Dwurożec

Jeśli chodzi o kapelusz, zobacz Bicorne . Aby zapoznać się z mityczną bestią, zobacz Bicorn i Chichevache .

Dwurożec

W geometrii bicorn , znany również jako krzywa przekrzywionego kapelusza ze względu na swoje podobieństwo do bicorne , jest wymierną krzywą kwartalną zdefiniowaną przez równanie

$${\ Displaystyle y ^ {2} \ lewo (a ^ {2} -x ^ {2} \ prawo) = \ lewo (x ^ {2} + 2ay-a ^ {2} \ prawo) ^ {2}. }$$

Ma dwa wierzchołki i jest symetryczny względem osi y.

Historia

W 1864 roku James Joseph Sylvester zbadał krzywą

$${\ Displaystyle y ^ {4} -xy ^ {3} -8xy ^ {2} + 36x ^ {2} }y+16x^{2}-27x^{3}=0}$$

w związku z klasyfikacją równań kwintycznych ; nazwał krzywą dwurożcem, ponieważ ma dwa wierzchołki. Krzywa ta była dalej badana przez Arthura Cayleya w 1867 roku.

Nieruchomości

Przekształcony dwurożec z a = 1

Dwurożec to płaska krzywa algebraiczna stopnia czwartego i rodzaju zero. Ma dwie osobliwości wierzchołkowe na płaszczyźnie rzeczywistej i punkt podwójny na zespolonej płaszczyźnie rzutowej w x = 0, z = 0. Jeśli przesuniemy x=0 i z=0 do początku zastępując i wykonamy wyimaginowany obrót na x bu podstawiając ix/z za x i 1/z za y na krzywej dwurożna, otrzymamy

$${\ Displaystyle \ lewo (x ^ {2} -2az + a ^ {2} z ^ {2} \ prawo) ^ {2} = x ^ {2} + a ^ {2} z ^ {2}.}$$

Ta krzywa, limaçon , ma zwykły podwójny punkt na początku i dwa węzły na płaszczyźnie zespolonej, w x = ± i oraz z = 1 .

Równania parametryczne krzywej dwurożca to

$${\ Displaystyle x = a \ sin (\ teta)}$$

I

$${\ Displaystyle y = a {\ Frac {\ sałata ^ {2} (\ teta) \ lewo (2 +\cos(\theta)\right)}{3+\sin ^{2}(\theta)}}}$$

z ${\ Displaystyle - \ pi \ równoważnik \ teta \ równoważnik \ pi}$ .

Zobacz też

• Lista krzywych

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Bicorn” . MathWorld .