Drzewo prymitywnych trójek pitagorejskich

Drzewo Berggrensa prymitywnych trójek pitagorejskich.

W matematyce drzewo prymitywnych trójek pitagorejskich to drzewo danych , w którym każdy węzeł rozgałęzia się na trzy kolejne węzły z nieskończonym zbiorem wszystkich węzłów, co daje wszystkie (i tylko) prymitywne trójki pitagorejskie bez duplikacji.

Pitagorejska trójka to zbiór trzech dodatnich liczb całkowitych a , b i c mających tę właściwość, że mogą to być odpowiednio dwie nogi i przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego , spełniając w ten sposób równanie ${\ Displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ; mówi się, że trójka jest prymitywna wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik a, b i c jest jeden. Pierwotne trójki pitagorejskie a, b i c są również parami względnie pierwsze . Zbiór wszystkich prymitywnych trójek pitagorejskich ma w naturalny sposób strukturę drzewa ukorzenionego , a konkretnie drzewa trójskładnikowego . Zostało to po raz pierwszy odkryte przez B. Berggrena w 1934 roku.

FJM Barning wykazał, że gdy którakolwiek z trzech macierzy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lcr} A = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i -2 i 2 \\ 2 i -1 i 2 \\ 2 i -2 i 3 \ koniec {bmatrix}} i B = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 2 i 2 \\ 2&1&2\\2&2&3\end{bmatrix}}&C={\begin{bmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{bmatrix}}\end{tablica}}}$

jest pomnożona z prawej strony przez wektor kolumnowy , którego składowe tworzą trójkę pitagorejską, to wynikiem jest inny wektor kolumnowy, którego składowe są inną trójką pitagorejską. Jeśli początkowa trójka jest prymitywna, to taka też jest ta, która jest wynikiem. Tak więc każda prymitywna trójka pitagorejska ma troje „dzieci”. Wszystkie prymitywne trójki pitagorejskie wywodzą się w ten sposób z trójki (3, 4, 5) i żadna prymitywna trójka nie pojawia się więcej niż raz. Wynik można przedstawić graficznie jako nieskończone drzewo trójskładnikowe z (3, 4, 5) w węźle głównym (patrz klasyczne drzewo po prawej). Drzewo to pojawiło się również w pracach A. Halla w 1970 i AR Kanga w 1990. W 2008 VE Firstov ogólnie wykazał, że istnieją tylko trzy takie drzewa trichotomii i wyraźnie dają drzewo podobne do drzewa Berggrena, ale zaczynające się od początkowego węzła (4, 3, 5 ).

Dowody

Obecność wyłącznie prymitywnych trójek pitagorejskich

Można wykazać indukcyjnie , że drzewo zawiera prymitywne trójki pitagorejskie i nic więcej, pokazując, że zaczynając od prymitywnej trójki pitagorejskiej, takiej jak obecna w początkowym węźle z (3, 4, 5), każda wygenerowana trójka jest zarówno pitagorejska, jak i prymitywna .

Zachowanie własności Pitagorasa

Jeśli którąkolwiek z powyższych macierzy, powiedzmy A , zastosujemy do trójki ( a , b , c ) ^T o własności Pitagorasa a ² + b ² = c ² , to otrzymamy nową trójkę ( d , e , f ) ^T = A ( a , b , c ) ^T , ta nowa trójka jest również pitagorejska. Można to zobaczyć, wypisując każdy z nich d , e i f jako sumę trzech wyrazów w a , b i c , podnosząc każdy z nich do kwadratu i podstawiając c ² = a ² + b ² , aby otrzymać f ² = d ² + e ² . Dotyczy to zarówno B i C , jak i A .

Zachowanie prymitywności

Macierze A , B i C są wszystkie macierzami jednomodułowymi — to znaczy, że zawierają tylko liczby całkowite, a ich wyznaczniki wynoszą ±1. Zatem ich odwrotności są również jednomodułowe, aw szczególności mają tylko wpisy całkowite. Więc jeśli którykolwiek z nich, na przykład A , zostanie zastosowany do pierwotnej trójki pitagorejskiej ( a , b , c ) ^T w celu uzyskania innej trójki ( d , e , f ) ^T , mamy ( d , mi , fa ) ^T = ZA ( za , b , do ) ^T i stąd ( za , b , do ) ^T = ZA ^-1 ( re , mi , fa ) ^T . Gdyby jakikolwiek czynnik pierwszy był dzielony przez dowolne dwa (a zatem wszystkie trzy z) d , e i f , to na podstawie tego ostatniego równania ta liczba pierwsza podzieliłaby również każdy z a , b i c . Więc jeśli a , b i c są w rzeczywistości parami względnie pierwsze, to d , e i f również muszą być parami względnie pierwsze. Dotyczy to zarówno B i C , jak i A .

Obecność każdej prymitywnej trójki pitagorejskiej dokładnie raz

Aby pokazać, że drzewo zawiera każdą pierwotną trójkę pitagorejską, ale nie więcej niż raz, wystarczy pokazać, że dla każdej takiej trójki istnieje dokładnie jedna ścieżka z powrotem przez drzewo do węzła początkowego (3, 4, 5). Można to zobaczyć, stosując kolejno każdą z jednomodułowych macierzy odwrotnych A ^-1 , B ^-1 i C ^-1 do dowolnej prymitywnej trójki pitagorejskiej ( d , e , f ), zauważając, że dzięki powyższemu rozumowaniu zachowana jest prymitywność i własność Pitagorasa, oraz zauważając, że dla dowolnej trójki większej niż (3, 4, 5) dokładnie jedna z odwrotnych macierzy przejść daje nową trójkę ze wszystkimi dodatnimi wpisami (i mniejszą przeciwprostokątna). Przez indukcję ta nowa ważna trójka sama prowadzi do dokładnie jednej mniejszej ważnej trójki i tak dalej. Przez skończoność liczby coraz mniejszych potencjalnych przeciwprostokątnych ostatecznie osiąga się (3, 4, 5). Dowodzi to, że ( d , e , f ) w rzeczywistości występuje w drzewie, ponieważ można do niego dotrzeć z (3, 4, 5) poprzez odwrócenie kroków; i występuje wyjątkowo, ponieważ była tylko jedna ścieżka od ( d , e , f ) do (3, 4, 5).

Nieruchomości

Transformacja za pomocą macierzy A , jeśli jest wykonywana wielokrotnie od ( a , b , c ) = (3, 4, 5), zachowuje cechę b + 1 = c ; macierz B zachowuje a – b = ±1 wychodząc z (3, 4, 5); a macierz C zachowuje cechę a + 2 = c począwszy od (3, 4, 5).

Geometryczna interpretacja tego drzewa obejmuje okręgi obecne w każdym węźle. Troje dzieci dowolnego trójkąta macierzystego „dziedziczy” swoje promienie od rodzica: promienie okręgu rodzica stają się promieniami dla następnej generacji. Na przykład rodzic (3, 4, 5) ma promienie koła równe 2, 3 i 6. Są to dokładnie promienie trojga dzieci (5, 12, 13), (15, 8, 17) i (21 , 20, 29) odpowiednio.

Jeśli jedno z A lub C jest stosowane wielokrotnie z dowolnej trójki pitagorejskiej użytej jako warunek początkowy, wówczas dynamikę dowolnego z a , b i c można wyrazić jako dynamikę x w

${\ Displaystyle x_ {n + 3} -3x_ {n + 2} + 3x_ {n + 1} -x_ {n} = 0 \,}$

równaniu charakterystycznym macierzy

${\ Displaystyle \ lambda ^ {3} -3 \ lambda ^ {2} + 3 \ lambda -1 = 0. \,}$

Jeśli B jest stosowane wielokrotnie, to dynamikę któregokolwiek z a , b i c można wyrazić jako dynamikę x w

${\ Displaystyle x_ {n + 3} -5x_ {n + 2} -5x_ {n + 1} + x_ {n} = 0,\,}$

który jest wzorowany na charakterystycznym równaniu B .

Co więcej, nieskończoną liczbę innych jednowymiarowych równań różnicowych trzeciego rzędu można znaleźć, mnożąc razem dowolną z trzech macierzy dowolną liczbę razy w dowolnej sekwencji. Na przykład macierz D = CB przesuwa jeden z drzewa o dwa węzły (w poprzek, a następnie w dół) w jednym kroku; charakterystyczne równanie D zapewnia wzorzec dynamiki trzeciego rzędu dowolnego z a , b lub c w niewyczerpującym drzewie utworzonym przez D .

Alternatywne metody generowania drzewa

Drzewo Price'a prymitywnych trójek pitagorejskich.

Inne podejście do dynamiki tego drzewa opiera się na standardowej formule generowania wszystkich prymitywnych trójek pitagorejskich:

${\ Displaystyle a = m ^ {2} -n ^ {2}, \,}$

${\ Displaystyle b = 2mn, \,}$

${\ Displaystyle c = m ^ {2} + n ^ {2}, \,}$

gdzie m > n > 0 i m i n względnie pierwsze io przeciwnej parzystości. Pary ( m , n ) można iterować, mnożąc je (wyrażone jako wektor kolumnowy) przez dowolne z

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lcr} {\ rozpocząć {bmatrix} 2 i - 1 \\ 1 i 0 \ koniec {bmatrix}}, &{\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}},&{\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\end{tablica}}}$

z których każdy zachowuje nierówności, względność i równość przeciwną. Powstałe drzewo trójskładnikowe, począwszy od (2,1), zawiera każdą taką parę ( m , n ) dokładnie raz, a po przekształceniu w trójki ( a , b , c ) staje się identyczne z drzewem opisanym powyżej.

Inny sposób wykorzystania dwóch podstawowych parametrów do wygenerowania drzewa trójek wykorzystuje alternatywną formułę dla wszystkich prymitywnych trójek:

${\ Displaystyle a = uv \,}$

${\ Displaystyle b = {\ Frac {u ^ {2} -v ^ {2}} {2}}, }$

${\ Displaystyle c = {\ Frac {u ^ {2} + v ^ {2}} {2}},}$

gdzie u > v > 0 oraz u i v względnie pierwsze i oba nieparzyste . Pary ( u , v ) można iterować, mnożąc je wstępnie (wyrażone jako wektor kolumnowy) przez dowolną z powyższych macierzy 2 × 2, z których wszystkie trzy zachowują nierówności, względność i nieparzystość obu elementów. Gdy proces ten rozpoczyna się w punkcie (3, 1), otrzymane trójskładnikowe drzewo zawiera każdą taką parę ( u , v ) dokładnie raz, a po przekształceniu w ( a , b , c ) potroi się, staje się identyczne z drzewem opisanym powyżej.

Inne drzewo

Alternatywnie można również użyć 3 różnych macierzy znalezionych przez Price'a. Te macierze A', B', C' i odpowiadające im przekształcenia liniowe pokazano poniżej.

${\ Displaystyle {\ overset {{A} '} {\ mathop {\ lewo [{\ rozpocząć {macierz} 2 i 1 i -1 \\ -2 i 2 i 2 \\ -2 i 1 i 3 \ koniec {macierz}} \ w prawo]}}} \ lewo [{\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\ end{macierz}}\right],\quad {\text{}}{\overset {{B}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3 \end{matrix}}\right]}}}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_ {2}\\b_{2}\\c_{2}\end{macierz}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {{C}'}{\mathop {\left[{ \begin{macierz}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\\\end{macierz}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{macierz }}\right]=\left[{\begin{macierz}a_{3}\\b_{3}\\c_{3}\end{macierz}}\right]}$

Trzy przekształcenia liniowe Price'a to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ rozpocząć {macierz} + 2a + bc = a_ {1} \ quad & -2a + 2b + 2c = b_ {1} \ quad & -2a + b + 3c = c_ {1}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{1},{\text{ }}b_{1},{\text{ }}c_{1}\right]\end{macierz }}\\&{\begin{macierz}+2a+b+c=a_{2}\quad &+2a-2b+2c=b_{2}\quad &+2a-b+3c=c_{2} &\quad \to \left[{\text{ }}a_{2},{\text{ }}b_{2},{\text{ }}c_{2}\right]\end{macierz}}\ \&{\begin{macierz}+2a-b+c=a_{3}\quad &+2a+2b+2c=b_{3}\quad &+2a+b+3c=c_{3}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{3},{\text{ }}b_{3},{\text{ }}c_{3}\right]\end{macierz}}\\&\ koniec {wyrównany}}}$

Trójka dzieci wytworzona przez każdy z dwóch zestawów macierzy nie jest taka sama, ale każdy zestaw oddzielnie tworzy wszystkie prymitywne trójki.

Na przykład, używając [5, 12, 13] jako rodzica, otrzymujemy dwa zestawy po troje dzieci:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {ccc} i \ lewo [5,12,13 \ prawo] i \\ A&B & C \\\ lewo [45,28, 53\right]&\left[55,48,73\right]&\left[7,24,25\right]\end{array}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\begin{ array}{ccc}{}&\lewo[5,12,13\prawo]&{}\\A'&B'&C'\\\lewo[9,40,41\prawo]&\lewo[35,12 ,37\prawo]&\lewo[11,60,61\prawo]\koniec{tablica}}}$

Linki zewnętrzne

• Trójskładnikowe drzewo (a) leżące u podstaw prymitywnych trójek pitagorejskich w stanie przecięcia węzła
• Frank R. Bernhart i H. Lee Price, „Ogród Pitagorasa, powtórka”, Australian Senior Mathematics Journal 01/2012; 26(1):29-40. [1]
• Weisstein, Eric W. „Trójka pitagorejska” . MathWorld .