Dwumianowy współczynnik Gaussa

W matematyce współczynniki dwumianowe Gaussa (zwane także współczynnikami gaussowskimi , wielomianami gaussowskimi lub współczynnikami q -dwumianowymi ) są q -analogami współczynników dwumianowych . Dwumianowy współczynnik Gaussa, zapisany jako ${\ Displaystyle {\ binom {n} {k}} _ {q}}$ lub ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} n \\ k \ end{bmatrix}}_{q}}$ , jest wielomianem w q o współczynnikach całkowitych, którego wartość, gdy q jest ustawione na potęgę pierwszą, zlicza liczbę podprzestrzeni wymiaru k w przestrzeni wektorowej wymiaru n nad ${\ displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ , pole skończone z q elementami; $_$ liczba Grassmannie _

Definicja

Współczynniki dwumianu Gaussa są zdefiniowane przez:

${ \ Displaystyle {m \ wybierz r} _ {q} = {\ Frac {(1-q ^ {m}) (1-q ^ {m-1}) \ cdots (1-q ^ {m-r + 1 })}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}}$

gdzie m i r są nieujemnymi liczbami całkowitymi. Jeśli r > m , daje to 0. Dla r = 0 , wartością jest 1 , ponieważ zarówno licznik , jak i mianownik są pustymi iloczynami .

Chociaż formuła na pierwszy rzut oka wydaje się być funkcją wymierną , w rzeczywistości jest wielomianem, ponieważ dzielenie jest dokładne w Z [ q ]

Wszystkie czynniki w liczniku i mianowniku są podzielne przez 1 − q , a iloraz to liczba q :

$\ Displaystyle [k ]_{q}=\suma _{0\równoważnik i<k}q^{i}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{k-1}={\begin{przypadki} {\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{for}}&q\neq 1\\k&{\text{for}}&q=1\end{przypadków}}, }$

Dzielenie tych czynników daje równoważny wzór

${\ Displaystyle {m \ wybierz r} _ {q} = {\ Frac {[m] _ {q} [m-1] _ {q} \ cdots [mr + 1] _ {q}} {[ 1]_{q}[2]_{q}\cdots [r]_{q}}}\quad (r\równoważnik m).}$

Pod względem silni q ${\ Displaystyle [n] _ {q}! = [1] _ {q} [2] _ {q} \ cdots [n] _ {q}}$ , wzór można zapisać jako

${\ Displaystyle {m \ wybierz r} _ {q} = {\ Frac {[m] _ {q}!} {[r] _ {q}! \, [mr] _ {q}!}} \ quad (r\równoważnik m).}$

Podstawiając q = 1 do ${\ Displaystyle {\ tbinom {m} {r}} _ {q}}$ daje zwykły współczynnik dwumianowy ${\ Displaystyle {\ tbinom {m} {r}} }$ .

Dwumianowy współczynnik Gaussa ma skończone wartości, ponieważ ${\ Displaystyle m \ rightarrow \ infty}: m → ∞ {\ displaystyle m \ rightarrow \ infty$ }

${\ Displaystyle {\ infty \ wybierz r} _ {q} = \ lim _ {m \ rightarrow \ infty} {m \ wybierz r} _ {q} = {\ Frac {1} {( 1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}={\frac {1}{[r]_{q}!\,(1-q)^ {R}}}}$

Przykłady

${\ Displaystyle {0 \ wybierz 0} _ {q} = {1 \ wybierz 0} _ {q} = 1}$

${\ Displaystyle {1 \ wybierz 1} _ {q} = {\ Frac {1-q} {1-q}} = 1}$

${ \ Displaystyle {2 \ wybierz 1} _ {q} = {\ Frac {1-q ^ {2}} {1-q}} = 1 + q}$

${\ Displaystyle {3 \ wybierz 1} _ {q} = {\ Frac {1-q ^ {3}} {1-q}} = 1 + q + q ^ {2}}$

${\ Displaystyle {3 \ wybierz 2} _ {q} = { \frac {(1-q^{3})(1-q^{2})}{(1-q)(1-q^{2})}}=1+q+q^{2}}$

${\ Displaystyle {4 \ wybierz 2} _ {q} = {\ Frac {(1-q ^ {4}) (1-q ^ {3})} {(1-q )(1-q^{2})}}=(1+q^{2})(1+q+q^{2})=1+q+2q^{2}+q^{3}+ q^{4}}$

${\ Displaystyle {6 \ wybierz 3} _ {q} = {\ Frac {(1-q ^ {6}) (1-q ^ {5}) (1-q ^ { 4})}{(1-q)(1-q^{2})(1-q^{3})}}=(1+q^{2})(1+q^{3})( 1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4})=1+q+2q^{2}+3q^{3}+3q^{4}+3q^{5} +3q^{6}+2q^{7}+q^{8}+q^{9}}$

Opisy kombinatoryczne

Inwersje

Jeden kombinatoryczny opis współczynników dwumianu Gaussa obejmuje inwersje .

Zwykły $.$ zlicza r - kombinacje m -elementowego zestawu Jeśli przyjmiemy, że te m elementów to różne pozycje znaków w słowie o długości m , to każda r -kombinacja odpowiada słowu o długości m przy użyciu alfabetu złożonego z dwóch liter, powiedzmy {0,1}, z r kopiami litera 1 (oznaczająca pozycje w wybranej kombinacji) oraz m − r litery 0 (dla pozostałych pozycji).

0$\$ przykład używające s 1 s $to$ .

0 Aby uzyskać współczynnik dwumianu Gaussa ${\ Displaystyle {\ tbinom {m} {r}} _ {q}}$ , każde słowo jest powiązane z czynnikiem q ^re , gdzie d jest liczbą inwersji słowa , gdzie w tym przypadku inwersja to para pozycji, w których po lewej stronie pary znajduje się litera 1 , a po prawej stronie znajduje się litera .

W powyższym przykładzie jest jedno słowo z 0 inwersjami, ${\ displaystyle 0101}$ słowo z 1 inwersją, $dwa$ , słowa z 2 inwersjami, ${\ displaystyle 0010}$${\ displaystyle 1001}$ , jedno słowo z 3 inwersjami, i jedno słowo z 4 inwersjami, $1100$$\ displaystyle 1100$ } Jest to również liczba przesunięć w lewo o 1 s od pozycji początkowej.

Odpowiadają one współczynnikom w ${\ Displaystyle {4 \ wybierz 2} _ {q} = 1 + q + 2q ^ {2} + q ^{3}+q^{4}}$ .

0 Innym sposobem, aby to zobaczyć, jest powiązanie każdego słowa ze ścieżką w poprzek prostokątnej siatki o wysokości r i szerokości m − r , biegnącej od lewego dolnego rogu do prawego górnego rogu. Ścieżka prowadzi krok w prawo dla każdego i krok w górę dla każdego 1 . Inwersja zmienia kierunki kroku (prawo+góra staje się góra+prawo i odwrotnie), stąd liczba inwersji równa się powierzchni pod ścieżką.

Kulki do koszy

Niech $Displaystyle B (n, m, r)}$$\$ będzie liczbą sposobów rzucania piłek do $nierozróżnialnych$ , gdzie każdy pojemnik może $zawierać$ do . Dwumianowy współczynnik Gaussa można wykorzystać do scharakteryzowania ${\ Displaystyle B (n, m, r)}$ . Rzeczywiście,

${\ Displaystyle B (n, m, r) = [q ^ {r}] {n + m \ wybierz m} _ {q}.}$

gdzie $}$$^ {r }]$$P$ oznacza współczynnik wielomianu ( także sekcja Aplikacje poniżej)

Nieruchomości

Odbicie

Podobnie jak zwykłe współczynniki dwumianowe, współczynniki dwumianu Gaussa są centralnie symetryczne, tj. Niezmienne pod wpływem odbicia ${\ displaystyle r \ rightarrow mr}: r → m - r {\ displaystyle r \ rightarrow mr$ }

${\ Displaystyle {m \ wybierz r} _ {q} = {m \ wybierz mr} _ {q}.}$

W szczególności,

${\ Displaystyle {m \ wybierz 0} _ {q} = {m \ wybierz m} _ {q} = 1 \,,}$

${\ Displaystyle {m \ wybierz 1} _ {q} = {m \ wybierz m-1} _ {q} = {\ Frac {1-q ^ {m}} {1-q}} = 1 + q + \ cdots +q^{m-1}\quad m\geq 1\,.}$

Granica przy q = 1

Ocena współczynnika dwumianu Gaussa przy q = 1 to

${\ Displaystyle \ lim _ {q \ do 1} {m \ wybierz r} _ {q} = {m \ wybierz r}}$

tj. suma współczynników daje odpowiednią wartość dwumianową.

Analogi tożsamości Pascala

Analogami tożsamości Pascala dla współczynników dwumianu Gaussa są:

${\ Displaystyle {m \ wybierz r} _ {q} = q ^ {r} {m-1 \ wybierz r}_{q}+{m-1 \wybierz r-1}_{q}}$

I

${\ Displaystyle {m \ wybierz r} _ {q} = {m-1 \ wybierz r} _ {q} + q ^ {mr} {m-1 \ wybierz r-1} _ {q}.}$

Gdy $dają$ zwykłą tożsamość Widzimy, że oba równania pozostają ważne ${\ displaystyle m \ do \ infty} .$

Pierwszy analog Pascala umożliwia rekurencyjne obliczanie współczynników dwumianu Gaussa (względem m ) przy użyciu wartości początkowych

${\ Displaystyle {m \ wybierz m} _ {q} = {m \ wybierz 0} _ {q} = 1}$

a także pokazuje, że współczynniki dwumianu Gaussa są rzeczywiście wielomianami (w q ).

$}$$mr$ m { .

Tożsamości te mają naturalną interpretację w kategoriach algebry liniowej. Przypomnijmy, że ${\ Displaystyle {\ tbinom {m} {r}} _ {q}}$ liczy r -wymiarowe podprzestrzenie ${\ Displaystyle V \ podzbiór \ mathbb {F} _ {q} ^ {m}}$ i niech ${\ Displaystyle \ pi: \ mathbb {F} _ {q} ^ {m} \ do \ mathbb {F} _ {q} ^ {m-1}}$ będzie rzutem z jednowymiarową przestrzenią zerową ${\ Displaystyle E_ {1}}$ . Pierwsza tożsamość pochodzi z bijekcji, która przenosi ${\ Displaystyle V \ podzbiór \ mathbb {F} _ {q} ^ {m}}$ do podprzestrzeni ${\ Displaystyle V '= \ pi (V) \ podzbiór \ mathbb {F} _ {q} ^ {m-1}}$ ; mi ${\ Displaystyle E_ {1} \ not \ subset V}$ , przestrzeń jest r $-wymiarowa$ i musimy ${\ Displaystyle \ phi: V '\ do E_ {1}}$ liniową , którego wykres to ${\ Displaystyle V}$ ; ale w przypadku $i$${\ Displaystyle V = \ pi ^ {- 1} (V ')}$ jest $($ r zrekonstruować bez żadnych dodatkowych informacji. Druga tożsamość ma podobną $}$ wymiar -1 V \ $V$ przestrzeń ${\ displaystyle E_ {m-1}}$ , ponownie dzieląc się na dwa przypadki.

Dowody analogów

Oba analogi można udowodnić, zauważając najpierw, że z definicji mamy: ${\ displaystyle {\ tbinom {m} {r}} _ {q}}$

${\ Displaystyle {\ binom {m} {r}} _ {q} = {\ Frac {1-q ^ { m}}{1-q^{mr}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle {\ binom {m} {r}} _ {q} = {\ Frac {1-q ^ { m}}{1-q^{r}}}{\binom {m-1}{r-1}}_{q}}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle {\ Frac {1-q ^ {r}} {1-q ^ {mr} }}{\binom {m-1}{r}}_{q}={\binom {m-1}{r-1}}_{q}}$

 

 

 

 

()

Jak

${\ Displaystyle {\ Frac {1- q^{m}}{1-q^{mr}}}={\frac {1-q^{r}+q^{r}-q^{m}}{1-q^{mr}} }=q^{r}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{mr}}}}$

Równanie ( 1 ) staje się:

${\ Displaystyle {\ binom {m} {r}} _ {q} =q^{r}{\binom {m-1}{r}}_{q}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{mr}}}{\binom {m -1}{r}}_{q}}$

a podstawienie równania ( 3 ) daje pierwszy analog.

Podobny proces, używając

${\ Displaystyle {\ Frac {1-q ^ {m}} {1-q ^ {r}}} = q^{mr}+{\frac {1-q^{mr}}{1-q^{r}}}}$

zamiast tego daje drugi analog.

q -twierdzenie dwumianowe

Istnieje odpowiednik twierdzenia dwumianowego dla q -współczynników dwumianowych, znany jako twierdzenie dwumianowe Cauchy'ego:

${\ Displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1 + q ^ {k} t) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} q ^ {k (k-1) / 2}{n \wybierz k}_{q}t^{k}.}$

Podobnie jak zwykłe twierdzenie o dwumianach, ta formuła ma liczne uogólnienia i rozszerzenia; jednym z nich, odpowiadającym uogólnionemu twierdzeniu Newtona o dwumianach dla potęg ujemnych, jest

${\ Displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} {\ Frac {1} {1-q ^ {k} t}} = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {n +k-1 \wybierz k}_{q}t^{k}.}$

W granicy te wzory dają ${\ Displaystyle n \ rightarrow \ infty}$

${\ Displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1 + q ^ {k} t) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac { q^{k(k-1)/2}t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}$

I

${\ Displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty}} {\ Frac {1} {1-q ^ {k} t}} = \ suma _ {k = 0} ^ { \infty }{\frac {t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}$ .

Ustawienie $części$ funkcje generujące odpowiednio dla odrębnych i (Zobacz także Podstawowe szeregi hipergeometryczne .)

Centralna tożsamość q-dwumianowa

Ze zwykłymi współczynnikami dwumianowymi mamy:

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} ^ {2} = {\ binom {2n }{N}}}$

Przy współczynnikach q-dwumianowych analogiem jest:

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} q ^ {k ^ {2}} {\ binom {n} {k}}_{q}^{2}={\binom {2n}{n}}_{q}}$

Aplikacje

Współczynniki dwumianu Gaussa występują w liczeniu wielomianów symetrycznych oraz w teorii podziałów . Współczynnik q ^r in

${\ Displaystyle {n + m \ wybierz m} _ {q}}$

jest liczbą partycji r z m lub mniejszą liczbą części, z których każda jest mniejsza lub równa n . Równoważnie jest to również liczba podziałów r z n lub mniejszą liczbą części, z których każda jest mniejsza lub równa m .

Dwumianowe współczynniki Gaussa odgrywają również ważną rolę w enumeratywnej teorii przestrzeni rzutowych zdefiniowanych w polu skończonym. W szczególności dla każdego ciała skończonego F _q z elementami q , współczynnik dwumianu Gaussa

${\ Displaystyle {n \ wybierz k} _ {q}}$

zlicza liczbę k -wymiarowych podprzestrzeni wektorowych n -wymiarowej przestrzeni wektorowej nad F _q ( Grassmannian ). Po rozwinięciu jako wielomian w q daje dobrze znany rozkład Grassmanna na komórki Schuberta. Na przykład współczynnik dwumianu Gaussa

${\ Displaystyle {n \ wybierz 1} _ {q} = 1 + q + q ^ {2} + \ cdots + q ^ {n -1}}$

jest liczbą jednowymiarowych podprzestrzeni w ( F _q ) ⁿ (odpowiednik liczby punktów w powiązanej przestrzeni rzutowej ). Ponadto, gdy q wynosi 1 (odpowiednio -1), dwumianowy współczynnik Gaussa daje charakterystykę Eulera odpowiedniego złożonego (odpowiednio rzeczywistego) Grassmanna.

Liczba k -wymiarowych podprzestrzeni afinicznych F _q ⁿ jest równa

${\ Displaystyle q ^ {nk} {n \ wybierz k} _ {q}}$ .

Pozwala to na inną interpretację tożsamości

${\ Displaystyle {m \ wybierz r} _ {q} = {m-1 \ wybierz r} _ {q}+q^{mr}{m-1 \wybierz r-1}_{q}}$

jako zliczanie ( r - 1) -wymiarowych podprzestrzeni ( m - 1) -wymiarowej przestrzeni rzutowej przez ustalanie hiperpłaszczyzny, zliczanie takich podprzestrzeni zawartych w tej hiperpłaszczyźnie, a następnie zliczanie podprzestrzeni nie zawartych w hiperpłaszczyźnie; te ostatnie podprzestrzenie są w bijektywnej korespondencji z ( r - 1)-wymiarowymi podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni otrzymanej przez traktowanie tej ustalonej hiperpłaszczyzny jako hiperpłaszczyzny w nieskończoności.

W konwencjach powszechnych w zastosowaniach do grup kwantowych stosowana jest nieco inna definicja; istnieje kwantowy współczynnik dwumianu

${\ Displaystyle q ^ {k ^ {2} -nk} {n \ wybierz k} _ {q ^ {2}}}$ .

Ta wersja kwantowego współczynnika dwumianu jest symetryczna przy wymianie i $^ {- 1}}$ 1 $q$ .

•       Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications , Nowy Jork: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538
• Muchin, Eugeniusz. „Symetryczne wielomiany i podziały” (PDF) . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 4 marca 2016 r. (Bez daty, 2004 lub wcześniej).
• Ratnadha Kolhatkar, funkcja Zeta odmian Grassmanna (z dnia 26 stycznia 2004)
• Weisstein, Eric W. „Współczynnik dwumianowy q” . MathWorld .
•   Gould, Henry (1969). „Funkcja nawiasów i uogólnione współczynniki dwumianowe Fontene-Warda z zastosowaniem do współczynników Fibonomalnych”. Kwartalnik Fibonacciego . 7 : 23–40. MR 0242691 .
•   Alexanderson, GL (1974). „Analog Fibonacciego współczynników dwumianowych Gaussa”. Kwartalnik Fibonacciego . 12 : 129–132. MR 0354537 .
•    Andrews, George E. (1974). „Zastosowania podstawowych funkcji hipergeometrycznych”. SIAM ks . 16 (4): 441–484. doi : 10.1137/1016081 . JSTOR 2028690 . MR 0352557 .
•    Borwein, Peter B. (1988). „Aproksymacje Padé dla funkcji q-elementarnych”. Skonstruować. ok . 4 (1): 391–402. doi : 10.1007/BF02075469 . MR 0956175 . S2CID 124884851 .
•   Konwalina, Jan (1998). „Uogólnione współczynniki dwumianowe i problem podzbioru-podprzestrzeni” . adw. Aplikacja matematyka _ 21 (2): 228–240. doi : 10.1006/aama.1998.0598 . MR 1634713 .
•   Di Bucchianico, A. (1999). „Kombinatoryka, algebra komputerowa i test Wilcoxona-Manna-Whitneya”. J. Stat. Zaplanuj. Inf . 79 (2): 349–364. CiteSeerX 10.1.1.11.7713 . doi : 10.1016/S0378-3758(98)00261-4 .
•    Konwalina, Jan (2000). „Ujednolicona interpretacja współczynników dwumianowych, liczb Stirlinga i współczynników Gaussa”. Amer. Matematyka Miesięczny . 107 (10): 901–910. doi : 10.2307/2695583 . JSTOR 2695583 . MR 1806919 .
•    Kupershmidt, Boris A. (2000). „Dwumian q-Newtona: od Eulera do Gaussa”. J. Matematyka nieliniowa. fizyka . 7 (2): 244–262. arXiv : matematyka/0004187 . Bibcode : 2000JNMP....7..244K . doi : 10.2991/jnmp.2000.7.2.11 . MR 1763640 . S2CID 125273424 .
•    Cohn, Henry (2004). „Geometria rzutowa na F ₁ i współczynniki dwumianu Gaussa” . Amer. Matematyka Miesięczny . 111 (6): 487–495. doi : 10.2307/4145067 . JSTOR 4145067 . MR 2076581 .
•    Kim, T. (2007). „q-Rozszerzenie wzoru Eulera i funkcji trygonometrycznych”. Russ. J. Matematyka. fizyka . 14 (3): –275–278. Bibcode : 2007RJMP...14..275K . doi : 10.1134/S1061920807030041 . MR 2341775 . S2CID 122865930 .
•    Kim, T. (2008). „Liczby q-Bernoulliego i wielomiany związane ze współczynnikami dwumianu Gaussa”. Russ. J. Matematyka. fizyka . 15 (1): 51–57. Bibcode : 2008RJMP...15...51K . doi : 10.1134/S1061920808010068 . MR 2390694 . S2CID 122966597 .
•   Corcino, Roberto B. (2008). „O współczynnikach p, q-dwumianowych”. liczby całkowite . 8 : #A29. MR 2425627 .
• Hmajakyan, Gevorg. „Formuła rekurencyjna związana z funkcją Mobiusa” (PDF) . (2009).