dodatnie wielomiany na zwartych zbiorach półalgebraicznych” . Dziennik matematyki Uniwersytetu Indiany . 42 (3): 969–984. doi : 10.1512/iumj.1993.42.42045 .

Krivine, JL (1964). „Anneaux préordonnés” . Journal d'Analyse Mathématique . 12 : 307–326. doi : 10.1007/bf02807438 .
Stengle, G. (1974). „A Nullstellensatz i Positivstellensatz w geometrii semilgebraicznej”. Mathematische Annalen . 207 (2): 87–97. doi : 10.1007/BF01362149 . S2CID 122939347 .
Bochnak, J.; Coste, M.; Roy, M.-F. (1999). Rzeczywista geometria algebraiczna . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Folge. Tom. 36. Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64663-1 .
Jeyakumar, V.; Lasserre, JB; Li, G. (2014-07-18). „O optymalizacji wielomianów na niekompaktowych zbiorach półalgebraicznych”. Journal of Optimization Theory and Applications . 163 (3): 707–718. CiteSeerX 10.1.1.771.2203 . doi : 10.1007/s10957-014-0545-3 . ISSN 0022-3239 . S2CID 254745314 .

[1] Schmüdgen, Konrad [w języku niemieckim] (1991). „Problem K-moment dla zwartych zbiorów półalgebraicznych”. Mathematische Annalen . 289 (1): 203–206. doi : 10.1007/bf01446568 . ISSN 0025-5831 .

[2] Stengle, Gilbert (1996). „Szacunki złożoności dla Schmüdgen Positivstellensatz” . Dziennik złożoności . 12 (2): 167–174. doi : 10.1006/jcom.1996.0011 .

[3] Putinar, Mihai (1993). „Dodatnie wielomiany na zwartych zbiorach półalgebraicznych” . Dziennik matematyki Uniwersytetu Indiany . 42 (3): 969–984. doi : 10.1512/iumj.1993.42.42045 .