Domena Gårding

W matematyce dziedzina Gårdinga jest pojęciem w teorii reprezentacji grup topologicznych . Koncepcja ta nosi imię matematyka Larsa Gårdinga .

Niech G będzie grupą topologiczną i niech U będzie silnie ciągłą jednostkową reprezentacją G w rozdzielalnej przestrzeni Hilberta H . Oznaczmy przez g rodzinę wszystkich jednoparametrowych podgrup G . Dla każdego δ = { δ ( t ) | t ∈ R } ∈ g , niech U ( δ ) oznacza samosprzężony generator unitarnej podgrupy jednoparametrowej { U ( δ ( t )) | t ∈ R }. Dziedzina Gårdinga dla U jest liniową podprzestrzenią H , która jest U ( g ) - i U ( δ ) - niezmiennikiem dla wszystkich g ∈ G i δ ∈ g , a także jest dziedziną istotnego samosprzężenia dla U

Gårding wykazał w 1947 r., że jeśli G jest grupą Liego , to dla każdej ciągłej jednolitej reprezentacji G istnieje domena Gårdinga dla U składająca się z nieskończenie różniczkowalnych wektorów . W 1961 roku Kats rozszerzył ten wynik na dowolne lokalnie zwarte grupy topologiczne. Jednak wyniki te nie rozciągają się łatwo na przypadek nielokalnie zwarty z powodu braku miary Haara w grupie. W 1996 roku Danilenko udowodnił następujący wynik dla grup G , który można zapisać jako granicę indukcyjną rosnącego ciągu G ₁ ⊆ G ₂ ⊆ ... lokalnie zwartych drugich przeliczalnych podgrup :

Niech U będzie silnie ciągłą jednostkową reprezentacją G w rozdzielalnej przestrzeni Hilberta H . Wtedy istnieje separowalna nuklearna przestrzeń Montela F i ciągła, bijektywna , liniowa mapa J : F → H taka, że

dualna przestrzeń F , oznaczona przez F ^∗ , ma strukturę separowalnej przestrzeni Frécheta ze względu na silną topologię podwójnego parowania ( F ^∗ , F );
obraz J , im( J ), jest gęsty w H ;
dla wszystkich g ∈ G , U ( g )(im( J )) = im( J );
dla wszystkich δ ∈ g , U ( δ )(im( J )) ⊆ im( J ) i im( J ) jest dziedziną zasadniczej samosprzężenia dla U ( δ );
dla wszystkich g ∈ G , J ⁻¹ U ( g ) J jest ciągłą liniową mapą od F do siebie;
ponadto mapa G → Lin( F ; F ) przyjmująca g do J ⁻¹ U ( g ) J jest ciągła w odniesieniu do topologii na G i topologii słabego operatora na Lin ( F ; F ).

Przestrzeń F jest znana jako silna przestrzeń Gårdinga dla U , a im( J ) jest nazywana silną domeną Gårdinga dla U . Przy powyższych założeniach na G istnieje naturalna struktura algebry Liego na G , więc sensowne jest nazywanie g algebrą Liego G .

Danilenko, Aleksandr I. (1996). „Dziedziny Gårding dla unitarnych reprezentacji policzalnych granic indukcyjnych grup lokalnie zwartych”. Mata. fiz. Analny. Geom . 3 : 231-260.
Garding, Lars (1947). „Uwaga ciągłych reprezentacji grup Lie” . proc. Natl. Acad. nauka USA . 33 (11): 331–332. Bibcode : 1947PNAS...33..331G . doi : 10.1073/pnas.33.11.331 . PMC 1079067 . PMID 16588760 .
Kats, GI (1961). „Uogólnione funkcje na lokalnie zwartej grupie i rozkład reprezentacji unitarnej”. Trudy Moskow. Mata. Obszcz. (po rosyjsku). 10 : 3–40.